CHUYÊN CÁC D NG TOÁN V DÃY S VÀ PH N G PHÁP GI IĐỀ Ạ Ề Ố ƯƠ Ả
1. Các ki n th c c n nh :ế ứ ầ ớ
Trong dãy s t nhiên liên ti p c m t s ch n l i n m t s l r i l i n m t s ố ự ế ứ ộ ố ẵ ạ đế ộ ố ẻ ồ ạ đế ộ ố
ch n… Vì v y, n u:ẵ ậ ế
- Dãy s b t u t s l và k t thúc là s ch n thì s l n g các s l b ng s l n g ố ắ đầ ừ ố ẻ ế ố ẵ ố ượ ố ẻ ằ ố ượ
các s ch n.ố ẵ
- Dãy s b t u t s ch n và k t thúc c ng là s l thì s l n g các s ch n b ng ố ắ đầ ừ ố ẵ ế ũ ố ẻ ố ượ ố ẵ ằ
s l n g các s l .ố ượ ố ẻ
- N u dãy s b t u t s l và k t thúc c ng là s l thì s l n g các s l nhi u ế ố ắ đầ ừ ố ẻ ế ũ ố ẻ ố ượ ố ẻ ề
h n các s ch n là 1 s .ơ ố ẵ ố
- N u dãy s b t u t s ch n và k t thúc c ng là s ch n thì s l n g các s ch n ế ố ắ đầ ừ ố ẵ ế ũ ố ẵ ố ượ ố ẵ
nhi u h n các s l là 1 s .ề ơ ố ẻ ố
a. Trong dãy s t nhiên liên ti p b t u t s 1 thì s l n g các s trong dãy s ố ự ế ắ đầ ừ ố ố ượ ố ố
chính b ng giá tr c a s cu i cùng c a s y.ằ ị ủ ố ố ủ ốấ
b. Trong dãy s t nhiên liên ti p b t u t s khác s 1 thì s l n g các s trong ố ự ế ắ đầ ừ ố ố ố ượ ố
dãy s b ng hi u gi a s cu i cùng c a dãy s v i s li n tr c s u tiên.ố ằ ệ ữ ố ố ủ ố ớ ố ề ướ ốđầ
2. Các lo i dãy s :ạ ố
+ Dãy s cách u:ố đề
- Dãy s t nhiên.ố ự
- Dãy s ch n, l .ố ẵ ẻ
- Dãy s chia h t ho c không chia h t cho m t s t nhiên nào ó.ố ế ặ ế ộ ố ự đ
+ Dãy s không cách u.ố đề
- Dãy Fibonacci hay tribonacci.
- Dãy có t ng (hi u) gi a hai s liên ti p là m t dãy s .ổ ệ ữ ố ế ộ ố
+ Dãy s th p phân, phân s :ố ậ ố
3. Cách gi i các d ng toán v dãy s :ả ạ ề ố
D ng 1: i n thêm s h ng vào sau, gi a ho c tr c m t dãy sạ Đề ố ạ ữ ặ ướ ộ ố
Tr c h t ta c n xác nh l i quy lu t c a dãy s :ướ ế ầ đị ạ ậ ủ ố
+ M i s h ng (k t s h ng th 2) b ng s h ng n g tr c nó c ng (ho c tr ) v i ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ ố ạ đứ ướ ộ ặ ừ ớ
m t s t nhiên a.ộ ố ự
+ M i s h ng (k t s h ng th 2) b ng s h ng n g tr c nó nhân (ho c chia) ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ ố ạ đứ ướ ặ

S h ng th 10 là : 1024 = 512 x 2ố ạ ứ
S h ng th 9 là : 512 = 256 x 2ố ạ ứ
S h ng th 8 là : 256 = 128 x 2ố ạ ứ
S h ng th 7 là : 128 = 64 x 2ố ạ ứ
……………………………
T ó ta suy lu n ra quy lu t c a dãy s này là: m i s h ng c a dãy s g p ôi s ừđ ậ ậ ủ ố ỗ ố ạ ủ ố ấ đ ố
h ng n g li n tr c ó.ạ đứ ề ướ đ
V y s h ng u tiên c a dãy là: 1 x 2 = 2.ậ ố ạ đầ ủ
b). Ta nh n xét :ậ
S h ng th 10 là : 110 = 11 x 10ố ạ ứ
S h ng th 9 là : 99 = 11 x 9ố ạ ứ
S h ng th 8 là : 88 = 11 x 8ố ạ ứ
S h ng th 7 là : 77 = 11 x 7ố ạ ứ
…………………………
T ó ta suy lu n ra quy lu t c a dãy s là: M i s h ng b ng s th t c a s h ng ừ đ ậ ậ ủ ố ỗ ố ạ ằ ố ứ ự ủ ố ạ
y nhân v i 11.ấ ớ
V y s h ng u tiên c a dãy là : 1 x 11 = 11.ậ ố ạ đầ ủ
Bài 4: Tìm các s còn thi u trong dãy s sau :ố ế ố
a. 3, 9, 27, , , 729.
b. 3, 8, 23, , , 608.
