Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel : 0918.775.368
Chữ ký số ngời xác nhận không thể chối bỏ
Đặt vấn đề
Khi ứng dụng trên mạng máy tính ngày càng trở nên phổ biến, thuận lợi và
quan trọng thì yêu cầu về an toàn mạng, về an ninh dữ liệu trên mạng ngày càng
trở nên cấp bách và cần thiết. Nguồn tài nguyên trên mạng rất dễ bị đánh cắp
hoặc phá hỏng nếu không có một cơ chế bảo mật cho chúng hoặc sử dụng những
cơ chế bảo mật quá lỏng lẻo. Thông tin trên mạng, dù đang truyền hay đợc lu trữ
đều cần đợc bảo vệ. Hoặc các thông tin ấy phải đợc giữ bí mật, hoặc chúng phải
cho phép ngời ta kiểm tra để tin tởng rằng chúng không bị sửa đổi so với dạng
nguyên thuỷ của mình và chúng đúng là của ngời nhận gửi nó cho ta.
Mạng máy tính có đặc điểm nổi bật là có nhiều ngời sử dụng, nhiều ngời
cùng khai thác một kho tài nguyên, đặc biệt là tài nguyên thông tin và các điểm
có ngời sử dụng thờng phân tán về mặt địa lý. Các điểm này thể hiện lợi ích to
lớn của mạng thông tin máy tính đồng thời nó cũng là điều kiện thuận lợi cho
những ngời muốn phá hoại an toàn thông tin trên mạng máy tính.
Do đó cách tốt nhất để bảo mật thông tin là mã hoá thông tin trớc khi gửi
đi. Mục tiêu cơ bản của mật mã là cho phép 2 ngời, thờng đợc đề cập đến nh
Alice và Bob, liên lạc trên kênh không an toàn theo cách mà đối thủ Orcar không
thể hiểu cái gì đang đợc nói. Kênh này có thể là đờng điện thoại hoặc mạng máy
tính. Thông tin mà Alice muốn gửi đến Bob sẽ đợc gọi là bản rõ (plaintext), có
thể là bất kỳ tài liệu nào có cấu trúc tuỳ ý. Alice mã bản rõ bằng cách dùng khoá
xác định trớc, và gửi bản rõ thu đợc trên kênh không an toàn. Orcar dù thu trộm
đợc mã trên kênh song không thể hiểu đợc bản rõ là gì, nhng Bob là ngời biết
khoá mã có thể giải mã và thiết lập bản rõ.
Có hai loại mật mã là mật mã bí mật và mật mã khoá công khai.Trong mật
mã bí mật, 2 ngời muốn trao đổi thông tin cho nhau phải thoả thuận chọn một
cách bí mật khoá k. Từ k suy ra quy tắc mã hoá e
k
và quy tắc giải mã d
k
tính chất một chiều. Muốn giải mã các thông báo nhận đợc một cách hiệu quả ta
cần có một cửa sập 1 chiều. Điều này đảm bảo độ bí mật cao.
Mặt khác, mã hoá còn bao gồm cả xác thực và chữ ký số. Xác thực có nh-
ợc điểm là ở đây 2 bên cùng có chung một khoá nên không thể phân xử đợc khi 1
trong 2 ngời chối bỏ thông báo họ đã gửi cho ngời kia. Hơn nữa, trong mạng có
nhiều ngời sử dụng, nếu mỗi cặp có một khoá thoả thuận nh vậy thì mỗi ngời
phải lu giữ n-1 khoá bí mật. Khi n đủ lớn, đó là một việc phiền phức, phức tạp.
Chính vì vậy mà chữ ký số đợc sử dụng nhiều hơn. Chữ ký số có nhiệm vụ giống
chữ ký tay nghĩa là nó dùng để thực hiện các chức năng xác nhận của một ngời
gửi trên một văn bản. Nó phải vừa mang dấu vết không chối cãi đợc của ngời gửi,
vừa gắn với từng bit của văn bản mà nếu thay đổi dù chỉ một bit của văn bản thì
chữ ký cũng không còn đợc chấp nhận. Nói chung các lợc đồ chữ ký thì không
cần đối thoại. Nhng trong một số trờng hợp để tăng thêm trách nhiệm trong việc
xác nhận, ngời ta dùng các giao thức hỏi- đáp để xác định độ tin cậy của chữ ký.
