- Tên chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM
- Tác giả chuyên đề: NGUYỄN THỊ THANH HẢI
- Chức vụ : Giáo viên Toán
- Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Yên
- Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 11, lớp 12
- Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 10 tiết

I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ:
1. Quy tắc cộng:
Một công việc A được chia ra k công việc A1 , A2 ,..., Ak để thực hiện,
mỗi công việc độc lập nhau. Trong đó:
+ Công việc A1 có n1 cách thực hiện


+ Công việc A2 có n2 cách thực hiện
…………………………………..
+ Công việc Ak có nk cách thực hiện
Khi đó số cách thực hiện công việc A là : ( n1 + n2 + ... + nk ) cách.
2. Quy tắc nhân:
Một công việc A được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn
A1 , A2 ,..., Ak , với mỗi cách thưck hiện ở giai đoạn này không trùng với bất

kỳ cách thực hiện nà ở các giai đoạn còn lại. Trong đó:
+ Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện
+ Giai đoạn A2 có n2 cách thực hiện
+ Giai đoạn A3 có n3 cách thực hiện
…………………………………..
+ Giai đoạn Ak có nk cách thực hiện
Khi đó số cách thực hiện công việc A là : ( n1.n2 .n3 ...nk ) cách.
3. Hoán vị:
3.1. Định nghĩa:

- Hai chỉnh hợp khác nhau là hai bộ có ít nhất 1 phần tử khác nhau hoặc
các phần tử giống nhau nhưng thứ tự sắp xếp khác nhau.
5. Tổ hợp:
5.1. Định nghĩa:
- Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử ( 1 ≤ k ≤ n ) của
tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A.
5.2. Định lý: (Số tổ hợp chập k của n phần tử)
- Nếu ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk thì ta có
Cnk =

n. ( n − 1) . ( n − 2 ) ... ( n − k + 1)
n!
=
và quy ước Cn0 = 1
k!
k !( n − k ) !

*Chú ý:
- Hai tổ hợp khác nhau là hai tập con có ít nhất 1 phần tử khác nhau .

II. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG :
1. Bài toán 1: có sử dụng hoán vị của n phần tử . Chúng ta thường dựa
trên dấu hiệu đặc trưng sau:
- Tất cả n phần tử đều có mặt.
- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần.
- Có sự sắp xếp thứ tự giữa các phần tử.
- Khi đó số cách sắp xếp n phần tử là số hoán vị của n phần tử đó.


Và có Pn = n! = 1.2.3....( n − 1) .n

a- Bạn D ngồi vào chính giữa 7 bạn ?
b- Hai bạn A và G ngồi ở 2 đầu ghế ?


*Phân tích:
a/Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho D chúng ta thấy rằng 6 bạn còn như 6
phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần . Mỗi cách sắp xếp có sự phân
biệt thứ tự. Do đó ta sử dụng bài toán 1.
b/Tương tư ta thấy: Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho A và G chúng ta thấy
rằng 5 bạn còn như 5 phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần . Mỗi
cách sắp xếp có sự phân biệt thứ tự. Do đó ta sử dụng bài toán 1.

*Lời giải:
a/Sắp xếp D ngồi vào chính giữa: có 1 cách.
Mỗi cách sắp xếp A, B, C, E, F vào 6 chỗ còn lại là một hoán vị của 6
phần tử nên có 6 cách sắp xếp A, B, C, E, F .
Vậy có 1 × 6!=720 cách sắp xếp thoả mãn yên cầu bài toán.
b/ sắp xếp 2 bạn A và G vào vị trí : có 2 cách.
Sắp xếp các bạn còn lại : có 5! cách.
vậy có 2! × 5!=240 cách sắp xếp thoả mãn yêu cầu bài toán .