Gi i :ả
Mu n tìm c các s còn thi u trong m i dãy s , c n tim c quy lu t c a m i dãy ố đượ ố ế ỗ ố ầ đượ ậ ủ ỗ
s ó.ố đ
a. Ta nh n xét : 3 x 3 = 9ậ
9 x 3 = 27
Quy lu t c a dãy s là: K t s h ng th 2 tr i, m i s h ng g p 3 l n s li n tr cậ ủ ố ể ừ ố ạ ứ ở đ ỗ ố ạ ấ ầ ố ề ướ
nó.
V y các s còn thi u c a dãy s ó là:ậ ố ế ủ ố đ
27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 ( úng).đ
V y dãy s còn thi u hai s là : 81 và 243.ậ ố ế ố

V y Ô9 = 783; t ó ta tính c:ậ ừ đ đượ
Ô8 = Ô5 = Ô2 = 2010 - (783 + 998) = 229
Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998
Ô3 = Ô6 = 783.
i n các s vào ta c dãy s :Đ ề ố đượ ố
998 229 783 998 229 783 998 229 783 998
M t s l u ý khi gi ng d y Toán d ng này là: Tr c h t ph i xác nh c quy lu t ộ ố ư ả ạ ạ ướ ế ả đị đượ ậ
c a dãy là dãy ti n, dãy lùi hay dãy s theo chu k . T ó mà h c sinh có th i n ủ ế ố ỳ ừ đ ọ ể đ ề
c các s vào dãy ã cho.đượ ố đ
* Bài t p t luy n:ậ ự ệ
Bài 1: 13, 19, 25, 31,……,
Dãy s v a c vi t raố ừ đượ ế
Ba s vi t ti p là ba s nào?ố ế ế ố
S nào suy ngh th p cao?ố ĩ ấ
em, b n làm sao k li n?Đố đố ạ ể ề
Bài 2: Tìm và vi t ra các s h ng còn thi u trong dãy s sau:ế ố ạ ế ố
a. 7, 10, 13,…, …, 22, 25.
b. 103, 95, 87,…, …, , 55, 47.
Bài 3: i n s thích h p vào ô tr ng, sao cho t ng các s 3 ô li n nhau b ng:Đ ề ố ợ ố ổ ố ở ề ằ
a. n = 14,5
2,7 8,5
b. n = 23,4
8,7 7,6
Bài 4: Vi t ti p ba s h ng vào dãy s sau :ế ế ố ạ ố
a) 1; 3; 4; 7; 11; 18;
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22;
c) 0 ; 3; 7; 12;
d) 1; 2; 6; 24;
D ng 2: Xác nh s A có thu c dãy ã cho hay không?ạ đị ố ộ đ
Cách gi i c a d ng toán này:ả ủ ạ

b. S 2002 có thu c dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không?ố ộ
c. S nào trong các s 798, 1000, 9999 có thu c dãy 3, 6, 12, 24,…… gi i thích t i ố ố ộ ả ạ
sao?
Gi i:ả
a. C 2 s 60, 483 u không thu c dãy ã cho vì:ả ố đề ộ đ
- Các s h ng c a dãy ã cho u l n h n 60.ố ạ ủ đ đề ớ ơ
- Các s h ng c a dãy ã cho u chia h t cho 5, mà 483 không chia h t cho 5.ố ạ ủ đ đề ế ế
b. S 2002 không thu c dãy ã cho vì m i s h ng c a dãy khi chia cho 3 u d 2, ố ộ đ ọ ố ạ ủ đề ư
mà 2002 chia 3 thì d 1.ư
c. C 3 s 798, 1000, 9999 u không thu c dãy 3, 6, 12, 24,… vì:ả ố đề ộ
- M i s h ng c a dãy (k t s h ng th 2) u g p ôi s h ng li n tr c nh n nó; ỗ ố ạ ủ ể ừ ố ạ ứ đề ấ đ ố ạ ề ướ ậ
cho nên các s h ng (k t s h ng th 3) có s h ng ng li n tr c là s ch n, màố ạ ể ừ ố ạ ứ ố ạ đứ ề ướ ố ẵ
798 chia cho 2 = 399 là s l .ố ẻ
- Các s h ng c a dãy u chia h t cho 3, mà 1000 l i không chia h t cho 3.ố ạ ủ đề ế ạ ế
- Các s h ng c a dãy (k t s h ng th 2) u ch n, mà 9999 là s l .ố ạ ủ ể ừ ố ạ ứ đề ẵ ố ẻ
Bài 4: Cho dãy s : 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2.ố
N u vi t ti p thì s 34,6 có thu c dãy s trên không?ế ế ế ố ộ ố
Gi i:ả
- Ta nh n xét: 2,2 - 1 = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;……ậ
Quy lu t c a dãy s trên là: T s h ng th 2 tr i, m i s h ng u h n s h ng ậ ủ ố ừ ố ạ ứ ở đ ỗ ố ạ đề ơ ố ạ
li n tr c nó là 1,2 n v :ề ướ đơ ị
- M t khác, các s h ng trong dãy s tr i 1 u chia h t cho 1,2.ặ ố ạ ố ừ đ đề ế
Ví d : (13 - 1) chia h t cho 1,2ụ ế
(3,4 - 1) chia h t cho 1,2ế
Mà: (34,6 - 1) : 1,2 = 28 d 0.ư
V y n u vi t ti p thì s 34,6 c ng thu c dãy s trên.ậ ế ế ế ố ũ ộ ố
Bài 5: Cho dãy s : 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49.ố
Các s sau ây có ph i là s h ng c a dãy không?ố đ ả ố ạ ủ
100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009?
