Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn
137 MỤC LỤC
1. CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ 01
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 08
3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 36
4. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 53
5. CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ 101
6. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ 112
7. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 123
8. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 128
9. TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 136

/>
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn
1
§ÆNG VIÖT HïNG
+ Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu khi biết dấu của một khoảng nào đó.
+ Việc xét dấu biểu thức chúng ta chỉ được quy đồng mẫu số mà không được nhân chéo.

Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Xét dấu các biểu thức sau
a)
2
( ) 3.
3 4
+
= +
−
x
f x
x
b)
1 3
( ) 2 .
1
= − −
−
f x
x x

c)
( 3)(3 2 )
( ) .
1
+ −
=

+ −
x x
f x
x x

g)
2
1 1 2
( ) .
1
−
= + −
+
+
x
f x
x x
x x
h)
1 2 3
( ) .
2 2
= + −
− +
f x
x x x

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a)
1 2 3

x x
x
d)
4 3 2
2
3 2
0.
30
− +
>
− −
x x x
x x

e)
4 2
2
4 3
0.
8 15
− +
≥
− +
x x
x x
f)
( )
3 2
3 3
0.

g x g x

+
Để
chia
đ
a th
ứ
c b
ằ
ng l
ượ
c
đồ
Hoocner ta ph
ả
i s
ắ
p x
ế
p
đ
a th
ứ
c chia theo l
ũ
y th
ừ
a gi
ả

i
ể
n hình:
Ví dụ: Thực hiện các phép chia sau
a)
4 3 2
3 2
3
+ − +
=
+
x x x x
x
………
b)
3 2
3 2 10
1
− + − +
=
−
x x x
x
………
c)
2
2
1
+ +
=

N
ế
u x = x
o
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
(1)
thì
( ) ( )
( )
( )
3 2
1 0
′ ′ ′
⇔ = − + + + =
o
f x x x ax b x c x d
( )
3 2
′ ′ ′
→ = + + +
−
o

( ) ( ) ( )
3 2
1 1 2 1= − + − − + −f x x m x m x m

Hướng dẫn giải :
a)
( )
4 3 2
2 4 3 2 1= + − − −
f x x x x x

Xét phương trình
( )
4 3 2
0 2 4 3 2 1 0= ⇔ + − − − =f x x x x x

Ta nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm là x = 1.
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
4 3 2
2 4 3 2 1
0 1 . 2 4 3 2 1
1
+ − − −
= ⇔ − = + − − − → =
−
x x x x
f x x g x x x x x g x
x

ổ
ng h
ệ
s
ố
b
ậ
c ch
ẵ
n là −2 − 1 = −3, t
ổ
ng h
ệ
s
ố
b
ậ
c l
ẻ
c
ủ
a ph
ươ
ng trình là 4 − 7 = −3
T
ừ

đ
ó ta th
ấ

( ) ( ) ( )
( )
3 2
2 3 2 2
4 2 7 1
4 6 1 4 2 7 1 1 4 6 1
1
− − −
= = − − → = − − − = + − −
+
x x x
g x x x f x x x x x x x
x

c)
( ) ( ) ( )
3 2
1 1 2 1= − + − − + −f x x m x m x m

T
ổ
ng các h
ệ
s
ố

đ
a th
ứ
c là

3 2
4 6 1= + − +
f x x x x
=
………………………………………………………………

c)
( )
3 2
= + − −
f x x mx x m
=
……………………………………………………………….d)
( ) ( )
3 2
2 1= − + − +
f x x x m x m
=
……………………………………………………….

e)
( )
3 2
6 8= + − −f x x x x
=
……………………………………………………………….


úng v
ớ
i m
ọ
i x.
+ n
ế
u b = 0 và c
≠
0 thì (*) vô nghi
ệ
m.
+ n
ế
u b
≠
0 thì
( )
* ⇔ = −
c
x
b


Nếu a
≠
0 thì (1) là phương trình bậc hai có biệt thức
( )
2
2

a a

+ n
ế
u
∆
= 0 thì (1) có nghi
ệ
m kép .
2
−
=
b
x
a

+ n
ế
u
∆
= 0 thì (1) vô nghi
ệ
m.
b) Hệ thức Vi-ét:
Khi (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1

ế
t qu
ả
c
ầ
n l
ư
u ý:


( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2+ = + − = −
x x x x x x S P



( ) ( )
3
3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
3 3+ = + − + = −
x x x x x x x x S SP



( ) ( )
2 2

4 0
0
0
; 0
0


− >

∆ >

−

⇔ = + = >
 
>



= = >


b ac
b
S x x
x x
a
c
P x x
a

b
S x x
x x
a
c
P x x
a


Phương trình có hai nghiệm trái dấu
⇔
ac < 0.

