http://NgocHung.name.vn
BÀI TẬP PHẦN RÚT GỌN

Bài 1 :
1) §¬n gi¶n biĨu thøc :

P=

14 + 6 5 + 14 − 6 5 .

x +2
x − 2  x +1
−
2) Cho biĨu thøc :
Q = 
÷
÷. x
 x + 2 x +1 x −1 
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) T×m x ®Ĩ Q > - Q.
c) T×m sè nguyªn x ®Ĩ Q cã gi¸ trÞ nguyªn.
Híng dÉn :
1. P = 6
2. a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : Q =

2
.
x −1

b) Q > - Q ⇔ x > 1.
c) x = { 2;3} th× Q ∈ Z

x −1
x +1

a) Rót gän biĨu thøc sau A.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A khi x =

1
4

c) T×m x ®Ĩ A < 0.
d) T×m x ®Ĩ A = A.
Híng dÉn :
x
a) §KX§ : x ≥ 0, x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =
.
x −1
1
b) Víi x =
th× A = - 1.
4
c) Víi 0 ≤ x < 1 th× A < 0.
d) Víi x > 1 th× A = A.
1 
3 
 1
+
Bài 4 : Cho biĨu thøc : A = 
÷ 1 −
÷
a + 3 

1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x Z ? để A Z ?
Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0 ; x 1.
x + 2003
b) Biểu thức rút gọn : A =
với x 0 ; x 1.
x
c) x = - 2003 ; 2003 thì A Z .

(

)

x x 1 x x +1 2 x 2 x +1

:
A =
.
ữ
ữ
x

1
x

x
x
+

x 1
:
ữ
ữ
2


Hớng dẫn :
2
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
x + x +1
b) Ta xét hai trờng hợp :
2
+) A > 0
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
x + x +1
2
+) A < 2
< 2 2( x + x + 1 ) > 2 x + x > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
x + x +1
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Baứi 8 : Cho biểu thức: P =

a +3
a 2



a 1
a +2

1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
Hớng dẫn :

a) ĐKXĐ : a 0, a 1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Baứi 10 : Cho biểu thức P =

x x + 26 x 19
2 x

+
x+2 x 3
x 1

x 3
x +3

a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi x = 7 4 3
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Hớng dẫn :
x + 16
a ) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : P =
x +3
103 + 3 3
b) Ta thấy x = 7 4 3 ĐKXĐ . Suy ra P =
22
c) Pmin=4 khi x=4.
2 x


b. Tìm x để P <

a +1

a 1
1

+4 aữ
.
a
+
Bài 12: Cho A=

ữ với x>0 ,x 1
ữ
a +1
a
a 1

a. Rút gọn A


(

)(

b. TÝnh A víi a = 4 + 15 .

http://NgocHung.name.vn

3

 

a. Rót gän A.
b. x= ? Th× A < 1.
c. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z
3
(KQ : A=
)
x −2
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
+
−
x + 2 x − 3 1− x
x +3
Rót gän A.
T×m GTLN cña A.
1
T×m x ®Ó A =
2
2
2−5 x
CMR : A ≤ .
(KQ: A =
)
3
x +3


−
+
víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
x +1 x x +1 x − x +1

a . Rót gän A.
b. CMR : 0 ≤ A ≤ 1

( KQ : A =
x
)
x − x +1

 x −5 x  
25 − x
x +3
x −5
− 1÷
:
−
+
Bµi 17: Cho A = 

÷
÷  x + 2 x − 15
x +5
x −3÷
 x − 25
 


1   x +2
x −2 2 x 
+
:
−
−
Bµi 19: Cho A= 
÷

÷ víi x > 0 , x ≠ 4.

x −2÷
x +2 x−4÷
 x−4
  x −2

a. Rót gän A.
x+9
1
b. So s¸nh A víi
( KQ : A =
)
6 x
A
3
3
 x− y
x − y 

÷:

x − xy + y

x x −1 x x +1 
1   x +1
x −1 
−
+ x −
+
÷ Víi x > 0 , x ≠ 1.
÷. 
x− x
x+ x 
x   x −1
x +1÷

a. Rót gän A.

Bµi 21 : Cho A =

b. T×m x ®Ó A = 6

( KQ :

A=

(

)

2 x + x +1


víi x > 0 , x ≠ 4.