Trong đồ án này tôi đi sâu tìm hiểu về lợc đồ chữ ký chống chối bỏ có ngời
xác nhận. ở đây chữ ký có thể đợc kiểm tra mà không cần đến sự cộng tác của
ngời ký mà là một ngời thứ 3- ngời xác nhận.
- 2 -
Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel : 0918.775.368
Chữ ký số ngời xác nhận không thể chối bỏ
Chơng I
TổNG QUAN Về NGÔN NGữ C
I.1. Lịch sử hình thành và phát triển
Ngôn ngữ C do Brian W.Kernighan và Dennis M.Ritchie phát triển vào
đầu những năm 70 tại phòng thí nghiệm BELL ( Hoa Kỳ) với mục đích ban đầu
là để phát triển hệ điều hành UNIX. Bối cảnh ra đời xuất phát từ nhu cầu cần phải
có một ngôn ngữ lập trình hệ thống thay thế cho hợp ngữ (Assembly) vốn nặng
nề, độ tin cậy thấp và khó chuyển đổi giữa các hệ máy tính khác nhau.
Ngoài việc C đợc dùng để viết hệ điều hành UNIX, ngời ta nhanh chóng
nhận ra sức mạnh của C trong việc xử lý các vấn đề hiện đại của tin học: xử lý số,
cận trực tiếp với các thiết bị phần cứng.
C không đa ra các phép toán xử lý trực tiếp các đối tợng hợp thành nh là
đối tợng toàn vẹn; không xác định bất kỳ một phơng tiện cấp phát bộ nhớ nào
khác ngoài cấp phát tĩnh, cấp phát động theo nguyên tắc xếp chồng cho các biến
cục bộ của hàm; không cung cấp cơ chế I/O, không có phơng pháp truy nhập tệp.
Tất cả các cơ chế này đợc thực hiện bằng những lời gọi hàm trong th viện.
C đa ra các kết cấu điều khiển cơ bản cần cho các chơng trình có cấu trúc
nh: nhóm tuần tự các câu lệnh, chọn quyết định (if); chu trình với phép kiểm tra
kết thúc ở đầu (for, while), hoặc ở cuối (do...while); và việc lựa chọn một trong
các trờng hợp có thể (switch).
C cung cấp con trỏ và khả năng định địa chỉ số học. Các đối của hàm đợc
truyền bằng cách sao chép giá trị đối và hàm đợc gọi không thể thay đổi đợc giá
trị của đối hiện tại.
C cho phép hàm đợc gọi đệ quy và các biến cục bộ của hàm sẽ tự động
sinh ra hoặc tạo mới với mỗi lần gọi mới. Các định nghĩa hàm không
- 4 -
Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel : 0918.775.368
Chữ ký số ngời xác nhận không thể chối bỏ
đợc lồng nhau nhng các biến có thể đợc khai báo theo kiểu cấu trúc khối. Các
hàm có thể dịch tách biệt. Các biến có thể trong hoặc ngoài hàm. Hàm chỉ
biết đợc các biến ngoài trong cùng một tệp gốc, hoặc biến tổng thể extern. Các
biến tự động có thể đặt trong các thanh ghi để tăng hiệu quả, nhng việc khai báo
thanh ghi chỉ là một hớng dẫn cho chơng trình dịch và không liên quan gì đến các
thanh ghi đặc biệt của máy.
C không phải là một ngôn ngữ có kiểu mạnh mẽ theo nghĩa của PASCAL
hoặc ALGOL/68. Nó tơng đối thoải mái trong chuyển đổi dữ liệu nhng không tự
động chuyển các kiểu dữ liệu một cách phóng túng nh của PL/I. Các chơng trình
dịch hiện có đều không đa ra cơ chế kiểm tra chỉ số mảng, kiểu đối số
Mặc dù vậy, C vẫn còn tồn tại một số nhợc điểm nh một số phép toán có
thứ tự thực hiện cha đúng; một số phần cú pháp có thể làm tốt hơn; hiện có nhiều
Điều khác nhau cơ bản giữa chữ ký tay và chữ ký số là bản sao thông
báo số đợc ký là đồng nhất với bản gốc. Trong khi đó, bản sao chép tài liệu giấy
đã ký thờng là khác với bản gốc. Điều này nghĩa là phải cẩn thận để ngăn chặn
một thông báo đã ký số bị sử dụng lại. Ví dụ, nếu Bob ký thông báo số
- 6 -
Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel : 0918.775.368
Chữ ký số ngời xác nhận không thể chối bỏ
cho quyền Alice rút $100 từ tài khoản ở nhà băng của mình, anh ta chỉ muốn
Alice làm việc đó một lần. Do đó, thông báo tự nó phải chứa thông tin để ngăn
chặn Alice làm lại việc đó nhiều lần.