/>
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn
5


Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi
( )( )
( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
2
1 2
2
1 2 1 2

− + + >

+ + >


b ac b ac
b b
x x S x x S x x
x ,x
a a
x x
c b
x x x x
.
a a


Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi
( )( )
( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
2
1 2
2
1 2 1 2
4 0 4 0
0
0


b ac b ac
b b
x x S x x S x x
x ,x
a a
x x
c b
x x x x
.
a a


Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều khác α khi
( )
2
1 2
0 0
0
; α α 0
α α 0
∆ > ∆ >

∆ > 

 
⇔ ⇔
  
≠ ≠
+ + ≠

0
0
0
0
α
α
α
α
2
2
2
2
0
0
0
0
α α α 0
α α 0 α α 0

∆ =


∆ =

∆ =

 
∆ =




⇔ ⇔ ⇔




∆ >



∆ >
∆ >

∆ >

  




   



< < − − <
− + + <
+ + <




t nghi
ệ
m và nghi
ệ
m này nh
ỏ
h
ơ
n α khi
( )( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0
0
0
0
α
α
α
α
2
2
2
2


= = <




= = <
= = <
= = <










⇔ ⇔ ⇔




∆ >



∆ >
∆ >

x x
x x
x x
x x
a
a
a
a
c b
x x x x
x x x x .
a a

Ví dụ 1: Cho phương trình
( ) ( )
+ + + + =
2
1 4 2 3 0, 1m x mx m

a) Giải và biện luận phương trình đã cho.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn −
−−
−1.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả

2 2
4 1 2 3 2 5 3m m m m m
′
∆ = − + + = − −
+ Nếu
2
1
0 2 5 3 0 3
2
m m m
′
∆ < ⇔ − − < ⇔ − < < thì (1) vô nghi
ệm.
+ Nếu
2
3
0 2 5 3 0
1
2
m
m m
m
=


′
∆ = ⇔ − − = ⇔

= −



thì (1) có 2 nghi
ệm phân biệt
2
1;2
2 2 5 3
.
1
m m m
x
m
− ± − +
=
+ />
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn
6

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi
( )
2
3
0 2 5 3 0 *
1
2
m

1
.
Theo
đị
nh lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
4
1
2 3
1
b m
x x
a m
c m
x x
a m

+ = − =


+

+

= =

+



m
− < <


− >


+ >

  > −
+

⇔ ⇔ →
  

> +

 
>

< −


+




c) Hai nghiệm đều nhỏ hơn −1 khi
( )( ) ( )

 + + >  + + + >
    
+ + +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <
>

    
+ < − + < −
 

 
  
− < − − >
< −


 
+ +
 

Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn tại hai nghiệm phân biệt ta được 3 < m < 4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho phương trình
( )
( )
( )
+ + − + =
2
2 2 1 0, 1x x mx m
.
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.


Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác −2.
Điều đó xảy ra khi
( )
( )
2
2
4 2 5
0
4 1 2 0
8 4 0
4 2 5
*
4 5
( 2) 0
4 2 2 1 0
5
4
g
m
m m
m m
m
m
g
m m
m


> − +

4
m
m
m


> − +



< − −




≠


thì ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
b)
Do nghi
ệ

; x
3
là hai nghiệm phân biệt của (2).
Theo định lí Vi-ét ta được
2 3
2 3
1 2
x x m
x x m
+ = −


= −


Khi
đ
ó
( )
( )
2
2 2 2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
7 4 2 7 2 1 2 3 0 4 5 0 5 1.x x x x x x x m m m m m+ + < ⇔ + + − < ⇔ − − − < ⇔ + − < ⇔ − < <