Gi i:ả

S các s h ng c a dãy = ( S h ng l n nh t – S h ng nh nh t ) : d + 1.ố ố ạ ủ ố ạ ớ ấ ố ạ ỏ ấ
Các ví d :ụ
Bài 1: Cho dãy s 11; 14; 17; ;65; 68.ố
Hãy xác nh dãy s trên có bao nhiêu s h ng?đị ố ố ạ
L i gi i :ờ ả
Ta có : 14 - 11= 3; 17 - 14 = 3;
V y quy lu t c a dãy s ó là m i s h ng ng li n sau b ng s h ng mg li n ậ ậ ủ ố đ ỗ ố ạ đứ ề ằ ố ạ đứ ề
tr¬ c nó c ng v i 3. S các s h ng c a dãy s ó là:ướ ộ ớ ố ố ạ ủ ố đ
( 68 - 11 ) : 3 + 1 = 20 ( s h ng )ố ạ
Bài 2: Cho dãy s : 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992ố
Hãy xác nh dãy s trên có bao nhiêu s h ng?đị ố ố ạ
Gi i:ả
Ta th y: 4 – 2 = 2 ; 8 – 6 = 2ấ
6 – 4 = 2 ; ………
V y, quy lu t c a dãy s là: M i s h ng ng sau b ng m t s h ng ng tr c ậ ậ ủ ố ỗ ố ạ đứ ằ ộ ố ạ đứ ướ
c ng v i 2. Nói các khác: ây là dãy s ch n ho c dãy s cách u 2 n v .ộ ớ Đ ố ẵ ặ ố đề đơ ị
D a vào công th c trên:ự ứ
(S h ng cu i – s h ng u) : kho ng cách + 1ố ạ ố ố ạ đầ ả
Ta có: S các s h ng c a dãy là:ố ố ạ ủ
(1992 - 2) : 2 + 1 = 996 (s h ng).ố ạ
Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dãy s l liên ti p u tiên; h i 1981 là s h ng th ố ẻ ế đầ ỏ ố ạ ứ
bao nhiêu trong dãy s này? Gi i thích cách tìm?ố ả
( thi h c sinh gi i b c ti u h c 1980 – 1981)Đề ọ ỏ ậ ể ọ
Gi i:ả
Ta th y:ấ
S h ng th nh t b ng: 1 = 1 + 2 x 0ố ạ ứ ấ ằ
S h ng th hai b ng: 3 = 1 + 2 x 1ố ạ ứ ằ
S h ng th ba b ng: 5 = 1 + 2 x 2ố ạ ứ ằ
………
Còn s h ng cu i cùng: 1981 = 1 + 2 x 990ố ạ ố

dãy ( k t s h ng th hai ) b ng s h ng ng li n tr ¬ c c ng v i 4.ể ừ ố ạ ứ ằ ố ạ đứ ề ư ớ ộ ớ
V y s các s có ba ch s chia h t cho 4 là :ậ ố ố ữ ố ế
( 996 – 100 ) : 4 = 225 ( s )ố
* Bài t p t luy n:ậ ự ệ
Bài 1: Cho dãy s : 3, 8, 13, 23, ……,2008ố
Tìm xem dãy s có bao nhiêu s h ng ?ố ố ạ
Bài 2: Tìm s s h ng c a các dãy s sau:ố ố ạ ủ ố
a. 1, 4, 7, 10, ……,1999.
b. 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0.
Bài 3: Xét dãy s : 100, 101, ………, 789.ố
Dãy này có bao nhiêu s h ng?ố ạ
Bài 4: Có bao nhiêu s khi chia cho 4 thì d 1 mà nh h n 2010 ?ố ư ỏ ơ
Bài 5: Ng i ta tr ng cây hai bên ng c a m t o n ng qu c l dài 21km. H i ườ ồ đườ ủ ộ đ ạ đườ ố ộ ỏ
ph i dùng bao nhiêu cây tr ng trên o n ng ó ? Bi t r ng cây n tr ng ả đểđủ ồ đ ạ đườ đ ế ằ ọ ồ
cách cây kia 5m.