1   1
1 
1
 1
+
−
Bµi 23 : Cho A= 
víi x > 0 , x ≠ 1.
÷: 
÷+
 1− x 1+ x   1− x 1+ x  2 x
a. Rót gän A
3
b. TÝnh A víi x = 6 − 2 5
(KQ:
A=
)
2 x
 2x +1
1  
x+4 
−
: 1 −
Bµi 24 : Cho A=  3
÷
÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
÷


http://NgocHung.name.vn
 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
Bµi 26 : Cho A = 
÷
÷:  x − 3 − 1÷
÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 9
x
−
9
x
+
3
x
−
3

 

.
a. Rót gän A.
1
b. T×m x ®Ó A < 2
−3
( KQ : A =
)

 1
+
Cho A = 
÷:
x −1  x − 2 x +1
 x− x
a.

Rót gän A

(KQ:

víi x > 0 , x ≠ 1.
A=

x −1
)
x

b.So s¸nh A víi 1
 x −1
1
8 x   3 x −2
1
−
+
: 1 −
Cho A = 
Víi x ≥ 0, x ≠
÷

1


a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2 2
d. T×m GTLN cña A
(KQ:
A = x (1 − x ) )
Bµi 29 :

 x+2
x
1  x −1
+
+
Bµi 31 : Cho A = 
÷
÷: 2
 x x −1 x + x +1 1− x 

víi x ≥ 0 , x ≠ 1.

a. Rót gän A.
b. CMR nÕu x ≥ 0 , x ≠ 1 th× A > 0 , (KQ:
Bµi 32 :

4
1  x−2 x


 x −1
a. Rót gän A.
b. TÝnh A khi x= 0,36
c. T×m x ∈ Z ®Ĩ A ∈ Z

x   x +3
x +2
x +2 
: 
+
+
Bµi 34 : Cho A=  1 −
÷
÷
÷
÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 9 , x ≠ 4.
 1+ x   x − 2 3 − x x − 5 x + 6 
a. Rót gän A.
b. T×m x ∈ Z ®Ĩ A ∈ Z
x −2
c. T×m x ®Ĩ A < 0
(KQ:
A=
)
x +1
b. T×m x ®Ĩ A =

BÀI TẬP PHẦN HÀM SỐ BẬC NHẤT
Bài 1 :
1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4).

−1
Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m =
2


http://NgocHung.name.vn
Baứi 3 : Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Hớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m 1 = - 2 m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
x0 = 1
y0 = (m 1)x0 + m + 3 (x0 1)m - x0 - y0 + 3 = 0
y0 = 2
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).

Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng
AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Hớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.
1 = a + b
a = 2


).
2 2


http://NgocHung.name.vn

Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau :
6x
4x 5
y=
;y=
và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
4
3
Baứi 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3)
và B(-3; -1).
Baứi 8 : Cho hàm số : y = x + m
(D).
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.

Chủ đề :

Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .

A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Phơng pháp giải :

b) 3
=2
x + x +1
Giải : ĐKXĐ : x 3 + x + 1 0. (*)
3
2x 3 - 1
Khi đó : 3
= 2 2x = - 3 x =
2
x + x +1
3 3 3
3
Với x =
thay vào (* ) ta có (
) +
+10
2
2
2
3
Vậy x =
là nghiệm.
2
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :


http://NgocHung.name.vn

(m 2)x + m2 4 = 0
(1)

a)
b)
3x + 4y = 2
2x + 4 = 0
e)
4x + 2y = 3

x + 4y = 6

4x 3y = 5
5
2
x + x + y = 2

f)
3 + 1 = 1, 7
x x + y

2x y = 3
c)
5 + y = 4x

x y = 1
d)
x + y = 5

Baứi 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y = 2

x + my = 1

ax + y = 2
1) Gi¶i hƯ (1) khi a = 2.
2) Víi gi¸ trÞ nµo cđa a th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
 mx − y = n
Bài 6 : X¸c ®Þnh c¸c hƯ sè m vµ n, biÕt r»ng hƯ ph¬ng tr×nh 
 nx + my = 1
cã nghiƯm lµ −1; 3 .

