BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
ĐẶNG THỊ HƯƠNG
PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN THƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI số
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60
46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Tạ Duy Phượng
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm túc của PGS.
TS. Tạ Duy Phượng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy, đã không chỉ hướng
dẫn khoa học, mà còn động viên và khích lệ tác giả say mê học tập và nghiên cứu.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu, các cán bộ, giáo viên Khoa cơ
bản-Trường Sĩ quan Tăng thiết giáp đã tạo mọi điều kiện thuận lợi tốt nhất để tôi có
thể hoàn thành tốt khóa học cao học.
Cuối cùng tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, các
đồng nghiệp đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả
Đặng Thị Hương
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng, luận văn Thạc
sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Phương pháp Runge- Kutta giải phương
trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số được hoàn thành tại trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 bởi lao động của chính tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa các kết quả của
các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất. Tất cả các tài liệu sử dụng đều

thường. Lần lượt các phương pháp Runge-Kutta cấp 2, 3, 4 được trình bày, tuy nhiên các
5
bài toán thực tiễn thường đòi hỏi tính toán theo phương pháp Runge-Kutta cấp cao hơn,
nên phương pháp Runge- Kutta đến cấp 8

được trình bày ở đây.
Chương 2 trình bày phương pháp Runge-Kutta giải phương trình vi phân
ẩn F(t,x, x') = 0

hoặc phương trình vi phân đại số dạng
/
x' = f(t,x,y)
<
1 =g(t,x,y)
V
theo chương 9, 1 0

trang 231-299 của [ỉ], chương 5 trang 345 của [8

J và một số tài liệu
khác.
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày tổng quan phương pháp Runge-Kutta và các cải tiến của nó giải phương trình vi
phân thường và phương trình vi phân đại số. Thực hành tính toán một số ví dụ giải
phương trình vi phân bằng phương pháp Runge-Kutta trên Maple 16.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp Runge-Kutta giải phương trình vi phân thường và phương trình
vi phân đại số. Thực hành tính toán trên máy giải phương trình vi phân thường bằng
phương pháp Runge-Kutta.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

tương đương với việc giải phương trình tích phân
í
x(t)=x
0
+ Ị f(s,x(s))ds, (1.1.3)
ío
nên ta có thể sử dụng quy tắc cầu phương cơ bản để giải phương trình vi phân.
Mục này trình bày nhất quán cách tìm ra các công thức giải số phương trình vi phân
nhờ quy tắc cầu phương cơ bản.
b
Nội dung cơ bản của quy tắc cầu phương là: để tính tích phân Ị f(t)dt
a
ta thay f(t) bởi một đa thức nội suy (interpolating polynomial). Tích phâncủa hàm f(t)
được xấp xỉ bởi tích phân của hàm đa thức (tính được
7
chính xác).Giả sử cós điểm nội suy khác nhau CI,C

2

, ,Cg

trong đoạn
8
[a,b]. Đa thức nội suy Lagrange bậc nhỏ hơn s của hàm f(t) thỏa mãn f(cj) = =
1

, . . . , s, có dạng:
s
¥>(*) = ^ỉ{
c

J
f(t)dtpa (b-a)f(a). ( 1 . 1 . 4 )
Nếu x(t) là nghiệm của phương trình vi phân fll.l.ip-(Ịĩ.l. 2

) (tức là
nghiệm của phương trình tích phân (Ị1.L3D), thì
t+h
(t + h)— x(t) — ỉ t
9
Khi đó,
Hình 1.1:
(1.1.5)
X
Kết hợp với (1.1.4) ta đi đến công thức:
x(t + h) — x(t) = hf(t,x(t)).
Chia đoạn [a, 6

] bỏi các điểm cách đều a = < ti < < t
n
= b,
__
gọi h là độ dài bước (stepsize) của biến độc lập í, h = Từ công
n
thức (1.1.6) với kí hiệu x{tị) = Xỉ, ta có
X Í = X Q + hf(t
ữ ì
x
Q
); x
2

11
Y' b
3L
Hi
E
b
0 A B *“
Hình 1.2:
Hình 1.3:
Suy ra phương pháp điểm giữa (midpoint method):
Suy ra Wị = w
2
= —-r—. Chứng tỏ
b
Ị f(t)dt M ^[/(a) + /(6)].
a
t+h
Như vậy, nếu xấp xỉ tích phân / /(«, x(s))ds bởi công thức trên (tức
ị
là, bỏi diện tích của hình thang ABED, Hình 1.4) thì ta được:
t-ị-h
/h
f{x(s), s)ds w ^[/(í + h, x(t + h)) + f(t, *(í))].
12
h
*^n+1 ”1- ~^\.f i^nĩ ^rì}
”1- f {^n+lĩ ^n+lỴ\'
Phương pháp điểm giữa và phương pháp hình thang là hai phương pháp ẩn, tức
là để tính được giá trị x
n

a
2 (b
— a)
2
h
=
¥
12
=
6
‘
Và
b
b w
2
= Ị
L
2
{t)
dt =
Ị
-Ệ-
{t -
a)(t -
b)dt
a
4h ~6~
Do
tính
chất

(^p)
+ /(6)].
a
Suy ra
công thức
xấp xỉ
nghiệm
của
phương
trình vi
phân là
Hình 1.5:
x(t +
h)~ x(t)
= ^[/(í,
x(t)) +
4 f(t +
x{t + ^))
+ f(t +
h,x(t +
ft))]
và
công
thức
sai
phân
x
N + 1
-
x

e-
Kutta
kinh
điển
cấp
bốn
(clas
sical
fourt
h-
order
Rung
e-
Kutta
meth
od).
1.2. P
hương
pháp
Runge-
Kutta
1.2.1. Dẫ
n tới
phương
pháp
Runge-
Kutta
Vì
phương
pháp ẩn

g
công
thức
hình
thang
ẩn
*
^
n
+
1

X
n

“
I
”

ị
f

(
j
'
n

J

3

t
r
ị

X
n
+
1

ở

v
ế

p
h
ả
i

b
ằ
n
g

c
ô
n
g

t

■) %n )
“ I ”
f{t
n + u
x
n + 1
)].
Công
thức
này
gọi là
phư
ơng
pháp
hình
than
g
hiển
(expl
icit
trape
zaida
l
meth
od).
• Bằng
cách
sử
dụng
xấp