D ng 4: Tìm s h ng th n c a dãy sạ ố ạ ứ ủ ố
Bài toán 1: Cho dãy s : 1, 3, 5, 7, H i s h ng th 100 c a dãy s là s nàoố ỏ ố ạ ứ ủ ố ố
Gi i:ả
S kho ng cách t s u n s h ng th 100 là:ố ả ừ ố đầ đế ố ạ ứ
98 - 1 = 99
M i kho ng cách làỗ ả
3 - 1 = 5 - 3 = 2
S h ng th 100 làố ạ ứ
1 + 99 2 = 199
Công th c t ng quát:ứ ổ
S h ng th n = s u + kho ng cách (S s h ng - 1)ố ạ ứ ố đầ ả ố ố ạ
Bài toán 2: Tìm s h ng th 100 c a các dãy s c vi t theo quy lu t:ố ạ ứ ủ ố đượ ế ậ
a) 3, 8, 15, 24, 35,… (1)
b) 3, 24, 63, 120, 195,… (2)
c) 1, 3, 6, 10, 15,…. (3)

V y s ch s c n dùng là :ậ ố ữ ố ầ
9 1 + 90 2 + 51 3 = 342 ch sữ ố
Bài toán 2: M t quy n sách có 234 trang. H i ánh s trang quy n sách ó ng i ộ ể ỏ đểđ ố ể đ ườ
ta ph i dùng bao nhiêu ch s .ả ữ ố
Gi i:ả
ánh s trang quy n sách ó ng i ta ph i vi t liên ti p các s t nhiên t 1 n Để đ ố ể đ ườ ả ế ế ố ự ừ đế
234 thành dãy s . Dãy s này cóố ố
( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 s có 1 ch số ữ ố
Có: ( 99 - 10) : 1 + 1 = 90 s có 2 ch số ữ ố
Có: ( 234 - 100) : 1 + 1 = 135 s có 3 ch số ữ ố
V y ng i ta ph i dùng s ch s là:ậ ườ ả ố ữ ố
9 1 + 90 2 + 135 3 = 594 ch sữ ố
* Bài t p t luy n:ậ ự ệ
Bài 1: M t b n h c sinh vi t liên ti p các s t nhiên t 101 n 2009 thành 1 s r t ộ ạ ọ ế ế ố ự ừ đế ố ấ
l n. H i s ó có bao nhiêu ch sớ ỏ ố đ ữ ố
Bài 2: Tr ng Ti u h c Thành Công có 987 h c sinh. H i ghi s th t h c sinh ườ ể ọ ọ ỏ để ố ứ ự ọ
tr ng ó ng i ta ph i dùng bao nhiêu ch sườ đ ườ ả ữ ố
Bài 3: C n bao nhiêu ch s ánh s trang c a m t cu n sách có t t c là:ầ ữ ố đểđ ố ủ ộ ố ấ ả
a) 752 trang.
b) 1251 trang.
D ng 6: Tìm s s h ng khi bi t s ch sạ ố ố ạ ế ố ữ ố
Bài toán 1: ánh s trang 1 quy n sách ng i ta dùng h t 435 ch s . H i quy n Để đ ố ể ườ ế ữ ố ỏ ể
sách ó có bao nhiêu trang?đ
Gi i:ả
ánh s trang quy n sách ó, ng i ta ph i vi t liên ti p các s t nhiên b t u Để đ ố ể đ ườ ả ế ế ố ự ắ đầ
t 1 thành dãy s . Dãy s này cóừ ố ố
9 s có 1 ch số ữ ố
có 90 s có 2 ch số ữ ố
vi t các s này c n s ch s làĐể ế ố ầ ố ữ ố
9 1 + 90 2 = 189 ch sữ ố

Bài toán 4: Cho day sô: 1, 3, 5, 7, , n. Hay tim sô n ê sô ch sô cua day gâp 3 lân ̃ ́ ̃ ̀ ́ ́ ̃ ́ ̃ ́ ̀đ ̉ ư ̉
sô cac sô hang cua day.́ ́ ́ ̣̃ ̉
Giai:̉
ê tim c sô n sao cho sô cac ch sô cua day gâp ba lân sô cac sô hang cua day ̀ ́ ́ ́ ̃ ́ ̃ ́ ̀ ́ ́ ́ ̃Đ ̉ đượ ư ̉ ̣ ̉
o, ta gia s trung binh môi sô le liên tiêp cua day êu co 3 ch sô. Do o:́ ̀ ̃ ́ ́ ̃ ̀ ́ ̃ ́ ́đ ̉ ử ̉ ̉ đ ư đ
- T 1 ên 9 gôm cac sô le co môt ch sô la:̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ̃ ́ ̀ư đ ̉ ̣ ư
(9 - 1): 2 + 1 = 5 (sô)́
Môi sô cân phai viêt thêm 2 ch sô nên sô ch sô cân phai viêt thêm la:́ ̀ ́ ̃ ́ ́ ̃ ́ ̀ ́ ̀̉ ư ư ̉
2 x 5 = 10 (ch sô)̃ ́ư