(

)

( a + 1) x + y = 4
Bài 7 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh 
(a lµ tham sè).
ax + y = 2a
1) Gi¶i hƯ khi a = 1.
2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y ≥ 2.
x - (m + 3)y = 0
Bài 8 (trang 22): Cho hƯ ph¬ng tr×nh : 
(m lµ tham sè).
(m - 2)x + 4y = m - 1
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Gi¶i vµ biƯn ln pt theo m.
x - m y = 0
Bài 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh : 
(m lµ tham sè).
mx − 4y = m + 1
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Tìm giá trò nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.

http://NgocHung.name.vn

Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50%. Lại thêm 300g
nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dòch
ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu.
 ( x + 200)
 y + 200 .100% = 50%
x = 400

⇔ 
Theo bài ra ta có hệ pt : 
 y = 1000
 ( x + 200) .100% = 40%
 y + 500
Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40%.

Ph¬ng tr×nh bËc hai
®Þnh lý viet vµ øng dơng
A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax 2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ
thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
a) Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương
trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất
- hoặc vơ nghiệm
- hoặc vơ số nghiệm
b)Nếu a ≠ 0
Lập biệt số ∆ = b2 – 4ac hoặc ∆ / = b/2 – ac
* ∆ < 0 ( ∆ / < 0 ) thì phương trình (1) vơ nghiệm
b

x2 – S x + p = 0
3.DÊu cđa nghiƯm sè cđa ph¬ng tr×nh bËc hai.
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh .Ta
cã c¸c kÕt qu¶ sau:
x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < 0 < x2 ) ⇔ p = x1x2 < 0


http://NgocHung.name.vn
0

Hai nghiệm cùng dơng( x1 > 0 và x2 > 0 ) p > 0
S > 0

0

Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0) p > 0
S < 0

> 0

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) p = 0
S > 0

> 0

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0) p = 0
S < 0

4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.

1
1
+
= 1
*)
=
x1 x 2
x1 x 2
p
2

2

x1 x 2 x1 + x 2
S2 2p
+
=
=
x 2 x1
x1 x 2
p
*) (x1 a)( x2 a) = x1x2 a(x1 + x2) + a2 = p aS + a2
x1 + x 2 2a
1
1
S 2a
+
=
=
*)

B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
2
2
/
Ta có = (m + 1) 2m + 10 = m 9
+ Nếu / > 0 m2 9 > 0 m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = m + 1 - m 2 9 x2 = m + 1 + m 2 9
+ Nếu / = 0 m = 3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = -2
/
+ Nếu < 0 -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 = m + 1 -



m 2 9 x2 = m + 1 +
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

m2 9

Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m 6 = 0
Hớng dẫn
Nếu m 3 = 0 m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng

m3
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
x1 = x2 = -

Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x2 + 2007x 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( 3 5 )x - 15 = 0
d) x2 (3 - 2 7 )x - 6 7 = 0
Giải
2
a) 2x + 2007x 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
c 2009
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 = =
a
2
2
b) 17x + 221x + 204 = 0 có a b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,
c
204
x2 = - =
= - 12
a
17
c) x2 + ( 3 5 )x - 15 = 0 có: ac = - 15 < 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có :
x1 + x2 = -( 3 5 ) = - 3 + 5
x1x2 = - 15 = (- 3 ) 5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= 5

A = x12 + x22
B = x1 x 2
C=

1
1
+
x1 1 x 2 1

D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

1
1
và
x1 1
x2 1
Giải ;
2
Phơng trình bâc hai x 3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 .
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7
a)Ta có
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = S2 2p = 9 2(-7) = 23
+ (x1 x2)2 = S2 4p => B = x1 x 2 = S 2 4 p = 37
b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là

1
1
( x1 + x 2 ) 2
S 2

1
1
Vậy
và
là nghiệm của hơng trình :
x1 1
x2 1
1
1
X2 SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0
9
9
+C=

Bài 6 : Cho phơng trình :
x2 ( k 1)x - k2 + k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.


http://NgocHung.name.vn

1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:

= (k -1)2 4(- k2 + k 2) = 5k2 6k + 9 = 5(k2 -

6
9

2
4
mọi k
3. Ta có x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
x1 + x2 = k 1 và x1x2 = - k2 + k 2
x13 + x23 = (k 1)3 3(- k2 + k 2)( k 1)
= (k 1) [(k 1)2 - 3(- k2 + k 2)]
= (k 1) (4k2 5k + 7)
5
87
= (k 1)[(2k - )2 +
]
4
16
5
87
Do đó x13 + x23 > 0 (k 1)[(2k - )2 +
] >0
4
16
5
87
k 1 > 0 ( vì (2k - )2 +
> 0 với mọi k)
4
16
k>1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:

