thanhtintv
Chuyên đề toán véc tơ
Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức véc tơ
A. Ph ơng pháp
*C1: Biến đổi một vế chỉ ra bằng vế còn lại.
*C2: Biến đổi tơng đơng. (Đa ĐT cần chứng minh về một ĐT luôn đúng)
*C3: Xuất phảt từ một ĐT luôn đúng biến đổi đa về ĐT cần chứng minh.
*C4: Tạo dựng hình phụ.
Dựa vào các quy tắc đã học:
- Quy tắc ba điểm
- Quy tắc hình bình hành
- Quy tắc trung điểm
B. Một số ví dụ
VD1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
1. CMR :

AD
+

BC
= 2

EF
;
2. CMR :

OA
+

OB
+

DB
,

CE
= 3

EA
. Gọi M
là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
1.

AM
=
3
1

AB
+
8
1

AC
;
2.

MI
=
6
1


.
Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC : NC=2NA.
Gọi K là trung điểm của MN.
1. CMR:
1 1
AK AB AC
4 6
= +
uuur uuur uuur
;
2. Gọi D là trung điểm của BC. CMR:
1 1
KD AB AC
4 3
= +
uuur uuur uuur
.
Bài 6: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và H là điểm đối xứng với B qua G.
1. Chứng minh rằng:
( )
2 1 1
AH AC AB ; CH AB AC
3 3 3
= = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
1 5
MH AC AB
6 6
=

3. Chứng minh rằng:
OA OB OC OH 3OG+ + = =
uuur uuur uuur uuur uuur

4. Chứng minh rằng:
OH 2OI=
uuur uur
5. Gọi A, B, C là trung điểm của BC, CA, AB. Các điểm A
1
; B
1
; C
1
là chân đờng cao hạ từ A,
B, C. Các điểm M, N, P là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng 9 điểm A, B, C; A
1
; B
1
; C
1
;
M, N, P nằm trên đờng tròn
R
I;
2

ữ

(với R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (đờng tròn
này gọi là đờng tròn Ơle)

.
Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR:
sin A.IA sin B.IB sin C.IC 0+ + =
uur uur uur r
.
Bài 13: Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giácABC. CMR:
MBC MAC MAB
S .MA S .MB S .MC 0

+ + =
uuuur uuur uuur r
.
Dạng 2: Biểu diễn véc tơ
A. Ph ơng pháp
Định lý: Cho trớc hai véc tơ
, 0a b
r r r
và không cùng phơng. Với mọi véc tơ
c
r
luôn tồn tại duy
nhất cặp số thực
,

sao cho
c a b

= +
r r r
.

và

PA
+

PB
=
0

. Hãy biểu diễn

PM
,

PN
theo hai véc tơ

AB
và

AC
.
C. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và B là điểm đối xứng với B qua G. Hãy
biểu diễn các véc tơ
', ', 'CB AB MB
uuur uuuur uuuur
(M là trung điểm của BC) theo hai véc tơ
,a AB b BC= =
r uuur r uuur

theo
,AB AC
uuur uuur
;
3. Biểu diễn
BC
uuur
theo
AI
uur
,
JK
uuur
.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy biểu diễn các véc tơ
AI
uur
(I là trung điểm BO),
BG
uuur
(G là
trọng tâm của tam giác OCD) theo hai véc tơ
,AB AD
uuur uuur
.
Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy biểu diễn các véc tơ
, , ,AC AD AF EF
uuur uuur uuur uuur
theo hai véc tơ
,AB AE

1.
3
+ + = +
2
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
MC MC
;
2.
+ 3 =
uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur
2 2MC MB MC
.
C. Bài tập
Bài 1: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M thoả mãn:
2 3 0MA MB =
uuur uuur r
.
Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho
NC=2NA.
1. Xác định K sao cho
3AB 2AC 12AK 0+ =
uuur uuur uuur r
;
2. Xác định D sao cho
3AB 4AC 12KD 0+ =
uuur uuur uuur r
.
Bài 3 : Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn từng điều kiện sau :
1.
=

MA 2MB 0+ =
uuuur uuur r
;
3.
MA 2MB CB+ =
uuuur uuur uuur
; 4.
MA MB 2MC 0+ + =
uuuur uuur uuur r
;
5.
MA MB MA MC+ = +
uuuur uuur uuuur uuur
.
Bài 5: Cho

ABC và một điểm M bất kì.
1. Chứng minh rằng
v 3MA 5MB 2MC= +
r uuuur uuur uuur
không đổi;
2. Xác định điểm I thoả mãn
3IA 2IB IC 0 + =
uur uur uur r
;
- 3 -
thanhtintv
3. Xác định điểm M thoả mãn:
a.
3MA 2MB MC MB MA + =

*C1: Sử dụng các quy tắc biến đổi véc tơ đã biết.
*C2: Xác định các véc tơ
,AB AC
uuur uuur
thông qua một tổ hợp véc tơ trung gian.
Chú ý:
, , (1 ) , A B C MC MA MB M

= +
uuuur uuur uuur
B. Một số ví dụ
VD1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J sao cho
2IA 3IC 0, 2JA 5JB 3JC 0+ = + + =
uur uur r uur uur uur r
1. Chứng minh rằng:
, ,M N J
với M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC;
2. Chứng minh rằng J là trung điểm của BI;
3. Gọi E thuộc AB sao cho
AE k AB=
uuur uuur
. Xác định k để
, ,C E J
.
C. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC, lấy các điểm I, J sao cho
2 ,3 2 0IA IB JA JC= + =
uur uur uur uuur r
. Chứng minh rằng IJ đi
qua trọng tâm G của tam giác ABC.

*
:a b k a kb
+
=
r r r r
Z Z Ă
hoặc một trong hai véctơ bằng
0
r
.
Tổng quát:
*
1 1
| | | | ( )
n n
i i
i i
a a n
+
= =ur ur
Â
| | | | | | (2)a b a b +
r r r ur
- Dấu = xảy ra
*
:a b k a kb


r
.
B. Một số ví dụ
VD1: Giải phơng trình
2 2 2
2 2 4 12 25 9 12 29x x x x x x + + + + = + +
.
VD2: Chứng minh rằng
, ,x y z Ă
ta có
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z
+ + + + + + +
.
VD3: Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
a b b c c a
ab bc ca
+ + +
+ +
.
C. Bài tập
Giải các ph ơng trình, bất ph ơng trình, hệ ph ơng trình
Bài 1: Giải phơng trình
2 2
2 5 2 10 29x x x x + + + + =
Bài 2: Giải phơng trình

+ + +
.
Bài 7: Chứng minh rằng
*
, ,x y z
+
Ă
ta có
2 2 2 2 2 2
3( )x xy y x xz z y yz z x y z
+ + + + + + + + + +
.
Bài 8: Chứng minh rằng
, , 0, 1x y z x y z > + +
ta có
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
y z x
+ + + + +
.
Bài 9: Chứng minh rằng
, , , 1a b c abc =Ă
ta có
2 2 2 2 2 2
3
2
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b