Cac sô le gôm hai ch sô lá ́ ̀ ̃ ́ ̀̉ ư
(99 - 11): 2 + 1 = 45 (sô)́
Môi sô cân phai viêt thêm 1 ch sô nên sô ch sô cân phai viêt thêm la:̃ ́ ̀ ́ ̃ ́ ́ ̃ ́ ̀ ́ ̀̉ ư ư ̉
1 x 45 = 45 (ch sô)̃ ́ư
Cac sô le gôm 3 ch sô la:́ ́ ̀ ̃ ́ ̀̉ ư
( 999 - 101) : 2 + 1 = 450 (sô)́
Cac sô co 3 ch sô am bao sô ch sô cua day gâp ba lân sô sô hang cua day o.́ ́ ́ ̃ ́ ́ ̃ ́ ̃ ́ ̀ ́ ́ ̃ ́ư đ ̉ ̉ ư ̉ ̣ ̉ đ
T 1001 tr i, môi sô cân b t i môt ch sô. Sô ch sô cân thêm phai b ng sô ch ̀ ̃ ́ ̀ ́ ̃ ́ ́ ̃ ́ ̀ ̀ ́ ̃ư ở đ ơ đ ̣ ư ư ̉ ă ư
sô cân b t va b ng:́ ̀ ́ ̀ ̀ơ ă
10 + 45 = 55 (ch sô)̃ ́ư
Vi môi sô phai b t i 1 ch sô nên sô cac sô le co 4 ch sô la:̀ ̃ ́ ́ ̃ ́ ́ ́ ́ ́ ̃ ́ ̀̉ ơ đ ư ̉ ư
55 : 1 = 55 (sô)́
Ta co:́
(n - 1001) : 2 + 1 = 55
(n - 1001) : 2 = 55 - 1 = 54
(n - 1001) = 54 x 2 = 108
n = 108 + 1001 = 1109
* Bài t p t luy n:ậ ự ệ
Bài 1: vi t dãy s t nhiên liên ti p b t u t 1 ng i ta dùng h t 756 ch s . H iĐể ế ố ự ế ắ đầ ừ ườ ế ữ ố ỏ
s h ng cu i cùng c a dãy s là bao nhiêu.ố ạ ố ủ ố
Bài 2: ghi s th t h c sinh c a 1 tr ng Ti u h c, ng i ta ph i dùng 1137 ch Để ố ứ ự ọ ủ ườ ể ọ ườ ả ữ

566 : 4 = 141 s (d 2 ch s )ố ư ữ ố
Nên có 141 s có 4 ch s c vi t , s có 4 ch s th 141 là:ố ữ ố đượ ế ố ữ ố ứ
(141 - 1) x 2 + 1000 = 1280
Còn d 2 ch s dùng vi t ti p s 1282 nh ng m i ch vi t c 12. V y ch s ư ữ ố để ế ế ố ư ớ ỉ ế đượ ậ ữ ố
th 2010 c a dãy là ch s 2 hàng tr m c a s 1282.ứ ủ ữ ố ă ủ ố
Bài toán 3: Tim ch sô th 2010 phân thâp phân cua sô thâp phân b ng phân sô .̀ ̃ ́ ́ ̀ ́ ̀ ́ư ư ở ̣ ̉ ̣ ă
Gi i:ả
Sô thâp phân b ng phân sô la: 1 : 7 = 0,14285714285 ́ ̀ ́ ̣̀ ă
ây la sô thâp phân vô han tuân hoan. Ta thây c 6 ch sô thi lâp thanh 1 nhom ̀ ́ ̀ ̀ ́ ́ ̃ ́ ̀ ̀ ́Đ ̣ ̣ ư ư ̣
142857. V i 2010 ch sô thi co sô nhom la:́ ̃ ́ ̀ ́ ́ ́ ̀ơ ư
2010 : 6 = 335 (nhom). Vây ch sô th 2010 phân thâp phân cua sô thâp phân ́ ̃ ́ ́ ̀ ̣́ ư ư ở ̣ ̉ ̣
b ng phân sô la ch sô 7.̀ ́ ̀ ̃ ́ă ư
Bài toán 4: Cho 1 s có 2 ch s , m t dãy s c t o nên b ng cách nhân ôi ch ố ữ ố ộ ố đượ ạ ằ đ ữ
s hàng n v c a s này r i c ng v i ch s hàng ch c, ghi l i k t qu ; ti p t c nhố đơ ị ủ ố ồ ộ ớ ữ ố ụ ạ ế ả ế ụ ư
v y v i s v a nh n c (Ví d có th là dãy: 59, 23, 8, 16, 13, ). Tìm s th ậ ớ ố ừ ậ đượ ụ ể ố ứ
2010 c a dãy n u s th nh t là 14.ủ ế ố ứ ấ
Gi i:ả
Ta l p c dãy các s nh sau:ậ đượ ố ư
14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15,
Ta th y c h t 18 s thì dãy các s l i c l p l i nh dãy 18 s u.ấ ứ ế ố ố ạ đượ ặ ạ ư ố đầ
V i 2010 s thì có s nhóm là:ớ ố ố
2010 : 18 = 111 nhóm (d 12 s )ư ố
12 s dó là các s c a nhóm th 112 l n l t là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, ố ố ủ ứ ầ ượ
1. V y s th 2010 c a dãy là s 1.ậ ố ứ ủ ố