Lợc đồ chữ ký số gồm 2 thành phần: một thuật toán ký và một thuật toán
kiểm tra. Bob có thể ký thông báo x nhờ thuật toán ký (bí mật) Sig. Chữ ký thu đ-
ợc Sig(x) sau đó có thể đợc kiểm tra nhờ thuật toán kiểm tra công khai Ver. Khi
cho cặp (x,y) thuật toán kiểm tra sẽ trả lời đúng hoặc sai phụ thuộc vào việc
chữ ký có đích thực không?
II. 2. Định nghĩa lợc đồ chữ ký số
Lợc đồ chữ ký số là một bộ năm phần tử (P, A, K, S, V) thoả mãn các điều
kiện sau:
1. P _ là một tập hữu hạn các thông báo.
2. A _tập hữu hạn các chữ ký có thể.
3. K _tập hữu hạn các khoá, không gian khoá.
4. Với mỗi k K, sig
k
S và ver
k
V
Mỗi sig
k
: P A, ver
k
Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel : 0918.775.368
Chữ ký số ngời xác nhận không thể chối bỏ
Lợc đồ chữ ký phải an toàn. Bởi vì Orcar có thể kiểm tra tất cả các khả năng của
chữ ký y nhờ thuật toán kiểm tra công khai Ver cho tới khi đạt đợc yêu cầu tức là
tìm đợc chữ ký đúng. Do đó, nếu có đủ thời gian cần thiết Orcar có
thể giả mạo đợc chữ ký của Bob. Vì vậy mục đích của chúng ta là tìm các lợc đồ
chữ ký sao cho Orcar không đủ thời gian thực tế để thử nh thế.
II. 3. Một vài lợc đồ chữ ký số
II.3. 1. Lợc đồ chữ ký số RSA
Lợc đồ chữ ký RSA đợc định nghĩa nh sau:
* Tạo khoá:
Cho n = p. q; với p, q là các số nguyên tố lớn khác nhau, (n) = (p - 1)(q -
1). Cho P = A = Z
n
và định nghĩa:
K = {(n, p, q, a, b): n = p.q; p, q là các số nguyên tố; ab 1mod (n)}
Các giá trị n và b là công khai; các giá trị p, q, a là bí mật.
* Tạo chữ ký:
Với K = (n, p, q, a, b) xác định:
Sig
K
(x) = x
a
mod n
* Kiểm tra chữ ký:
Ver
K
(x, y) = true x y
b
mod n; x, y Z
x phải có nghĩa. Do đó chữ ký giả mạo nói trên sẽ thành công với xác suất rất
nhỏ.
Ta có thể kết hợp chữ ký với mã hoá sẽ làm cho độ an toàn của chữ ký tăng
thêm.
Giả sử rằng, Alice sẽ tính chữ ký của cô ta là y = sig
Alice
(x), và sau đó mã
hoá cả x và y bằng cách sử dụng mật mã công khai e
Bob
của Bob, khi đó cô ta
nhận đợc z = e
Bob
(x, y). Bản mã z sẽ đợc truyền tới Bob. Khi nhận đợc z, việc trớc
tiên là anh ta giải mã bằng hàm d
Bob
để nhận đợc (x, y). Sau đó anh ta sử dụng
hàm kiểm tra công khai của Alice để kiểm tra xem liệu ver
Alice
(x, y) = true?
Nếu Alice mã hoá x trớc rồi sau đó mới ký lên bản mã đã đợc mã hoá thì
sao? Khi đó cô ta tính:
y = sig
Alice
(e
Bob
(x))
Alice sẽ truyền cặp (z, y) cho Bob. Bob sẽ giải mã z, nhận đợc x và kiểm
tra chữ ký y trên bằng cách sử dụng ver
Alice
. Một vấn đề tiềm ẩn trong biện pháp
y = x
a
modn = 100
31
mod247 = 74.
Bob gửi cặp (x, y) = (100, 74) cho Alice. Alice kiểm tra bằng cách sử dụng khoá
công khai của Bob nh sau:
x
= y
b
modn = 74
7
mod247 = 100 = x.