Ví dụ 2:
Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta
muốn chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã
chọn. Một bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như
vậy?
*Lời giải :
Chọn ra 3 tem thư từ 5 tem => có C53 cách chọn
Chọn ra 3 bì thư từ 6 bì thư => có C63 cách chọn
Mỗi cách dán 3 tem lên 3 bì thư vừa được chọn ra là một hoán vị của 3


Số cách tặng 6 quyển sách theo yêu cầu bài toán là một chỉnh hợp chập 6
của 9 phần tử .
Vậy số cách tặng là: A96 =60480 cách tặng.
2. Bài toán đếm không có sắp xếp
Ví dụ 4:
Đội thanh niên xung kích của trường X có 12 học sinh, gồm 5 học
sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi
làm nhiệm vụ sao cho:
a/ 4 học sinh này thuộc cả 3 lớp trên.
b/ 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
*Phân tích:
Số học sinh được chọn từ 12 học sinh không sắp xếp thứ tự gì nên ta có
thể sử dụng bài toán 2.
*Lời giải:
a/Vì 4 học sinh được chọn cần ở cả 3 lớp nên ta có các trường hợp chia
như sau:
Học sinh lớp A

Học sinh lớp B

Học sinh lớp C

Số cách chọn tương
ứng

2
1
1

1
2
2
3
1

số câu hỏi khó
2
1
1

Số cách lập đề dạng này
1
C152 .C10
.C52 = 10500 cách
C152 .C102 .C51 = 23625 cách
1
C153 .C10
.C51 = 22750 cách

Áp dụng quy tắc cộng có tất cả 10500+23625+22750=56875 đề được lập.
Ví dụ 6: (ĐH khối B-2005)
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp
đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
*Lời giải :
Số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất là C31C124 .
Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất ta có
số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai là C21C84 .
Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và

5
người trong 28 người vào ban cán sự => có C28
cách chọn

Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể
rời nhau là:
3
5
C28
+ C28
=101556 cách chọn.

Cách 2:
-Chọn 5 người tuỳ ý trong 30 người =>có C305 cách chọn .
-Chọn 5 người trong đó có Tâm mà không có Bình =>có C284 cách chọn .
-Chọn 5 người trong đó có Bình mà không có Tâm =>có C284 cách chọn .


Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể
rời nhau là:
C305 -( C284 + C284 )=101556 cách chọn.
c/ Cách 1:
5
-Chọn 5 người trong đó không có An mà không có Hà =>có C28
cách

chọn .
-Chọn 5 người trong đó có An mà không có Hà =>có C284 cách chọn .
-Chọn 5 người trong đó có Hà mà không có An =>có C284 cách chọn .
Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu An và Hà không thể làm

Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1
nữ là:
C102 . C103 + C103 . C102 + C104 . C101 =12900 cách chọn.
Cách 2:
5
-Chọn 5 người tuỳ ý trong 20 người =>có C20
cách chọn .

-Chọn 5 người trong đó có 1 nam và 4 nữ => có C101 . C104 cách chọn
-Chọn 5 người trong đó có 0 nam và 5 nữ => có C105 cách chọn
-Chọn 5 người trong đó có 5 nam và 0 nữ => có C105 cách chọn
Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1
nữ là:
5
C20
-( C101 . C104 + C105 + C105 )=12900 cách chọn.

DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỰ
NHIÊN
+Số tự nhiên n = ab trong đó a, b ∈ { 0,1, 2,...,9} , a ≠ 0
+Số ab = 10a + b , abc = 100a + 10b + c
+Số ab ≠ ba
1. Tính số các số tự nhiên liên quan đến so sánh các số, các chữ số:
Ví dụ 9:
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số có ba
chữ số khác nhau và số đó


a) Lớn hơn 400?
b) Không nhỏ hơn 666?