K
ế
t h
ợ
p v

b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương
trình.
c) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức
1 2
2 1
5
0.
2
+ + =
x x
x x

Bài 2: Cho hàm số y = (x – 1)(x
2
+ mx + m).
a) Với m = 2, tính y’ và giải phương trình y’ = 0.
b) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 song song với đường thẳng d: y = −2x − 3
c) Tìm m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt x
1
; x
2
; x
3
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3


a)
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng ph
ươ
nh trình có nghi
ệ
m x
1
, x
2
v
ớ
i m
ọ
i m. Tính nghi
ệ
m kép (n
ế
u có) c
ủ
a ph
ươ
ng trình và giá tr
ị

nh
ấ
t c
ủ
a A và giá tr
ị
c
ủ
a m t
ươ
ng
ứ
ng.
c)
Tìm m sao cho ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m này b
ằ
ng hai l
ầ
n nghi
ệ
m kia.
d)
Tim m
để
ph
ươ

để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
đề
u d
ươ
ng.
c)
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2
; x
3
th
ỏ
a mãn

Xét hàm số bậc ba :
3 3 2
3 3
′
= + + + ⇒ = + +
y ax bx cx d y ax bx c

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

N
ế
u
a
= 0 thì
3 0
3
′ ′
= + → = ⇔ = −
c
y bx c y x
b

Trong tr
ường hợp này hàm số có 1 cực trị.
 Nếu a ≠ 0 :
+ Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm
kép, tức là ∆ ≤ 0.
+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt.
Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0.
Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.

ề
n xác
đị
nh (hay hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n ho
ặ
c ngh
ị
ch bi
ế
n
trên mi
ề
n xác
đị
nh),
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi y′ = 0 vô nghi
ệ

c tr
ị
khi y′
đổ
i d
ấ
u trên mi
ề
n xác
đị
nh,
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
2
3 5
2
0 3 1 0
3 5
2


= + − + + −
3 2
2 2 3y mx m x mx m tùy theo giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m.
Hướng dẫn giải:
Ta có
( )
2
3 2 2 2 .
′
= + − +
y mx m x m

TH1 :
m = 0.
Khi đó
4 ; 0 0
′ ′
= − = ⇔ =y x y x
, trong trường hợp này hàm số có một cực trị.
TH2 :
m ≠ 0.
 Hàm số không có cực trị khi
2
0

⇔ ⇔ ⇔
  

′
∆ ≤

+ − ≥

− −




≤
− − 

≤





m
m
m
m
m
m m
m
m

′
∆ >
+ − <




≠

m
m
m
m m
m

K
ết luận :
- Hàm số không có cực trị khi
2 2 6 2 2 6
; .
5 5
− + − −
≥ ≤m m
- Hàm s
ố
có m
ộ
t c
ự
c tr

đ
ây có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u:
a)
( )
3 2 2
2 1 2= − + − +y x mx m x

b)
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 3 2 1= − − + − + − −y x m x m m x m m

Bài 2.
Tìm m
để
hàm s
ố

( ) ( )
3 2

Các bài toán xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại
và cực tiểu).
Gọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x
1
; x
2
. Khi đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2

+ = −




=


B
x x
A
C
x x
A


ả
o sát, t
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên ta có k
ế
t lu
ậ
n v
ề
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i,
hay c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
( )
( )
0
.
0
′

=

= ⇔ →

′′
<


o
o
o
y x
x x m
y x


x x m
y x

Chú ý:
Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
( )
( )
0
0
′

=

= ⇔

′′
≠


o


a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
1
0 5 4 0
4
> −

′
⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇔

< −

m
m m
m

b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.


 Cách 1:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì
( )
0 0 0.
′
= ⇔ =y m

+ Với m = 0 thì ta có
2
0

0 0
0
0 0
2( 2) 0
0 0
′

=
=


= ⇔ ⇔ ⇔ =
 
− + <
′′
<



y
m
x m
m
y

V
ậ
y m = 0 thì hàm s
ố


ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2 thì
( )
4
2 0 4 4( 2) 0 5 4 .
5
′
= ⇔ − + − = ⇔ = − ⇔ = −y m m m m

+ V
ớ
i
2 2
2
4 4 4 12 4
2 2 0
2
5 5 5 5 5
5
=

 

∞−∞
CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
x
= 2.
Vậy
4
5
= −m là giá trị cần tìm.


 Cách 2:
Hàm số đạt cực tiểu tại
( )
( )
4
2 0
5 4 0
4
2 .
5
2 0
5
2 0
0

′

ố

đ
ã cho
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho hàm s
ố

3 2
(2 1) 2 3.= − + − + −y x m x mx

a)
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự

i t
ạ
i x = 3.

/>
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn
11

Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước.

Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hoành độ dương.
Khi đó ta có
1 2
2 1
1 2
0
0
0
0
0
B
S x x
A
x x
P x x C
A
−


1 2
1 2
0
0
0
0
0
B
S x x
A
x x
P x x C
A
−

<

= + <


< < → ⇔
 
= >


>





1 2
2 1
1 2
α α
0
α α
0
α α
0
α
2
α
2
α
2
α
C B
x x x x
x x
A A
x x
B
x x
B
A
A

−
 


2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
α α
0
α α
0
α α
0
α
2
α
2
α
2
α
C B
x x x x
x x
A A
x x
B
x x
B
A
A

−

2
.
Khi
đ
ó ta có
( )( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
α α α 0 α α 0 α α 0
−
 
< < ⇔ − − < ⇔ − + + < ⇔ − + <
 
 
C B
x x x x x x x x
A A

Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị.
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
. Khi đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2

c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b) Tìm
m

để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
x
1
; x
2

i, c
ự
c ti
ể
u khi ph
ươ
ng trình y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
( )
2 2
7 3 5
2
0 ( 1) 9 0 7 1 0 *
7 3 5
2

− +
>


′
⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ + + > ⇔

− −
<



b) Gọi x
1
;
x
2
là hoành
độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x
1
;
x
2
là hai nghi
ệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2
2(1 )
3
−

+ =



= −

m
x x
x x m


1
; x
2
là hoành
độ

đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó x
1
; x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình y′ = 0.

2 2 0
4 0
2
3
2(1 )
4
4
1 6
3

− + + >
−

 − − >
− − + >
  
> > ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ >
>


 
− >


x x x x
m
x x

m

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
7 3 5
8
2
m
− −
− < < là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
d)
Ta có
1
2

ế
n thiên
x
−∞ x
1
x
2
+∞
y’
+ 0 − 0 +
y
C
Đ
+∞

−∞ CT

Ta th
ấ
y hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i


′
∆ < − −


m
m
x m m
m

2 2
5
5
8 5.
3 24
7 1 10 25
≤ −

≤ −


⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −
 
> −
+ + < + +



m
m

3 2
3( 1) 9 .y x m x x m

Tìm
m

để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
x
1
; x
2

th
ỏ
a mãn

khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
1 2
; 0
′
⇔ ∆ >x x

( )
2
1 3
( 1) 3 0 *
1 3

> − +
⇔ + − > ⇔

< − −


m
m
m


Theo
đị
nh lý Vi-et ta có
1 2
1 2
2( 1)
3

3 1 3
1 3 1

− ≤ < − −

− + < ≤


m
m
là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
= + − + − + +
3 2
(1 2 ) (2 .) 2y x m x m x m

Tìm
m

để
hàm s
ố

đạ
t c
ự

ả
i:
Ta có
2
3 (1 2 .)2 2= − +
′
+ −
x m x m
y


Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
khi y′ = 0 có hai nghi

1 2
1 2
(1 2 )
3
2
2
.
3
−

+ = −



−

=


m
x x
m
x x

Khi
đ
ó
( ) ( )
2 2
2

1

+
>


< −


m
m
là các giá tr
ị cần tìm.
Ví d
ụ
4: Cho hàm s
ố

= − − + − +
3 2
1 1
( 1) 3( 2) .
3 3
y x m x m x

Tìm
m

để
hàm s

2( 1) 3( 2).
′
= − − + −y x m x m

 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

2
5 7 0,
′
⇔ ∆ = − + > ∀m m m

Khi
đ
ó ta có
( )( )
1 2 2 2 2
1 2 1 2 1
1 2 1 2
1 2
2( 1) 1 2 2( 1) 3 2
3( 2) 3( 2) 1 2(2 2 ) 4 3
2 1 2 1
3( 2) 3 2 4 3 3 6