Alice chấp nhận y = 74 là chữ ký tin cậy.
II.3.2. Lợc đồ chữ ký ElGamal
Lợc đồ chữ ký số ElGamal đợc giới thiệu năm 1985 và đợc Viện tiêu
chuẩn và Công nghệ quốc gia Mỹ sửa đổi thành chuẩn chữ ký số. Lợc đồ
ElGamal không tất định cũng giống nh hệ thống mã hoá công khai ElGamal.
Điều này có nghĩa là có nhiều chữ ký hợp lệ cho một thông báo bất kỳ. Thuật
toán kiểm tra phải có khả năng chấp nhận bất kỳ chữ ký hợp lệ nào khi xác minh.
Lợc đồ chữ ký số ElGamal đợc định nghĩa nh sau:
* Tạo khoá:
Cho p là số nguyên tố sao cho bài toán lôgarit rời rạc trong Z
p
là khó và giả
sử Z
*
p
là phần tử nguyên thủy.
Cho P = Z
p
và Z
p-1
, ta định nghĩa:
Ver (x, , ) = True
.
x
modp.
- 10 -
Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel : 0918.775.368
Chữ ký số ngời xác nhận không thể chối bỏ
Chứng minh:
Nếu chữ ký đợc thiết lập đúng thì kiểm tra sẽ thành công vì:
a.
r.
modp
x
modp ( vì a + r x mod(p - 1)).
100
189 mod 467
Do đó chữ ký là tin cậy.
Bây giờ, ta xét độ an toàn của lợc đồ chữ ký ElGamal.
Giả sử Orcar thử giả mạo chữ ký trên thông báo x cho trớc mà không biết
a. Nếu Orcar chọn giá trị và thử tìm tơng ứng, anh ta phải tính logarit rời rạc
của log
x
-
. Mặt khác, nếu anh ta chọn trớc và sau đó thử tìm thì anh ta phải
giải phơng trình
x
modp, trong đó là ẩn. Bài toán này cha có lời giải,
tuy nhiên dờng nh nó liên quan đến bài toán đã nghiên cứu. Vẫn còn có khả năng
- 11 -
Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel : 0918.775.368
Chữ ký số ngời xác nhận không thể chối bỏ
là tìm và đồng thời để (, ) là chữ ký. Hiện thời không ai tìm đợc cách giải
song cũng không ai khẳng định đợc là nó không có lời giải.
Nếu Orcar chọn và , sau đó thử giải để tìm x, anh ta sẽ phải tính bài
toán logarit rời rạc, tức phải tính log
-
(
i
j
)
-
i
j
1
modp
-i.j
1
-
-
303 mod467
Do đó chữ ký là hợp lệ.
Orcar có thể giả mạo chữ ký theo kiểu khác là bắt đầu từ thông báo x đã đ-
ợc Bob ký. Giả sử (, ) là chữ ký hợp lệ trên x. Khi đó Orcar có khả năng ký lên
nhiều thông báo khác nhau. Giả sử i, j, h là các số nguyên; 0 h; i, j p 2 và
(h - j, p - 1) = 1. Thực hiện các phép tính:
=
h
i
j
modp
à = (h - j)
-1
mod(p - 1)
x
= (hx + i)(h - j)
-1
mod(p - 1)
Trong đó (h - j)
-1
đợc tính theo module (p - 1).
Kiểm tra:
à
'
báo này thành một thông báo rút gọn, sau đó ta sẽ dùng lợc đồ chữ ký để ký
thông báo rút gọn.
Ta có mô hình chung nh sau:
Thông báo x độ dài tuỳ ý
Thông báo rút gọn z = h(x) 160 bit
Chữ ký y = sig
K
(x) 320 bit
Nếu không cần bí mật x ta sẽ gửi cặp (x, y) cho ngời nhận. Nếu cần giữ bí
mật x thì ta sẽ mã hoá thông báo x thành x
và gửi cặp (x
, y).
III.2. Định nghĩa
Hàm Hash là một hàm tính toán có hiệu quả khi ánh xạ các dòng nhị phân
có độ dài tuỳ ý thành các dòng nhị phân có độ dài cố định nào đó.