KN1: Nếu b ∈ { 1;2} thì c chọn tuỳ ý. Do đó:
a có 1 cách chọn
b có 2 cách chọn
c có 7 cách chọn
Suy ra có 1.2.7=14 số.
KN2: Nếu b=4 thì c
+TH2: Với e ≠ 0 .
Khi đó e có 4 cách chọn , a có 8 cách chọn , bcd có A83 cách chọn .
Suy ra có 4.8. A83 =10752 số.
Vậy có tất cả 3024+10752=13776 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán .
b/ Vì x chia hết cho 5 nên e ∈ { 0;5} .
+TH1: Với e=0:
Khi đó a có 9 cách chọn, bcd có A83 cách chọn .
Suy ra có 9. A83 =3024 số.
+TH2: Với e=5:
Khi đó a có 8 cách chọn, bcd có A83 cách chọn .
Suy ra có 8. A83 =2688 số.
Vậy có tất cả 3024+2688=5712 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 12:
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
thoả mãn
a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5.
b/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 3.
c/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9.
*Lời giải :
a/ theo dấu hiệu chia hết thì số cần tìm chia hết 5 nên nó có hàng đơn vị là
0 hoặc 5.
+ nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì cách sắp xếp các chữ số từ 1 đến 5 vào
3 vị trí còn lại có : A53 số dạng này.
+ nếu chữ số hàng đơn vị là 5 thì có 4 cách sắp xếp chữ số hàng nghìn.
Và có A42 cách sắp xếp vào vi trí hàng trăm và hàng chục.
Nên ta có : 4. A42 số dạng này.


Vậy có tất cả : A53 +4. A42 =96 số.
b/ Giả sử số cần tìm có dạng x = abc, a ≠ 0, a ≠ b ≠ c,

a, c ∈ { 2, 4} ⇒ có 2!cách
b, d ∈ { 1,5} ⇒ có 2!cách

TH2: 

Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số
 a, c ∈ { 3, 4} ⇒ có 2!cách
b, d ∈ { 2,5} ⇒ có 2!cách

TH2: 

Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số
Vậy có tất cả là 8+8+8=24 số cần tìm.
b/Vì xM25 nên n có dạng ab25
suy ra a có 3 cách chọn
b có 2 cách chọn
Vậy có tất cả 3.2=6 số cần tìm.
c/ Vì xM4 nên n có dạng ab12, ab24, ab32, ab52
Ở mỗi dạng ta có có thể sắp xếp ab để tạo được A32 =6 số.
Do đó ta có tất cả là 4.6=24 số cần tìm.
Ví dụ 14
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số chia hết cho 9?.
*Lời giải :
Số tự nhiên chia hết cho 9 là số có tổng tấc cả các chữ số chia hết cho 9
-Các số có 6 chữ số chia hết cho 9 viết theo thứ tự tăng dần là dãy số :
10008,100017,100026,….,999999
Đây là một cấp số cộng có công sai d=9.
-Các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 se là dãy con của dãy số trên . Nó là
cấp số cộng u1 = 100017, u2 = 100035,...., un = 999999 với công sai d=18
Do đó 100017+(n-1)18=999999 =>n=50000

Cho tập A= { 0,1,2,3,4,5,6,7}


a/ Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau mà mỗi số luôn có mặt hai chữ số 1 và 7?
b/ Trong các số tìm được ở câu a/ có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 7
đứng kề nhau, chữ số 1 đứng bên trái chữ số 7?
*Lời giải :
Một số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A có dạng abcde
( với a, b, c, d , e ∈ A; a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e .)
a/ Ta có:
 Có A52 cách chọn chữ số 1 và chữ số 7 vào 5 vị trí .
 Có 5 cách chọn a (trừ các chữ số 0, 1,7)
 Có A52 cách chọn 2 trong 5 chữ số còn lại vào 2 vị trí còn lại.
Do đó số các số tự nhiên cần tìm là :
A52 × 5 × A52 =2000 (số)
b/Nhận thấy rằng : “ Số cách chọn hai chữ số 1 và 7 đứng cạnh nhau mà
chữ số 1 luôn đứng bên trái chữ số 7 trong dãy có 5 vị trí là 4 cách
chọn”.
Do đó ta xét 2 TH:
*TH1: Chữ số 1 đứng ở hàng vạn (vị trí a) thì chữ số 7 sẽ đứng ở hàng
nghìn (vị trí b)
 Mỗi bộ số dành cho ba vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 3
của các phần tử của A\ { 1,7} là 6 phần tử .
⇒ có A63 cách chọn .

Vậy trong TH này ta được 1. A63 (số).
*TH2: Chữ số 1 đứng ở vị trí khác vị trí a, tức là có thể ở 3 vị trí (b,c,d)
⇒ có 3 cách chọn .



Vậy có tất cả 1296+1152=2448 số cần tìm.
Cách 2:
Có C43 cách chọn 3 chữ số chẵn


Có C42 cách chọn 2 chữ số lẻ
Có 5! Hoán vị 5 chữ số đã chọn
⇒ có 5!. C43 . C42 =2880 số có 5 chữ số khác nhau có đúng 3 chữ số chẵn và

2 chữ số lẻ. Trong đó có:
C32 cách chọn 2 chữ số chẵn
C42 cách chọn 2 chữ số lẻ

Có 4! Hoán vị 4 chữ số đã chọn
⇒ có 4!. C32 . C42 =432 số có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ nhưng bắt

đầu chữ số 0.
Vậy có tất cả 2880-432=2448 số cần tìm.
4.Tính số các số tự nhiên có chứa các chữ số lặp lại:
Ví dụ 19:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số , trong đó chữ số 0 có
mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và 2 chữ số còn lại khác
nhau ?
*Lời giải :
Gọi số có 5 chữ số là abcde , số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí.
Chọn 2 vị trí xếp chữ số 0: có C42 cách.
Chọn 1 vị trí xếp chữ số 0: có 3 cách.
Chọn 2 chữ số trong 8 chữ số (10 chữ số trừ đi 2 chữ số là 0 và 1) xếp
vào 2 vị trí còn lại : có A82 cách.

Chọn 8 chữ số vào 8 vị trí và hoán vị chúng ta được 8! số .
Trong đó có 7! Số có chữ số 0 đứng đầu và 3! Số giống nhau khi hoán vị
chữ số 5.
Vây nên ta có tất cả
⇒ Từ

8!− 7!
= 5880 số cần tìm.
3!

đó có bài toán tổng quát:
Bài 1: “ Cho n chữ số khác nhau và khác 0, 1 ≤ n ≤ 9 . Hỏi có bao

nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần
( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”
⇒ Công thức

( n + k − 1) !
k!

số cần tìm


BÀi 2: “ Cho n chữ số khác nhau chứa cả chữ số 0, 1 ≤ n ≤ 9 .
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được
lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”
⇒ Công thức

( n + k − 1) !− ( n + k − 2 ) !
k!


số

(1+2+3+4+5)10000.120=3600000

ở

hàng

đơn

vị

là


Vậy tổng của 120 số n là: 360+3600+36000+360000+3600000=3999960
Cách 2:
Trong số 120 số n ta luôn tìm được cặp số n,n’ sao cho tổng của chúng
n+n’=66666. chẳng hạn như 12345+54321=66666.
Do đó tống tất cả 120 số vùa tìm được là:
66666.

120
=3999960
2

Ví dụ 22:
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
5 chữ số, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục,

2
Vậy có tất cả là : Cn − n =

( n − 1) n − n = n 2 − 3n
n!
−n =
(đường chéo)
2!( n − 2 ) !
2
2

b/ theo kết quả của phần a. ta có
n∈N , n ≥ 3
Cn2 − n = 35 ⇔ n 2 − 3n − 70 = 0 ¬ 
→ n = 10

Vậy đa giác lồi có 10 cạnh sẽ có 35 đường chéo.
Ví dụ 24:
Cho 2 đường thẳng a, b song song với nhau. Trên đường thẳng a
có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng b có 15 điểm phân biệt. Hỏi có
bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc 25 điểm kể trên?
*Phân tích 1: Mỗi tam giác tương ứng với 3 điểm không thẳng hàng
thuộc 25 điểm , nếu 3 điểm cùng thuộc một đường thẳng thì không hình
thành được tam giác.
Lời giải 1:
Chọn 3 điểm bất kỳ trong 25 điểm kể trên ta có: C253 cách chọn .
Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng a có : C103 cách chọn .
Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng b có : C153 cách chọn .
Vậy có tất cả là : C253 - C103 - C153 =1725 tam giác.