ị
c
ầ
n tìm.
Ví d
ụ
5: Cho hàm s
ố

= + + + +
3 2
(1– 2 ) (2 – ) 2.
y x m x m x m

Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u
đồ


Do h
ệ
s
ố
a = 3 > 0 nên yêu c
ầ
u bài toán tr
ở
thành y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn

/>
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn
14

2
1 2
4 5 0

để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
x
1
; x
2

th
ỏ
a mãn

= −
1 2
4 .
x x


x x
m
x x m
x x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho hàm số
3 2
( 2) ( 1) 2.= + + − − +y x m x m x

a)
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b)
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3.
c)
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
10.+ <x x

d)
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1.
Bài 2:
Cho hàm số
( ) ( )

b)
Tìm m sao cho biểu thức
( )
1 2 1 2
2= − +
P x x x x

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 5:
Cho hàm s
ố

3 2
1
( 6) 1.
3
= + + + −y x mx m x
Tìm giá trị của m để
a)
hàm số có cực trị.
b)
hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1

ọ
a
độ
.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu.

+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị
với y
CĐ
.y
CT
< 0.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với
y
CĐ
.y
CT
> 0.
Ví d
ụ
1: Cho hàm s
ố

= + + +
3 2
3 – 2
y x x mx m
, v
ớ

ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a tr
ụ
c hoành.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
3 6
′
= + +
y x x m
, hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Tức là
9 3 0 3.
′
∆ = − > ⇔ <m m

/>
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn
15

Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox:

m
g m

Vậy m < 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
= − + + − − + −
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x
, v
ớ
i
m
là tham s
ố
.
Tìm
m để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i

đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y
′
= 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
( )
( )
2
2
0 2 1 3 3 2 0
′
⇔ ∆ > ⇔ + − − + >m m m

2
13 3 21
2
13 5 0
13 3 21
2

− +
>


a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví d
ụ
3: Cho hàm s
ố

= − + − −
3 2
1
(2 1) 3
3
y x mx m x
, v
ớ
i
m
là tham s
ố
.
Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự
c

ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2
2 2 1
′
= − + −y x mx m

Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
2
0 2 1 0 1
′
⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ ≠m m m

ấ
u
1
0 2 1 0 .
2
⇔ > ⇔ − > ⇔ >ac m m
K
ết hợp điều kiện ta được
1
1
2
< ≠m th
ỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tính ch
ấ
t 5: Các bài toán c
ự
c tr
ị
khi
y′
′′
′
= 0 gi
ả
i
đượ
c nghi
ệ
m ‘

ử
d
ụ
ng yêu c
ầ
u c
ủ
a
đề
bài
để
gi
ả
i ra tham s
ố
.
Ví d
ụ
1: Cho hàm s
ố

= − + − − +
3 2 2 3
3 3( 1) .
y x mx m x m m

Tìm giá tr
ị
c
ủ

n g
ố
c t
ọ
a
độ
b
ằ
ng
2
l
ần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
2 2 2 2
3 6 3( 1) 0 2 1 0
′ ′
= − + − ⇒ = ⇔ − + − =y x mx m y x mx m

Hàm s
ố
có c
ự
c

x m B m m

Do h
ệ
s
ố
a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và B là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
.
Theo bài ta có
2
3 2 2

( )
−
= − + − + −
2
3
3 1
1
(3 2) 1.
3 2
m x
y x m x m

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2.
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2
thỏa mãn
+ >
3 3
1 2
28x x

d) hàm s
ố

đạ
t c

2 2
3 1 3 2 0 3 1 3 2 0.y x m x m y x m x m
′ ′
= − − + − ⇒ = ⇔ − − + − =
a) Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y
′
= 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
( ) ( )
2



Hoành
độ
các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u l
ớ
n h
ơ
n 2 khi
3 1 2 1.m m− > ⇔ >
V
ậ
y v
ớ
i m > 1 thì hàm s
ố