- Hàm Hash yếu: Hàm Hash đợc gọi là yếu nếu cho một thông báo x thì về mặt
tính toán không tìm ra đợc thông báo x
khác x sao cho :
h(x
) = h(x)
- Hàm Hash mạnh: Hàm Hash đợc gọi là mạnh nếu về mặt tính toán không tìm ra
đợc hai thông báo x và x
III.3.1. Các hàm Hash đơn giản
Tất cả các hàm Hash đều đợc thực hiện theo nguyên tắc chung là: Đầu vào
đợc biểu diễn dạng một dãy các khối có độ dài n bít. Các khối n bit này
đợc xử lý theo cùng một kiểu và lặp đi lặp lại để cuối cùng cho đầu ra có số bit cố
định.
Hàm Hash đơn giản nhất là thực hiện phép toán XOR từng bit một của mỗi
khối. Nó đợc biểu diễn nh sau:
C
i
= b
1i
b
2i
b
mi
Trong đó:
C
i
: là bit thứ i của mã Hash, i =
n,1
m: là số các khối đầu vào.
b
ji
: là bit thứ i trong khối thứ j
: là phép cộng modulo 2.
Sơ đồ hàm Hash sử dụng phép XOR:
Khối 1: b
11
b
12
Chaining), thực hiện nh sau:
Giả sử thông báo X đợc phân thành các khối 64 bit liên tiếp:
X = X
1
X
2
X
N
Khi đó mã Hash C là:
C = X
NH
= X
1
X
2
X
n.
Sau đó mã hoá toàn bộ thông báo nối với mã Hash theo mode CBC để sản
sinh ra bản mã:
Y
1
Y
2
Y
N+1
III.3.2. Kỹ thuật khối xích
Ngời đầu tiên đề xuất kỹ thuật mật mã xích chuỗi nhng không có khoá bí
mật là Rabin.
Kỹ thuật này thực hiện nh sau:
Chia thông báo M thành các khối có cỡ cố định là M
)
m
(Z
2
)
t
là một hàm Hash mạnh, trong đó m t + 1. Ta sẽ
xây dựng hàm Hash mạnh:
h
*
: X (Z
2
)
t
, trong đó
=
mi
X
= (Z
2
)
i
* Xét trờng hợp m t + 2
Giả sử x X, vậy thì tồn tại n để x (Z
2
)
n
, n m.
Ký hiệu:
k
x
1 và m t 1 1, k 2.
Khi đó: k =
1tm
n
+ 1
Thuật toán xây dựng h thành h
*
đợc mô tả nh sau:
1. Cho i = 1 tới k 1 gán y
i
= x
i
;
2. y
k
= x
k
0
d
( 0
i
1y
i+1
)
6. h
*
(x) = g
k+1
Ký hiệu y(x) = y
1
y
2
y
k+1
Ta thấy rằng y(x) y( x
) nếu x x
.
- 18 -
Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel : 0918.775.368
Chữ ký số ngời xác nhận không thể chối bỏ
* Xét trờng hợp m = t + 1
Cũng nh trên, ta giả sử
x
= n > m
Ta xác định hàm f nh sau:
f(0) = 0;
f(1) = 01;
Thuật toán xây dựng h
= h( g
i
y
i+1
) (
i
y
= m t - 1)
5. h
*
(x) = g
k
.
III.3.4. Hàm Hash MD4
Năm 1990, RIVEST đữ đề xuất hàm hash MD4, sau đó một phiên bản
mạnh hơn MD4 đã ra đời vào năm 1991 đó là MD5. Cùng thời điểm đó SHS
(Secure Hash Standard) phức tạp hơn ra đời. Nhng MD5 và SHS đều dựa trên nền
tảng của MD4 và SHS đã đợc thừa nhận nh là một chuẩn hoá vào tháng 5 năm
1993.
Thuật toán thực hiện MD4:
- 19 -
Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel : 0918.775.368
Ch÷ ký sè ngêi x¸c nhËn kh«ng thÓ chèi bá
- 20 -
Bíc M« t¶
1 A = 0x67452301
B = 0xefcdab89
C = 0x89badcfe
D = 0x10325476
độ dài đồng d với 448mod512 (độ dài mod512) và cuối cùng gắn thêm 64 bit
biểu diễn nhị phân độ dài nguyên thuỷ của x. Kết quả chuỗi M có độ dài chia hết
cho 512. Vì vậy khi cắt thành những từ có độ dài 32bit ta sẽ đợc số N chia hết
cho 16.
Chúng ta tiếp tục xây dựng thông báo rút gọn có độ dài 128 bit đợc mô tả
dựa trên thuật toán xây dựng M. Một thông điệp thu gọn đợc xây dựng nh một sự
ghép của 4 từ A, B, C, D. Các từ này gần tơng tự nh 4 thanh ghi trong máy tính.
- 21 -
Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel : 0918.775.368
Chữ ký số ngời xác nhận không thể chối bỏ
Các thanh ghi có giá trị khởi tạo từ bớc 1. Xử lý mảng M[] tại một thời
điểm, thực hiện 16 từ của M[] và lu trữ chúng trong mảng X[] tại bớc 3. Tại bớc 4
giá trị của A, B, C, D đợc lu trữ trong các biến AA, BB, CC, DD. Sau đó chúng ta
thực hiện 3 vòng lặp của hashing. Mỗi vòng thực hiện các phép toán số học và
logic trên 16 từ của X, các toán hạng này sau khi thực hiện trong 3 vòng sẽ cho
giá trị mới bằng cách cộng vào các giá trị đợc lu trữ trong bớc 4. Đây là phép
cộng các số nguyên đợc rút gọn bằng phép module 2
32
. Khi MD4 thực hiện đầy
đủ thì một điều cần thiết phải tính đến đó là cấu trúc của bộ vi xử lý trong máy
tính nhằm mục đích thực hiện các phép cộng chính xác nhất.
Trong 3 vòng Round1, Round2, Round3 của MD4 thực hiện các phép toán
logic sau:
+ a << s: phép quay vòng dịch trái đại lợng a đi s bit, 1 s 32
+ơa: phép đảo bit
+ : phép and
+ : phép or
+ : phép Xor
+ +: cộng 2 số nguyên theo module 2
32
1 A = (A + f(B, C, D) + X
o
)<<3
2 D = (D + f(A, B, C) + X
1
)<<7
3 C = (C + f(D, A, B) + X
2
)<<11
4 B = (B + f(C, D, A) + X
3
)<<19
5 A = (A + f(B, C, D) + X
4
)<<3
6 D = (D + f(A, B, C) + X
5
)<<7
7 C = (C + f(D, A, B) + X
6
)<<11
8 B = (B + f(C, D, A) + X
7
)<<19
9 A = (A + f(B, C, D) + X
8
)<<3
10 D = (D + f(A, B, C) + X
9
)<<7
8
+K
1
)<<9
4 B = (B + g(C, D, A) + X
12
+ K
1
)<<13
- 23 -
Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel : 0918.775.368
Ch÷ ký sè ngêi x¸c nhËn kh«ng thÓ chèi bá
5 A = (A + g(B, C, D) + X
1
+ K
1
)<<3
6 D = (D + g(A, B, C) + X
5
+ K
1
)<<5
7 C = (C + g(D, A, B) + X
8
+K
1
)<<9
8 B = (B + g(C, D, A) + X
13
+ K
1
)<<5
15 C = (C + g(D, A, B) + X
11
+K
1
)<<9
16 B = (B + g(C, D, A) + X
15
+ K
1
)<<13
Round3:
1 A = (A + h(B, C, D) +X
0
+ K
2
)<<3
2 D = (D + h(A, B, C) + X
8
+ K
2
)<<9
3 C = (C + h(D, A, B) + X
4
+ K
2
)<<11
4 B = (B + h(C, D, A) + X
12
+ K
2
)<<9
11 C = (C + h(D, A, B) + X
5
+ K
2
)<<11
12 B = (B + h(C, D, A) + X
13
+ K
2
)<<15
13 A = (A + h(B, C, D) +X
3
+ K
2
)<<3
14 D = (D + h(A, B, C) + X
11
+ K
2
)<<9
15 C = (C + h(D, A, B) + X
7
+ K
2
)<<11
16 B = (B + h(C, D, A) + X
15
p
*
là một phần tử của bậc q (Nếu
0
là phần tử nguyên thuỷ
của Z
p
thì =
0
(p -1)/q
modp). Lấy 1 a q-1 và xác định: =
a
modp.
Lấy G là phân nhóm nhân của Z
p
*
bậc q (G bao gồm các thặng d bậc 2 theo
modun p).
Lấy P = A = G, xác định:
K = { (p, , a, ): =
a
modp}
- 25 -
Copyright: Tài liệu đại học ©