Đề cương thi vào 10 Người soạn: Hoµng V¨n Ngäc
Chuyên đề 1: CĂN THỨC
1. Cho
( ) ( )
( )
3 3
2
2
1 1 1 1
2 1
x x x
P
x
+ − + − −
=
+ −
.
a) Rút gọn
P
.
b) Tính giá trị của
P
khi
1
2
x =
. Từ đó tính
α
sao cho
sin P
α

1
1 2 1
x x x x x x x x
A
x
x x x
 
+ − − + −
= + −
 ÷
−
− −
 
.
a) Tìm điều kiện của
x
để
A
có nghĩa.
b) Tính
x
nếu
6 6
5
A
−
=
.
c) Chứng minh rằng :
2

để
2
40A A=
.
5. Cho
( )
2 2
2
2
4 2
8 48 0B a a a
a a
   
= + − + + ≠
 ÷  ÷
   
.
a) Rút gọn
B
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
B
khi
a
thay đổi.
6. Cho
5 4 9
3
3
3

b) Tìm
x
sao cho
( )
4A x >
.
8. Cho
2 2
16 2 9 2 7x x x x− + + − + =
. Tính :
2 2
16 2 9 2A x x x x= − + − − +
.
9. Cho
4 4 4 4A x x x x= + − + − −
.
a) Tìm
x
để 4A = .
b) Tìm
x
để
A
đạt giá trị nhỏ nhất.
10. Cho
3 3 3 3
2 6
,
2 2 2 4 2 2 2 4
x y= =

,
3 3
4 4
3 3
9 2 2 9 9
3 2 2 81
B
− −
= +
+ −
.
Chứng minh :
. 12A B =
.
13.Chứng minh các biểu thức sau là một số vô tỷ :

2 3 6 8 4
2 3 4
P
+ + + +
=
+ +

( )
2 3
: 2 1
6 3 2 1
Q
+
= +

2
2
2 2 4
10 11 0
1 1 1
x x x
x x x
 
− + −
   
+ − =
 ÷
 ÷  ÷
+ − −
   
 

( ) ( )
2 2
4 3 . 6 8 15x x x x− + − + =

2 2
90
1 1
x x
x x
   
+ =
 ÷  ÷
+ −

( ) ( )
2 2 2
2 3 1 . 2 3 1 9x x x x x− + + + =
.

2 2 2
16 64 2 8 16 0x x x x x− + − − + + =
.

( ) ( )
2
2 2 4
1 5 1x x x x+ + = + +
.

( ) ( )
4 4
6 8 16x x− + − =
.

3
3
2 2 1 1 0x x− − + =
.

( ) ( )
5 . 5 3 . 3
2
5 3
x x x x

 
+ =
 ÷
+ +
 
.
2. Tìm các nghiệm nguyên
( )
,x y
hoặc
( )
, ,x y z
của các phương trình và hệ phương
trình dưới đây:

( ) ( ) ( )
2
1 2 3x y y y y= + + +
.

2
2
2 2 1
x y z
x xy x z
− + =


− + − =


x
x
+ =
−

2 2 2 4
4 1 4 2 3 16 5x x x y y x y
− + + + + − − = − − +
.

4 3 2
2 21 74 105 50 0x x x x− + − + =

21 1 5
1 4 1 7
x x
x x

+ − − =


+ + − =



1 5 1
5 1
x y
y x
 − + − =

+ + =


0
3
2
x y z
xy yz zx
xyz
+ + =


+ + = −


= −


2 2
3
2
x xy y
x y xy
+ + =


+ =


2

1
x y z t
xy yz zt tx

+ + + =

+ + + =

4
Đề cương thi vào 10 Người soạn: Hoµng V¨n Ngäc

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
. 9
. 5
x y x y
x y x y

+ − =


− + =



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 3 2
2 2 64x x y y− + =
.
 Phân tích biểu thức
2 2
2 2x x xy y y+ − − −
thành nhân tử. Từ đó giải hệ :

2 2
2 2
2 2 0
1
x x xy y y
x y

+ − − − =


+ =


 Tìm các số nguyên
, ,a b c
thỏa mãn điều kiện :

2 2 2
3
1
a b
a b c

1 2 3 4
. . . 24x x x x m= −
.

5
Đề cương thi vào 10 Người soạn: Hoµng V¨n Ngäc
Chuyên đề 3: BẤT ĐẲNG THỨC. GIÁ TRỊ MIN, MAX
1. Cho
, ,a b c
là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh :

( )
2 2 2
2ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + < + +
Khi nào có đẳng thức xảy ra ?
2. Giả sử
; ; 0x z y z z> > >
. Chứng minh :
( ) ( )
z x z z y z xy− + − ≤
.
3. Cho
0xy >
và
1x y+ =
. Chứng minh :
( )
4 4
1
8 5x y

0a b c+ + <
thì

3 3 3
3 0P a b c abc= + + − <
8. Chứng min rằng :
( )
2
1 1 1 1
...
9 25 4
2 1n
+ + + <
+
nếu
n
là số tự nhiên.
9. Chứng minh rằng nếu
, 0p q >
thì :
2 2
p q
pq
p q
+
≥
+
.
10. Chứng minh rằng :
2

.
12. Cho
ABC∆
có các cạnh thỏa mãn :
a b c≤ ≤
. Chứng minh :
( )
2
9a b c bc+ + ≤
13. Ba số dương
, , 2a b c <
. Chứng minh rằng 3 số
( ) ( ) ( )
2 , 2 , 2a b b c c a− − −

không đồng thời lớn hơn 1.
14. Ba số dương
, ,a b c
thỏa mãn
a b c> >
. Chứng minh :

b c
a b a b a c a c
<
+ − − + − −
15. Cho
, 0x y >
và
1x y+ =

để
M
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá
trị nhỏ nhất đó.
18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của :
2
2
8 7
1
x x
M
x
+ +
=
+
.
19. Các số
, ,a b c
thỏa mãn điều kiện :
2 2 2 2
7
13
x a b c
x a b c
+ + + =


+ + + =

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

18 48 52
9 24 21
x x
y
x x
− +
=
− +
.
23.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

2
2 1
2
x
y
x
+
=
+

2
3
2 2 7
y
x x
=
+ − +
.
24. Với giá trị nào của

2
1
1
x
A
x
+
=
+
.
28. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
( )
2
2
2 2002
x
f x
x x
=
− +
.
29. Chứng minh rằng :
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +

, ,a b c∀
.
30. Chứng minh rằng :
( )
4 4 4

2 2 13
1
2
1
2 . 1
x x A B x C D x E
x
x
x
x x
+ + + +
= + +
+
−
+
− +
.
Tìm
, , , ,A B C D E
để đẳng thức trên đúng với mọi
0 4x< ≠
.
3. Cho
5
;A n n= −
với
n∈ ¡
.
a) Phân tích
A

14 71 154 120A x x x x x= − + − +
với
x∈¢
.
a) Phân tích
( )
A x
thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng đa thức
( )
A x
chia hết cho 24
7. Cho
( ) ( )
1970 1930 1890 20 10
, 1P x x x x Q x x x= + + = + +
. Chứng minh rằng khi
x

nguyên thì
( )
P x
chia hết cho
( )
Q x
.
8. Tìm tất cả các số nguyên
x
để
2

.
8