HÀM SỐ - GIẢI TÍCH 12

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số y = f ( x ) ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C )
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
.
− Tính đạo hàm và giá trị f ' ( x0 ) .
− Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 .
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm

M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C )

có hệ số góc

k = f ' ( x0 )

.

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k .
− Giải phương trình: f ' ( x ) = k , tìm nghiệm x0 ⇒ y0 .
− Phương trình tiếp tuyến dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 .
Chú ý: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 , khi đó:
− Nếu d //∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = a.

− Nếu

d ⊥ ∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b


và ( )
. Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc
 f ( x ) = g ( x )

f '( x) = g '( x)
với nhau là hệ sau có nghiệm. 
.
4
2
y
=
x
−
2
x
Cho hàm số
a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C):
i. Tại điểm có hoành độ x = 2 .
ii. Tại điểm có tung độ y = 3.

iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x − y + 2009 = 0 .
iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d 2 : x + 24 y + 2009 = 0 .

− x2 − x + 3
x +1
Cho hàm số
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

y=
x +1
Cho hàm số
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b. Chứng minh rằng qua điểm M(−3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho hai tiếp tuyến đó
vuông góc với nhau.
x2
y=
x − 1 có đồ thị (C).
Cho hàm số:

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm M (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M và
∈
tâm đối xứng của (C).
6.

Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt
A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 ⇔ x(x2 + mx + 1) = 0
(*)
2
⇔
Đặt g(x) = x + mx + 1 . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
2
m > 2
 ∆g = m − 4 > 0

x2 + 1
= k ( x − x0 ) + y0 , ( kx ≠ 0 )
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x
⇔ ( 1 − k ) x 2 − ( y0 − kx0 ) x + 1 = 0 ( *)

 k ≠ 1
⇔
2
∆ = ( y0 − kx0 )
d tiếp xúc với (C): 

2

k ≠ 1

⇔  x02 k 2 + 2 ( 2 − x0 y0 ) k + y02 − 4 = 0

− 4( 1− k ) = 0
 y0 ≠ kx0

( I)

2


HÀM SỐ - GIẢI TÍCH 12
k1 , k2 ≠ 1

k k = −1
Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:  1 2

OAB bằng 4

 1

M  − ; −2 ÷
 2
 và M ( 1;1) .
ĐS:
x2 + x − 1
y=
x+2 .
9. Cho hàm số
(ĐH Khối−B 2006)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên.
ĐS: b. y = − x ± 2 2 − 5 .
1
m
1
y = x3 − x 2 +
3
2
3 (*)
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số:
(m là tham số). (ĐH Khối−D 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2.
b. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với
đường thẳng 5 x − y = 0

10.

Cho đồ thị hàm số ( )
. Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến với (C).
Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1)
(ĐH Khối−B 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
Cho hàm số

3

y = x3 − 3mx 2 − x + 3m ( Cm )

3


HÀM SỐ - GIẢI TÍCH 12
y

f(x)=4x^3-6x^2+1

23
461
=−+
yx
-7

-6

-5


+

0
0
1

−

1
0

Lời giải:

+∞
+
+∞

−1

b. Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x + 1) – 9.
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
4x3 – 6x2 + 1 = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9.
⇔ 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) ⇔ 2x3 – 3x2 + 5 = 6(x2 – x)(x + 1).
⇔ x = –1 hay 2x2 – 5x + 5 = 6x2 – 6x ⇔ x = –1 hay 4x2 – x – 5 = 0.
 5  15
5
y '  ÷=
⇔ x = –1 hay x = 4 ; y’(−1) = 24;  4  4 .


− Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trên trục hoành
4

 yCĐ + yCT > 0
⇔
 yCĐ . yCT > 0 .
4


HÀM SỐ - GIẢI TÍCH 12
 yCĐ + yCT < 0
⇔
 yCĐ . yCT > 0 .

− Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành
− Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành

⇔ yCĐ . yCT = 0 .

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
3
2
Dạng 1: hàm số y = ax + bx + cx + d
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
ax 2 + bx + c
y=
dx + e
Dạng 2: Hàm số

( ax

y = x3 − mx 2 + ( m + 2 ) x − 1
3
2.
Cho hàm số
. Định m để:
a. Hàm số luôn có cực trị.
0; +∞ )
b.Có cực trị trong khoảng (
.
0; +∞ )
c. Có hai cực trị trong khoảng (
.
1.

(

3.
4.