* Bài t p t luy n:ậ ự ệ
Bài 1: Cho dãy s : 2, 5, 8, 11, Hãy tìm ch s th 200 c a dãy s ó.ố ữ ố ứ ủ ố đ
Bài 2: Cho dãy s : 2, 4, 6, 8, B n Minh tìm c ch s th 2010 c a dãy là ch ố ạ đượ ữ ố ứ ủ ữ
s 0, h i b n tìm úng hay sai?ố ỏ ạ đ
Bài 3: Ban Minh ang viêt phân sô d i dang sô thâp phân. Thây ban Thông sang ́ ́ ́ ́ ̣́ đ ươ ̣ ̣ ̣
ch i, Minh liên dô: ô ban tim c ch sô th 100 phân thâp phân cua sô thâp ̀ ́ ́ ̀ ̃ ́ ́ ̀ ́ơ Đ ̣ đượ ư ư ở ̣ ̉ ̣

D ng 9: Tính t ng c a dãy sạ ổ ủ ố
Các bài toán c trình bày chuyên này c phân ra hai d ng chính, ó là:đượ ở đề đượ ạ đ
D ng th nh t: Dãy s v i các s h ng là s nguyên, phân s (ho c s th p phân) ạ ứ ấ ố ớ ố ạ ố ố ặ ố ậ
cách uđề
D ng th hai: Dãy s v i các s h ng không cách u.ạ ứ ố ớ ố ạ đề
D ng 1: Dãy s mà các s h ng cách u.ạ ố ố ạ đề
Xu t phát t m t bài Toán nh sau:ấ ừ ộ ư
Tính: A = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100
Ta th y t ng A có 100 s h ng, ta chia thành 50 nhóm, m i nhóm có t ng là 101 nh ấ ổ ố ạ ỗ ổ ư
sau:
A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50 x 101
= 5050.
ây là bài Toán mà lúc lên 7 tu i nhà Toán h c Gaux ã tính r t nhanh t ng các s Đ ổ ọ ơ đ ấ ổ ố
T nhiên t 1 n 100 tr c s ng c nhiên c a th y giáo và các b n bè cùng l p.ự ừ đế ướ ự ạ ủ ầ ạ ớ
Nh v y bài toán trên là c s u tiên chúng ta tìm hi u và khai thác thêm r t ư ậ ơ ở đầ để ể ấ
nhi u các bài t p t ng t , c a ra nhi u d ng khác nhau, c áp d ng ề ậ ươ ự đượ đư ở ề ạ đượ ụ ở
nhi u th lo i toán khác nhau nh ng ch y u là: tính toán, tìm s , so sánh, ch ng ề ể ạ ư ủ ế ố ứ
minh. gi i quy t c các d ng toán ó chúng ta c n ph i n m c quy lu t c a Để ả ế đượ ạ đ ầ ả ắ đượ ậ ủ
dãy s , tìm c s h ng t ng quát, ngoài ra c n ph i k t h p nh ng công c gi i ố đượ ố ạ ổ ầ ả ế ợ ữ ụ ả
toán khác nhau n a.ữ
Cách gi i:ả
N u s h ng c a dãy s cách u nhau thì t ng c a hai s h ng cách u u và s ế ố ạ ủ ố đề ổ ủ ố ạ đề đầ ố
h ng cu i trong dãy s ó b ng nhau. Vì v y:ạ ố ố đ ằ ậ
T ng các s h ng c a dãy b ng t ng c a m t c p hai s h ng cách u s h ng u ổ ố ạ ủ ằ ổ ủ ộ ặ ố ạ đầ ố ạ đầ
và cu i nhân v i s h ng c a dãy chia cho 2.ố ớ ố ạ ủ
Vi t thành s :ế ơ đồ
T ng c a dãy s cách u = (s u + s cu i) x (s s h ng : 2)ổ ủ ố đề ố đầ ố ố ố ố ạ
T s trên ta suy ra:ừ ơ đồ
S u c a dãy = t ng x 2 : s s h ng – s h ng cu i.ố đầ ủ ổ ố ố ạ ố ạ ố
S cu i c a dãy = t ng x 2 : s s h ng – s u.ố ố ủ ổ ố ố ạ ố đầ

cu i) còn l i m t s ch n s h ng r i s p c p; l y t ng c a m i c p nhân v i s ố để ạ ộ ố ẵ ố ạ ồ ắ ặ ấ ổ ủ ỗ ặ ớ ố
c p r i c ng v i s h ng ã l i thì c t ng c a dãy s .ặ ồ ộ ớ ố ạ đ để ạ đượ ổ ủ ố
Bài 2: Tính t ng c a s t nhiên t 1 n n.ổ ủ ố ự ừ đế
Gi i:ả
Ghép các s : 1, 2, ……, n – 1, n thành t ng c p (không s p th t ) : 1 v i n, 2 v i (n ố ừ ặ ắ ứ ự ớ ớ
– 1), 3 v i (n – 2), ……ớ
Khi n ch n, ta có S = n x (n + 1) : 2ẵ
Khi n l , thì n – 1 ch n và ta có:ẻ ẵ
1 + 2 + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : 2
T ó ta c ng có:ừ đ ũ
S = (n – 1) x n : 2 + n
= (n - 1) x n : 2 + 2 x n : 2
= [(n – 1) x n + 2 x n] : 2
= (n – 1 + 2) x n : 2
= n x (n + 1) : 2
Khi h c sinh ã làm quen và th c hi n thành th o thì h ng d n h c sinh áp d ng ọ đ ự ệ ạ ướ ẫ ọ ụ
công th c luôn mà không c n nhóm thành các c p s có t ng b ng nhau.ứ ầ ặ ố ổ ằ
T ng c a dãy s cách u = (s u + s cu i) x s s h ng : 2ổ ủ ố đề ố đầ ố ố ố ố ạ
Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 100
L i gi iờ ả
Ta có th a các s h ng c a t ng trên v d ng s t nhiên b ng cách nhân c hai ể đư ố ạ ủ ổ ề ạ ố ự ằ ả
v v i 100, khi ó ta có:ế ớ đ
100 x E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 1000
Áp d ng công th c tính t ng ta tính c t ng là E = 4954,95ụ ứ ổ đượ ổ
Ho c gi i nh sau:ặ ả ư
Ta th y: 11,12 - 10,11 = 12,13 - 11,12 = = 1,01ấ
V y ây là dãy s cách u 1,01 n v .ậ đ ố đề đơ ị
Dãy s có s s h ng là : (100 - 10,11) : 1,01 + 1 = 90 s h ngố ố ố ạ ố ạ
T ng c a dãy s là : (10,11 + 100) x 90 : 2 = 4954,95ổ ủ ố
Bài 4: Cho dãy s : 1, 2, 3, …… 195. Tính t ng các ch s trong dãy?ố ổ ữ ố

Các s th p phân có ph n nguyên là 9, ph n th p phân có 3 ch s là:ố ậ ầ ầ ậ ữ ố
9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 t c là có ứ
1000 s .ố
T ng t t c các s c a dãy s trên là:ổ ấ ả ố ủ ố
(9,000 + 9,999) x 1000 : 2 = 9499,5
áp s : 9499,5Đ ố
Bài 6: Ph i thêm vào t ng các s h ng trong dãy s : 2, 4, 6, 8, , 246 ít nh t bao ả ổ ố ạ ố ấ
nhiêu n v c s chia h t cho 100 ?đơ ị đểđượ ố ế
Gi i:ả
ây là dãy s ch n liên ti p hay dãy s cách u 2 n v .Đ ố ẵ ế ố đề đơ ị
Dãy s có s s h ng là: (246 - 2) : 2 + 1 = 123 s h ng.ố ố ố ạ ố ạ
T ng c a dãy s là: (246 + 2) x 123 : 2 = 12252ổ ủ ố
Vì 100 - 52 = 48 nên ph i thêm vào t ng c a dãy s ít nh t 48 n v .ả ổ ủ ố ấ đơ ị
* Bài t p t luy n:ậ ự ệ
Bài 1: Tính t ng:ổ
a) C a t t c các s l bé h n 100ủ ấ ả ố ẻ ơ
b) 1 + 4 + 9 + 16 + …… + 169
Bài 2:
a) Tính nhanh t ng c a t t c các s có 3 ch s .ổ ủ ấ ả ố ữ ố
b) 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384.
Dãy s trên có m i s h ngố ườ ố ạ
T ng bao nhiêu, m i b n tính nhanhổ ờ ạ
em, ch , anhĐố đố ị đố
Tìm ra ph ng pháp tính nhanh m i tài.ươ ớ
Bài 3: Hãy tính t ng c a các dãy s sau:ổ ủ ố
a) 1, 5, 9, 13, 17, …Bi t dãy s có 80 s h ng.ế ố ố ạ
b) , 17, 27, 44, 71, 115. Bi t dãy s có 8 s h ng.ế ố ố ạ
Bài 4: Tính nhanh:
a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77
b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19.

b. M i nhóm ch THIXA HAID NG có 2 ch H và c ng có 2 ch A và 1 ch N. Vì ỗ ữ ƯƠ ữ ũ ữ ữ
v y, n u ng i ta m c trong dãy có 50 ch H thì t c là ng i ó ã vi t 25 l n ậ ế ườ đế đượ ữ ứ ườ đ đ ế ầ
nhóm ó nên dãy ó ph i có 50 ch A và 25 ch N.đ đ ả ữ ữ
c. B n ó m sai, vì s ch A trong dãy ph i là s ch n.ạ đ đế ố ữ ả ố ẵ
d. Ta nh n xét:ậ
+ 2001 chia cho 4 thì d 1.ư
+ Nh ng ch cái trong dãy có s th t là chia cho 4 thì d 1 thì c tô màu XANH.ữ ữ ố ứ ự ư đượ
V y ch cái th 2001 trong dãy c tô màu XANH.ậ ữ ứ đượ
Bài toán 3: B n H i cho các viên bi vào h p l n l t theo th t là: bi xanh, bi , bi ạ ả ộ ầ ượ ứ ự đỏ
vàng r i l i n bi xanh, bi , bi vàng c nh v y. H i:ồ ạ đế đỏ ứ ư ậ ỏ
a) Viên bi th 100 có màu gì?ứ
b) Mu n có 10 viên bi thì ph i b vào h p ít nh t bao nhiêu viên bi?ố đỏ ả ỏ ộ ấ
Gi i:ả
a) Ta th y, c 3 viên bi thì l p thành 1 nhóm màu: xanh, , vàng. 100 viên bi thì có ấ ứ ậ đỏ
s nhóm là: 100 : 3 = 33 nhóm (d 1 viên bi)ố ư
Nh v y, b n H i ã cho vào h p c 33 nhóm, còn d 1 viên c a nhóm th 34 và ư ậ ạ ả đ ộ đượ ư ủ ứ
là viên bi u tiên c a nhóm này. V y viên bi th 100 có màu xanh.đầ ủ ậ ứ
b) M t nhóm thì có 3 viên bi, mu n có 10 viên bi thì c n b vào h p:ộ ố đỏ ầ ỏ ộ
3 x 10 = 30 viên bi. Nh ng viên bi màu là viên bi th 2 c a nhóm. V y c n b vào ư đỏ ứ ủ ậ ầ ỏ
h p ít nh t s viên bi là: 30 - 1= 29 viên.ộ ấ ố
* Bài t p t luy n:ậ ự ệ
Bài 1: M t ng i vi t liên ti p nhóm ch : TOANNAM thành dãy: ộ ườ ế ế ữ
TOANNAMTOANNAMTOAN…… H i:ỏ
a. Ch cái th 2010 trong dãy là ch gì?ữ ứ ữ
b. N u ng i ta m c trong dãy có 50 ch N thì dãy ó có bao nhiêu ch A? ế ườ đế đượ ữ đ ữ
Bao nhiêu ch O?ữ
c. M t ng i m c trong dãy có 2009 ch A, h i ng i ó m úng hay sai? ộ ườ đế đượ ữ ỏ ườ đ đế đ
Gi i thích t i sao?ả ạ
d. Ng i ta tô màu các ch cái trong dãy theo th t XANH, , TÍM, VÀNG, XANH, ườ ữ ứ ự ĐỎ
, TÍM…… h i ch cái th 2009 trong dãy c tô màu gì?ĐỎ ỏ ữ ứ đượ

Khi gi i: Sau khi tìm ra quy lu t c a dãy, ta s p x p các s theo t ng c p sao cho có ả ậ ủ ắ ế ố ừ ặ
t ng u b ng nhau, sau ó tìm s c p r i tìm t ng các s h ng c a dãy. Chú ý: Khi ổ đề ằ đ ố ặ ồ ổ ố ạ ủ
tìm s c p s mà còn d m t s h ng thì khi tìm t ng ta ph i c ng s d ó vào.ố ặ ố ư ộ ố ạ ổ ả ộ ố ư đ
N u tính nhanh t ng c a các phân s ph i d a vào tính ch t c a phân s .ế ổ ủ ố ả ự ấ ủ ố
d ng 10: ó là dãy ch khi gi i ph i d a vào quy lu t c a dãy, sau ó có th xem Ở ạ Đ ữ ả ả ự ậ ủ đ ể
m i nhóm ch có t t c bao nhiêu ch r i i tìm có t t c bao nhiêu nhóm và ó chínhỗ ữ ấ ả ữ ồ đ ấ ả đ
là ph n tr l i c a bài toán.ầ ả ờ ủ