đ

3
x x m m m+ > ⇔ + − > ⇔ − > ⇔ >

d) Do vai trò bình
đẳ
ng c
ủ
a x
1
; x
2
nên ta có hai tr
ườ
ng h
ợ
p x
ả
y ra

V
ớ
i
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 10
1; 3 1 2 12 2 3 1 12 3 1 10
3
x x m x x m m m

=

V
ớ
i
( )
2
2 2
1 2 1 2
22 2 22
3 1; 1 2 12 2 3 1 1 12 3 1
2 6
x m x x x m m m
±
= − = ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ − = ± → =
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t

ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m A, B sao cho

.=
0
120AOB
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
2
0
3 6 0
2 4

 
0
1
120 cos
2
= ⇒ = −AOB AOB
( )
( )
2 2
2
2 2
4 0
( 4) 1
4 ( 4) 2 ( 4)
3 24 44 0
2
4 ( 4)
4 0
12 2 3 2
4
12 2 3
3
3
3
− < <
+

⇔ = − ⇔ + + = − + ⇔

+ + =

ầ
n tìm.
Ví d
ụ
4: Cho hàm s
ố

= − + − −
3 2
3 3 1y x mx m

Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này
đố
i x

Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇒
m ≠ 0

/>
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn
17

Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là
3 3
(0; 3 1), (2 ;4 3 1) (2 ;4 )− − − − ⇒A m B m m m AB m m


Trung

(8; 1)= −

u
.
A và B
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i nhau qua d
⇔

( )
3
8(2 3 1) 74 0
2
. 0

+ − − − =
∈


⇔ ⇔ ⇔ =
 
⊥
=




ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)
Ta có
( ) ( )
( )
3 2 2 2
3
3 1 1 3 3 3 1 3 1
2
m
y x x m x y x mx m x mx m
′
= − + − + ⇒ = − + − = − + −
Hàm s
ố có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có điều kiện
( )
2
0 2 0 2.m m∆ > ⇔ − > ⇔ ≠
V
ậ
y v
ớ
i m ≠ 2 thì hàm s
ố

m
(2) 0
, ( )
(2) 0
′
=


′′
>

y
I
y

Ta có y′′ = 6x – 3m, khi
đó
4 2 1 0 3
( ) 3
12 3 0 4
m m m
I m
m m
− + − = =
 
⇔ ⇔ ⇒ =
 
− > <
 



Giá tr
ị m = 1 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
d) Hàm số không có cực đại, cực tiểu khi y′ không đổi dấu ⇔ y′ = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (m – 2)
2
≤ 0
Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2.
Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho không có cực trị.
e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x
2
– mx + m – 1 = 0
( )
1
1
2
2
2
2
3 2
2
1
2
2
2
2
3 5 4
1
2
2
m

G
ọ
i A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
) là các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó
2
3 8 6
2 ;
2
m m

2
2
/ / 2 4 9 3 8 6 27 74 58 0
9 1
d o
m m
m
AB u m m m m m vn
− +
−
⇔ = ⇔ − = − + ⇔ − + = →
−
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho hàm s
ố

( )
2
3
2 1
1
2(2 1) 3.
3 2
m x
y x m x
−
= − − + +

ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m có hoành
độ
x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
2 2
1 2
2 12x x+ =

Bài 2:
Cho hàm s
ố

( )
2
3 2
3 1

′
= + +
y y g x ax b
khi đó đường thẳng d : y = ax + b chính là đường thẳng đi qua các
điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Tác dụng lớn nhất của việc tìm được phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là lấy được tung độ của
chúng. Thật vậy, gọi M, N là các điểm cực đại, cực tiểu thì
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;+ +
M x ax b N x ax b
, trong đó x
1
; x
2
là hai
nghiệm của phương trình y′ = 0 và ta có thể dùng Vi-et được.
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )= − + + − + −
3 2 2 3 2
3 3 1y x mx m x m m

Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
1 0,
′
⇔ ∆ = > ∀m

Vậ
y hàm s
ố
luôn có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a m.
Chia y cho y′ ta
đượ
c
2
1

2
1 1 1
2
2 2 2
1
2
3 3
1
2
3 3

 
′
= − + − +
 


 

 

′
= − + − +
 

 

x
x
m

y, ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng qua hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho là
2
2= − +
y x m m
.
Ví d

đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
d
:
y
=
−
−−
−
4
x
+ 3.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả

2 2
3 3 3 3
     
′
= − − + + −
     
     
m
xy
m
x y
G
ọ
i
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y là các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
, khi
đ
ó ph
ươ
ng trình
đườ


− ≠

⇒

m
m
m
d y x

/>
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn
19

Đối chiếu với (*) ta được m = 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
= − − +
3 2
3 2y x x mx

Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự

3 6
′
= − −y x x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
( )
0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −
m m
Chia y cho y
′
ta
đượ
c
1 1 2
2 2
3 3 3 3
     
′
= − − + + −
     
     
m
xy
m
x y
G
ọi
( ) ( )

Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng
( )
1 2 1 2
1 1
2 2
+ +
⇔ = − ⇔ = −
I I
y y x x
d y x
( ) ( )
1 2 1 2
2 2 2
2 2 2 2 3 .2 6 0
3 3 3 3
     
− + + + − = + − ⇔ + = − ⇔ =
     
    
⇔

m m m m
x x x x m
V
ậy
3
0;
2
= = −m m là các giá tr
ị cần tìm.

i x
ứ
ng nhau qua (
d
):
x

−
−−
−
2
y

−
−−
−
5 = 0.
Hướng dẫn giải :
Ta có
2
3 6
′
= − +y x x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
( )
0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ <m m
Chia y cho y′ ta được

1
: 2 5 0
2
− − = ⇒ =
d
d x y k
A, B đối xứng nhau qua (d) thì ta phải có
( ) ( )
1 2
. 1 2 1 0
2 3
 
⊥ ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ =
 
 
AB d
AB d k k m m
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2).
Ta thấy I ∈ (d), do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (d).
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho hàm số
3 2
3( 1) 9 2= − + + + −y x m x x m
Tìm m
để
hàm s
ố
có

=d y x
Đ
/s:
m
= 1
Bài 2:
Cho hàm s
ố

3 2
3 2= − − +y x x mx
Tìm m
để
hàm s
ố
có
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và
đ
i
ể
m c
ự
c ti

2
m

Bài 3:
Cho hàm s
ố

3 2 2
3= − + +y x x m x m />
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn
20

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
:
2 2
= −d y x

Đ/s : m = 0
Bài 4: Cho hàm số
3 2 3
3 4= − +y x mx m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x.
Đ/s :


Đ/s :
3 10
.
2
= ±m

Bài 8: Cho hàm số
3 2 2 2
3( 1) (2 3 2)= − − + − + − +y x m x m m x m m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
: 4 20 0+ − =d x y
góc 45
0
.
Đ/s :
3 15
.
2
±
=m

Bài 9: Cho hàm số
3 2
3 2= − +y x x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn
2 2
( ) : ( ) ( 1) 5− + − − =C x m y m

2
' 2 1 3 2
y x m x m= − − + −

Để hàm số có cực đại cực tiểu tại x
1
; x
2
thì phương trình
' 0
y =
có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
hay
( ) ( )
2
2
' 1 3 2 5 7 0m m m m∆ = − − − = − + >
luôn đúng với mọi m
Theo định lí Viète ta có:
( )
( )
1 2
1 2
2 1
3 2
x x m
x x m

= −


+ =


Từ
( ) ( )
1 3và
ta dễ dàng giải được
2
1
3 2
4 5
x m
x m
= −


= −


Thay vào
( )
2
ta có:
( )( ) ( )
( )
1
4 5 3 2 3 2 19 73


Ta có
( )
2
' 2 2 1
y mx m x m= + − + −

Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại thì phương trình
( ) ( )
2
' 2 2 1 0 *
y mx m x m= + − + − =
có hai nghiệm phân
biệt x
1
; x
2
sao cho
1 2
1.
< <x x

Đặt
1t x= −
ta có
( )
*
trở thành
( ) ( )( ) ( ) ( )
2

3 4
3
= − − +y x mx mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
2 2
1 2
2 2
2 1
2 9
2
2 9
+ +
+ =
+ +
x mx m
m
m x mx m

Giải :
TXĐ :
D
= R

Ta có
2


thay vào
2 2
1 2
2 2
2 1
2 9
2
2 9
+ +
+ =
+ +
x mx m
m
m x mx m
ta có :
( )
( )
2
2
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1
9
2
9
x x x x m
m
m x x x x m
+ + +

3 2 2
1 1
( 3)
3 2
= − + −y x mx m x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
dương sao cho
2 2
1 2
5
.
2
+ =x x

Giải :
TXĐ :
D
= R

Ta có
2 2
' 3y x mx m= − + −

Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x



Ta có :
( )
( )
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
5 7
2 2 3
2 2
x x x x x x m m m+ = + − = − − = ⇔ = ±

Kết hợp ĐK ta có
7
2
m =
là giá trị cần tìm.
Bài 5: Cho hàm số
3
3 2= − +y x mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng
3 2
, với C(1 ; 1).
Ta có :
2 2
' 3 3 0y x m x m= − = ⇔ =
. Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B
0(*)m⇔ >

+

2
1
4 . 2 1 3 2 (2 1) 18 2( *)
2
m m m m m tm⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 6: Cho hàm số
3 2
3( 1) 12 3 4= − + + − +y x m x mx m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC nhận O làm trọng tâm, với
9
1; .
2
 
− −
 
 
C

Ta có :
2 2 2
' 3 6( 1) 12 0 2( 1) 4 0 2 2 4 0y x m x m x m x m x mx x m= − + + = ⇔ − + + = ⇔ − − + =

2
( 2 ) 2( 2 ) 0 ( 2)( 2 ) 0
2

23

Vì tam giác ABC nhận O làm trọng tâm nên
3 2
2 2 1 0
1
( *)
9
2
9 4 12 3 4 0
2
+ − =


⇔ = −

− + − + − =


m
m tm
m m m m

Vậy
1
2
= −m
là giá trị cần tìm
Bài 7: Cho hàm số
3 2 3

AB m m
x m y m B m m

= ⇒ = + − ⇒ + −

⇒ = − −

= ⇒ = ⇒




2 6 2
0
2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 ( *)
2
m
AB m m m tm
m
=

= ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔

=


Vậy m = 0 ; m = 2. là giá trị cần tìm
Bài 8: Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1) 4 1= − + − − + −y x mx m x m m



Vì tam giác OAB vuông tại O nên ta có :
2
1
. 0 (1 )( 1 ) ( 3)( 1) 0 2 2 4 0
2
m
OAOB m m m m m m
m
= −

= ⇔ + − + + − + = ⇔ − − = ⇔

=

 

Vậy
1; 2.= − =m m

Bài 9: Cho hàm số
3 2 3 2
3( 1) 3 ( 2) 2= + + + + + +y x m x m m x m m

Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m, và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi.
Ta có :
3 2 3 2 3
2
3 2 3 2 3


/>
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn
24

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và y
CĐ
+ y
CT
> 2.
2 2 2
1
' 2 1 0 ( ) 1
1
x m
y x mx m x m
x m
= +

= − + − = ⇔ − = ⇔

= − +


Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại A, B
Ta có:
3 3
3

2
2 2 2 2 6 0
3
3 0
m
m
m m m
m

>
⇔ − + > ⇔ − > ⇔

− < <



Kết luận:
3
3 0
m
m

>

− < <


là giá trị cần tìm
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số sau :
a)

( ; ), ( ; )A x y B x y
là tọa độ 2 điểm cực trị.
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :
2
1 1 10 2 4 11 2
'
3 9 9 9
m m m m
y x y x
+ − − +
 
= + + −
 
 

Ta có:
2 2
1 1 1 1 1
1 1 10 2 4 11 2 10 2 4 11 2
'( )
3 9 9 9 9 9
m m m m m m m
y x y x x x
+ − − + − − +
 
= + + − = −
 
 
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
= − + + − − + −y x m x m m x

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy.

Ta có :
2 2
' 3 2(2 1) 3 2
y x m x m m= − + + − + −
. Để hàm số có 2 cức trị
' 0
y⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt.
2 2 2
'
5 30
' 0 (2 1) 3( 3 2) 0 10 5 0 (*)
5 30
y
m
m m m m m
m

> − +
⇔ ∆ > ⇔ + + − + − > ⇔ + − > ⇔

< − −



/>