Định m để hàm số
đạt cực đại tại x = 2.
Cho hàm số y = x3−3x2+3mx+3m+4.
a. Khảo sát hàm số khi m = 0.
b.Định m để hàm số không có cực trị.
c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
3
2
Cho hàm số y = x − 3mx + 9 x + 3m − 5 . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình

5.

tung.
1
y = x 3 − mx 2 + ( 2m − 1) x − m + 2 ( Cm )
3
Cho hàm số
. Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng
dương.
x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 + 4m
y=
x+2
Cho hàm số
(1).
(ĐH Khối−A năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=−1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa
độ O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS: m = −4 ± 2 6 .
5

5


3

(

2

)



10

y

(ĐH Khối−B năm 2002)

5

x
-30

-25

-20

-15

-10

-5

5

-5

-10

-15


2

x
-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

-2

-4

-6

-8

-10

2a và f(x) luôn cùng dấu với a khi
2a .
2. Nếu ∆ = 0 thì f(x) có nghiệm
3. Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x)
cùng dấu với a.
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
∆ > 0
∆ > 0


x1 < x2 < 0 ⇔  P > 0
0 < x1 < x2 ⇔  P > 0
S < 0
S > 0


*
*
7

* x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0
7


HÀM SỐ - GIẢI TÍCH 12
y = x − 3 ( m + 1) x + 3 ( m + 1) x + 1
1. Cho hàm số
. Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
2; +∞ )

mx + 6 x − 2
y=
x+2
4. Cho hàm số
. Định m để hàm số nghịch biến trên [1;+∞ ) .
3

2

Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị
(C1) và (C2) tương đương với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của (C1) và
(C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1).
(1) vô nghiệm

 (C1) và (C2) không có điểm chung.

(1) có n nghiệm

 (C1) và (C2) có n điểm chung.

(1) có nghiệm đơn x1

 (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1).

(1) có nghiệm kép x0

 (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0).



2

)

−1

2

− 2m + 1 = 0

.

3. Cho hàm số y = x + kx − 4 .
a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.
3

2

3
2
b. Tìm các giá trị của k để phương trình x + kx − 4 = 0 có nghiệm duy nhất.
3
4. Cho hàm số y = x − 3 x + 2 .
(ĐH Khối−D 2006)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C)
tại ba điểm phân biệt.
15
m > , m ≠ 24

−
C
= 0 và điểm
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng
Ax0 + By0 + C
d ( M ,.∆ ) =
A2 + B 2
M(x0;y0) khi đó
.
y = x3 − 3mx 2 − 3 x + 3m + 2 ( Cm )
C
Cho hàm số
. Định m để ( m ) có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng
cách giữa chúng là bé nhất.
2x + 2
( C) : y =
x − 1 . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm
2.
Cho hàm số
cận là nhỏ nhất.

1.

10

10


HÀM SỐ - GIẢI TÍCH 12
3.


Cho hàm số
a. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
b.Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
1
y = mx +
x (*) (m là tham số)
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số:
(ĐH Khối−A 2005)
1

( C) : y =

6.

7.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 4 .
b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên
1

bằng

2.

ĐS: m=1.

Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Phương pháp:
Từ hàm số


luôn đi qua một điểm cố định

y = x3 − 3 ( m − 1) x 2 − 3mx + 2 ( Cm )

( Cm ) : y =

. Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là

2 x2 + ( 6 − m) x + 4
mx + 2

11


HÀM SỐ - GIẢI TÍCH 12
3.

Cho hàm số

( Cm ) : y = ( 1 − 2 m ) x

4

+ 3mx − ( m + 1)
2

. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.
y = ( m + 3) x − 3 ( m + 3) x 2 − ( 6 m + 1) x + m + 1 ( Cm )
4.
Chứng minh rằng đồ thị của hàm số


12


HÀM SỐ - GIẢI TÍCH 12
y

f(x)=x^3-2x^2-0.5

y

f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)
f(x)=x^3-2x^2-0.5

f(x)=x^3-2x^2-0.5

(C')

(C)

y

f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5

x

(C'')

x


x(t)=1 , y(t)=t

f(x)=x/2+1

f(x)=x/2+1

4

4

f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2)
f(x)=-x/2+1

2

2

y=
-14

-12

-10

-8

-6

-4



2

-2

-2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

x 2 + 3x + 3
x +1 .
Cho hàm số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

( C) : y =

2.

b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
y


2

2

y=

x
-16

3.

Cho hàm số
13

-14

-12

-10

( C) : y =

-8

-6

-4

-2

-4

-6

-6

-8

-8

-10

-10

2

4x − x
x −1 .

13


HÀM SỐ - GIẢI TÍCH 12
a. Khảo sát hàm số.
b.Định m để phương trình

x2 + ( m − 4) x − m = 0

f(x)=(4x-x^2)/(x-1)


-8

-6

-4

-2

-2

4.

( C) : y =

Cho hàm số
a. Khảo sát hàm số.

x

2

-14

-12

-10

-8

-6


4 x − x2
x −1

x2 + x − 1
x+2 .

x 2 + ( 1 − m ) x − 2m − 1 = 0
b. Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
.
3
2
5. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x − 9 x + 12 x − 4 .
3

b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt:
f(x)=2x^3-9x^2+12x

6

y

2 x − 9 x 2 + 12 x = m

.(ĐH Khối A−2006)

f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x)

6


-4

-2

−
x

3

2

+
x

2

2
12
=

x

x

4

9

y



-4

-6

-6

-8

-8

a.

12

−
x

ĐS: b. 4