4
1
1
1
19
19
=> x1 x 2 = 2 (m + ) 2 +
= 19 khi m +
=0 m=2
2
2
2
4
4
1
Vậy x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = 2
Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)


http://NgocHung.name.vn
9
2
2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm
này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
9
1) Thay m = vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
2
5x2 - 20 x + 15 = 0

m+2
2
- 2)
11
Kiểm tra lại: Thay m =
vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
2
15x2 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
5
1
x1 = 1 , x2 =
= (thoả mãn đầu bài)
15 3
1) Giải phơng trình khi m = -

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
3
1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0 x =
4
2
/

+ Nếu m 0 .Lập biệt số = (m 2) m(m-3)
= m2- 4m + 4 m2 + 3m
=-m+4
/


x1 =

m2 m+4
m

;

x2 =

m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =

m2+ m+4
m

3
4

c
m3
3


m < 0
m < 0


*) Cách 2: Không cần lập điều kiện / 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = -

9
.Sau đó
4

9
vào phơng trình (1) :
4
9
9
9
- x2 2(- - 2)x - 3 = 0 -9x2 +34x 21 = 0
4
4
4
x1 = 3
/
có = 289 189 = 100 > 0 =>
x2 = 7

9
9
Vậy với m = - thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
4
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
9
7
Cách 1: Thay m = vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2 =

9
9
9
vào công trức tính tích hai nghiệm
4
9
3
m3
21
21
21
7
= 4
=
x1x2 =
=> x2 =
: x1 =
:3=
9
m
9
9
9
9

4
Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :
x12 + x22 = 10

+ k1 = 1 => / = 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
7
49 35
49 70 8
29

2=
=
+ k2 = => / =
không thoả mãn
2
4
2
4
8
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Cách 2 : Không cần lập điều kiện / 0 .Cách giải là:
7
Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = (cách tìm nh trên)
2
Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)
+ Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x 3 = 0 có x1 = 1 , x2 = 3
7
39
+ Với k2 = (1) => x2- 7x +
= 0 (có = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô nghiệm
2
2



x2 2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:
x12(1 x22) + x22(1 x12) = -8.
Baứi 5 : Cho phơng trình:
x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4.
Baứi 6 : Cho phơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1).
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x13 + x23.
Baứi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 0.
Baứi 8 : Cho phơng trình:
(m 1)x2 + 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Câu9.
Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
, = m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
m m +1
1
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=

Do ôtô thứ nhất đến B sớm hơn ôtô thứ hai 1 giờ ta có phương trình :
x - 10
x
Giải ra ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60.
Đáp số : Vận tốc ôtô thứ nhất : 60 km/h
Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h
Bài 2 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 50 km/h. Sau khi ®i ®ỵc 2/3 qu·ng ®êng víi
vËn tèc ®ã, v× ®êng khã ®i nªn ngêi l¸i xe ph¶i gi¶m vËn tèc mçi giê 10 km trªn qu·ng ®êng cßn
l¹i. Do ®ã « t« ®Õn B chËm 30 phót so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng ®êng AB.
Hướng dẫn : Gọi x là quảng đường AB (Km. ĐK x > 0).
2x
x
x 1
+
=
+ .
Theo giả thiết của bài toán ta có phương trình :
3 . 50 3. 40 50 2
Giải ra ta được: x = 300 (tmđk).
Vậy quảng đường AB là : 300km.
Bài 3 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bĨ th× sau 4 giê 48 phót th× ®Çy. Nếu ch¶y cïng mét thêi gian
nh nhau th× lỵng níc cđa vßi II b»ng 2/3 lỵng níc cđa vßi I ch¶y ®ỵc. Hái mçi vßi ch¶y riªng th×
sau bao l©u ®Çy bĨ.
Híng dÉn : Gäi x, y lÇn lỵt lµ thêi gian vßi I, vßi II ch¶y mét m×nh ®Çy bĨ .
1 1 5
 x + y = 24
 y = 12

Theo bµi ra ta cã hƯ ph¬ng tr×nh : 
Gi¶i ra ta ®ỵc : 

Gi¶i ra ta ®ỵc : x = 30 ; x = -45(lo¹i).
§¸p sè : VËn tèc «t« thø hai : 30 (km/h)
VËn tèc «t« thø nh©t : 45 (km/h).
Bài 6 : Trong mét bi lao ®éng trång c©y, mét tỉ gåm 13 häc sinh (c¶ nam vµ n÷) ®· trång ®ỵc
tÊt c¶ 80 c©y. BiÕt r»ng sè c©y c¸c b¹n nam trång ®ỵc vµ sè c©y c¸c b¹n n÷ trång ®ỵc lµ b»ng
nhau ; mçi b¹n nam trång ®ỵc nhiỊu h¬n mçi b¹n n÷ 3 c©y. TÝnh sè häc sinh nam vµ sè häc sinh n÷
cđa tỉ.
Gi¶i : Gäi sè häc sinh nam lµ x (em) . §K : x nguyªn d¬ng, x ≤ 13.
40
40
−
= 3 ⇔ 3x2 – 119x + 520 = 0 ( ∆ = 89)
Theo gt bµi ra ta cã pt :
x 13 - x
119 + 89
Gi¶i ra ta ®ỵc : x =
(lo¹i) ; x = 5 (TM§K)
6
§¸p sè : Sè HS nam : 5 (em)
Sè HS n÷ : 8 em.
Bài 7 : Kho¶ng c¸ch gi÷a hai thµnh phè A vµ B lµ 180 km. Mét « t« ®i tõ A ®Õn B, nghØ 90 phót ë
B råi trë l¹i tõ B vỊ A. Thêi gian tõ lóc ®i ®Õn lóc trë vỊ lµ 10 giê. BiÕt vËn tèc lóc vỊ kÐm vËn tèc
lóc ®i lµ 5 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i cđa « t«.
Gi¶i : Gäi vËn tèc lóc ®i lµ x (km/h). §K : x > 5.
180 3 180
+ +
= 10 ⇔ 17x2 – 805x + 1800 = 0 ( ∆ = 725)
Theo gt bµi ra ta cã pt :
x
2 x -5

Giải ra ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54.
Đáp số : Vận tốc xe thứ nhất là : 60 (km/h)
Vận tốc xe thứ hai là : 54 (km/h)
Baứi 11 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải
điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản
phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là
nh nhau.
Giải : Gọi x là số công nhân lúc đầu ( công nhân). ĐK : x nguyên dơng, x > 3.
360 360

= 4 x2 3x 270 = 0 ( = 33 )
Theo gt bài ra ta có pt :
x 3
x
Giải ra ta đợc : x = -15 (loại) ; x =18.
Đáp số : Số công nhân lúc đầu : 18 ( công nhân)
Baứi 12 : Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót
vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ
2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình .
Giải : Gọi x, y, z (lít) theo thứ tự là thể tích của ba bình . ĐK : x,y, z > 0.

x + y + z = 120
x = 50

1


y = 40 (TMĐK)
Theo gt bài ra ta có hpt : x = z + y
2

+ =
Theo gt bài ra ta có pt :
.
30 3 24
Giải ra ta đợc : x = 80 (TMĐK)
Đáp số : Quảng đờng AB : 80 (km).
Baứi 15 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A
và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp.
Giải : Gọi x (km/h) là vận tốc ngời đi xe đạp. ĐK x > 0.


http://NgocHung.name.vn
50 50
5

=
Theo gt bài ra ta có pt :
x 2,5x 2
Giải ra ta đợc : x = 12 (TMĐK)
Đáp số : Vận tốc ngời đi xe đạp : 12 (km/h).
Vận tốc ngời đi xe máy : 30(km/h).
Baứi 16 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng
nhau. Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi
có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?
Giải : Gọi x là số dãy ghế của phòng họp. ĐK x nguyên dơng.
360
+ 1) = 400 x2 39x 360 = 0 ( = 9 )
Theo gt bài ra ta có pt : (x + 1)(
x
Giải ra ta đợc : x = 24 (TMĐK) , x = 15 (TMĐK).

y = 13
Đáp số : Vận tốc của hai vât lần lợt là : 18,84 (km/h) ; 13 (km/h).
Baứi 19 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất
mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm
Giải : Gọi x, y lần lợt là sản phẩm của tổ 1 và tổ 2 làm đợc trong tháng thứ nhất. ĐK : x, y nguyên dơng.
x + y = 800.
x = 300


Theo gt bài toán ta có hpt : 15x 20y
(TMĐK).
y = 500
100 + 100 = 145
Đáp số : Trong tháng 1 :
Tổ 1 sản xuất đợc 300 (sản phẩm).
Tổ 2 sản xuất đợc 500 (sản phẩm).
Bài 20 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất
300 chi tiết máy trong một ngày. Nhng thực tế mỗi ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản