BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
Các bài toán về tam giác
A. Giới thiệu
Trong bài giảng này, chúng tôi đề cập đến các bài toán liên quan đến việc xác định tọa độ các
đỉnh và viết phương trình các cạnh của tam giác (giải tam giác). Để làm tốt các bài toán này, ta
cần biết khai thác các tính chất của đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác và đường
trung trực của tam giác. Bài giảng này đề cập đến năm dạng toán sau:
Dạng 1. Đường cao
Dạng 2. Trung tuyến
Dạng 3. Phân giác
Dạng 4. Trung trực
Dạng 5. Các bài toán tổng hợp
B. Các dạng toán hay gặp
Dạng 1. Đường cao
Nội dung phương pháp
Cho tam giác
ABC
. Giả sử
d
là đường cao qua
A
và
H
là trực tâm tam giác. Ta có vài nhận
xét sau đây:
, cạnh
BC
đi
qua điểm
2;1
M . Hãy lập phương trình cạnh
BC
của tam giác.
Giải
Ta thấy đường thẳng
BC
vuông góc với
d
nên nhận véc-tơ pháp
tuyến
1; 2
n
làm véc-tơ chỉ phương.
BC
còn đi qua
M
nên
có
1; 2
A
. Đường cao kẻ
B
,
C
có phương trình lần lượt là
1
:3 5 11 0
d x y
,
2
: 3 7 0
d x y
. Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Giải
Đường thẳng
AB
vuông góc với đường cao
2
: 3 7 0
d x y
.
d
2
d
1
A
B
C
Tương tự,
AC
là đường thẳng qua
A
và nhận
1
3; 5
n
làm véc-tơ chỉ phương nên
1 2
:
3 5
x y
AC
3;4
B .
C
là giao điểm của
C
và
2
d
nên tọa độ
C
là nghiệm của hệ
5 3 1 0
3 7 0
x y
x y
2;3
C .
Suy ra
3 4
:
,
B
lần lượt là các đường thẳng
1
:4 5 0
d x y
,
2
: 2 9 0
d x y
và trọng tâm
2;2
G . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của
tam giác.
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
Các điểm
A
,
B
lần lượt thuộc các đường thẳng
6;4 2 2
C a b a b
2 6;4 4 7
BC a b a b
,
2 6;8 2 7
AC a b a b
.
2 6 8 2 7
2 1
a b a b
a b a b
17 14 22
14 5 8
a b
a b
trình lần lượt là
1
:4 3 1 0
d x y
và
2
:7 2 22 0
d x y
. Lập phương trình của hai cạnh còn
lại và đường cao còn lại của tam giác.
Giải
A
là giao điểm của
AB
và
1
d
nên tọa độ
A
là nghiệm của hệ
5 3 2 0
4 3 1 0
x y
x y
x y
x y
2;4
B .
Đường thẳng
AC
qua
A
và nhận véc-tơ pháp tuyến
2
7;2
n
của đường thẳng
2
d
làm véc-tơ
chỉ phương nên
làm véc-tơ chỉ phương nên
2 4
:
4 3
x y
BC
:3 4 22 0
BC x y
.
C
là giao điểm của
AC
và
BC
nên tọa độ
C
là nghiệm của hệ
2 7 5 0
3 4 22 0
x y
3 5 23 0
x y
.
Vậy
:2 7 5 0
AC x y
,
:3 4 22 0
BC x y
, đường cao còn lại có phương trình
3 5 23 0
x y
.
Ví dụ 5. Cho tam giác
ABC
có phương trình hai cạnh là
5 2 6 0
x y
và
4 7 21 0
x y
x y
0;3
B .
O
A
B
C
Đường thẳng
CO
nhận véc-tơ pháp tuyến
5; 2
n
của
AB
35
; 7
2
C
.
Đường thẳng
CA
đi qua
35
; 7
2
C
và nhận
0;3
OB
1;1
H , các
đường cao qua
B
,
C
lần lượt là
1
:5 3 4 0
d x y
,
2
: 4 11 0
d x y
. Hãy tìm tọa độ các đỉnh
của tam giác.
Đáp số:
3; 7
A
,
5;2
B ,
và
2
d
. Giả sử
1
d
là đường cao đi
qua
A
và
2
d
là đường cao đi qua
C
. Phương trình các cạnh của tam giác là
:8 3 17 0
AB x y
,
:3 5 13 0
BC x y
,
:5 2 1 0
CA x y
.
Bài 3. Cho tam giác
ABC
có trung điểm cạnh
: 6 10 0
BC x y
,
:4 15 0
CA x y
.
Bài 4. Cho tam giác
ABC
có trung điểm các cạnh
AB
,
BC
lần lượt là
9 3
;
2 2
M
,
1 1
;
2 2
N
biết
5;2
B ,
1;1
C và trực tâm là
2;4
H .
Đáp số:
9 26
;
5 5
A
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2 2
B C B C
x x y y
a b c
.
Cho tam giác
ABC
.
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác
ABC
có tọa độ ba đỉnh là
1; 2
A
,
4; 3
B
và
0;8
C . Hãy viết
nên
1 2
:
2 3
A
x y
d
, hay
:3 2 1 0
A
d x y
.
Tương tự ta có
4 3
:
3 4
B
x y
d
, hay
: 4 3 7 0
B
d x y
;
A
là
2
:7 5 21 0
d x y
. Tìm tọa độ đỉnh
C
.
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
Đỉnh
C
của thuộc đường thẳng
1
:2 1 0
d x y
nên tọa độ có dạng
;2 1
C c c
. Trung điểm
: 4 5 0
d x y
.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết
AC
cắt trục hoành tại điểm
I
có hoành độ bằng
3
2
và
I
là trung điểm của
AC
.
Giải
Ta thấy
A
là giao điểm của đường thẳng
AB
và trung tuyến
d
nên tọa độ
A
là nghiệm của hệ
4 3 7 0
4 5 0
x y
AC
có
2 4
2 1
C I A
C I A
x x x
y y y
4; 1
C
.
Điểm
B
thuộc đường thẳng
AB
nên tọa độ
B
có dạng
4 7
4 2 2
;
2 3
b b
J
.
Điểm
J
lại thuộc trung tuyến
d
nên
4 2 2
4. 5 0
2 3
b b
. Giải phương trình này ta được
phương trình là
1
: 2 1 0
d x y
và
2
: 1 0
d y
.
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
Dễ thấy cả hai trung tuyến đã cho đều không đi qua
A
. Giả sử
1
d
là trung tuyến qua
B
,
2
d
là
trung tuyến qua
d
nên
3
1 0
2
1
2 2 1 0
2
b
c
.
Giải hệ trên ta được
1
b
,
5
c
, hay
: 4 1 0
BC x y
;
5 1
:
4 2
x y
CA
, hay
: 2 7 0
CA x y
.
Ví dụ 5. Hai cạnh của một tam giác có phương trình lần lượt là
2 0
x y
và
5 0
x y
. Một
trong các đường trung tuyến của tam giác có phương trình
3 0
x y
x y
x y
0;0
A .
Ta thấy
:3 0
d x y
là trung tuyến đi qua
A
. Hai điểm
B
và
C
lần lượt thuộc các cạnh
AB
và
AC
nên tọa độ của hai điểm này có dạng
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
Thế
2
b c
vào tọa độ điểm
B
ta có
2 ;4
B c c
, suy ra
;
BC c c
. Véc-tơ
BC
lại cùng phương
với véc-tơ
1; 1
4;8
B ,
2;10
C .
Phương trình cạnh
BC
là
4 8
2 2
x y
hay
12 0
x y
.
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác
ABC
, các đường thẳng
AB
và
AC
lần lượt có phương trình
, phương trình hai trung tuyến đi qua
B
và
C
lần lượt là
8 3 0
x y
và
14 13 9 0
x y
. Tìm tọa độ các đỉnh
B
,
C
.
Đáp số:
1;5
B ,
4; 5
C
.
Bài 3. Một cạnh của tam giác có phương trình là
1
: 5 0
d x y
,
2
: 17 31 0
d x y
và trực tâm
4; 1
H
.
Đáp số:
6; 5
A
,
3; 2
B
,
:
Phân giác góc
A
là đường thẳng đi qua
A
.
Hai đường thẳng
AB
và
AC
đối xứng nhau qua phân giác góc
A
. Cụ thể, nếu lấy
M
là
một điểm thuộc đường thẳng và
'
M
là điểm đối xứng với
M
qua phân giác góc
A
thì
'
M
thuộc đường thẳng
AC
.
Một số ví dụ
'
M
là điểm đối xứng với điểm
M
qua phân giác
d
. Vì
M
thuộc đường thẳng
AB
nên
'
M
thuộc đường thẳng
AC
. Giả sử
' ;
M a b
, ta thấy trung điểm
4 6
;
2 2
a b
I
4 48
4 22
a b
a b
8
10
a
b
AC
:3 5 26 0
AC x y
.
A
là giao điểm của
AC
và phân giác
d
của góc
A
nên tọa độ
A
là nghiệm của hệ
3 5 26 0
4 14 0
x y
x y
:5 3 2 0
AB x y
.
Vậy phương trình các cạnh
AB
,
AC
của tam giác là
:5 3 2 0
AB x y
và
:3 5 26 0
AC x y
.
Ví dụ 2. [ĐHD11Chuẩn] Cho tam giác
ABC
có
4;1
B , trọng tâm
5 2 1
0 2 1
m
n
7
2
1
m
n
thuộc đường thẳng
d
và véc-tơ
'
BB
cùng phương với véc-tơ pháp tuyến
1; 1
n
của đường
thẳng
d
. Do đó
4 1
1 0
2 2
4 1
1 1
a b
a b
' 2; 5
B
.
Đường thẳng
AC
đi qua hai điểm
'
B
và
M
nên
2 5
:
7
1 5
2
2
x y
AC
4 13 0
1 0
x y
x y
4
3
x
y
4;3
A .
C
đối xứng với
A
. Ta có
6 3 18 0
F B F C
. Suy ra
B
,
C
nằm về hai phía
d
. Do đó tọa độ các điểm tìm
được thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3. Cho tam giác
ABC
với
2; 1
A
và hai phân giác trong của các góc
B
và
C
lần lượt
,
2
A
là các điểm thuộc đường thẳng
BC
.
1
;
A a b
đối xứng với
A
qua
1
d
khi và chỉ khi trung điểm
1
2 1
;
2 2
a a
I
của
1
AA
a b
a b
2 6
2 3
a b
a b
0
3
7
3
m n
m n
2
5
m
n
.
Ta thấy
B
là giao điểm của
BC
và
1
d
nên phương trình
AB
có dạng
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
: 4
1 0
3 2AB m x y n x y
.
AB
còn đi qua
:8 19 3
0
AB x y
.
Tương tự, phương trình
AC
có dạng
: 4 3
3 0
AC m x y n x y
với
m
,
n
thỏa mãn
3 0
m n
. Chọ
1
m
,
: 4 6 0
AC x y
.
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác
ABC
có
4; 1
A
và các đường phân giác các góc
B
,
C
lần lượt là
1
: 1 0
d x
,
2
: 1 0
d x y
. Tìm tọa độ các đỉnh
B
ABC
. Giả sử
: 0
d ax by c
là trung trực của
BC
. Khi đó, trung điểm
I
của đoạn thẳng
BC
thuộc
d
và
BC
cũng là một véc-tơ pháp tuyến của
d
, tức là
0
2 2
B C B C
B C B C
x x y y
a b c
x x y y
a b
0
B C
y y
.
Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
đó.
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác
ABC
có
2; 1
A
và các đường trung trực của các cạnh
AB
,
CA
lần
lượt là
1
:6 4 5 0
d x y
,
2
: 2 6 0
d x y
3 2 9
2 3 7
a b
a b
1
3
a
b
2 11
2 7
c d
c d
3
5
c
d
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15
Giải
Giả sử
;
C a b
. Ta có trung điểm của
BC
thuộc
d
và
BC
là một véc-tơ pháp tuyến của
d
, tức
là
1 1
2 7 0
2 2
1 1
1 2
a b
a b
3;7
C .
Ví dụ 3. Cho tam giác
ABC
có phương trình các cạnh
AB
,
AC
lần lượt là
4 3 1 0
x y
và
5 2 7 0
x y
. Biết thêm rằng đường trung trực của cạnh
BC
có phương trình
:5 6 0
d x y
, hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
:
1 4
x t
AB
y t
. Điểm
B
thuộc đường thẳng
AB
nên tọa độ có dạng
1 3 ;1 4
B t t
. Tương tự, tọa độ điểm
C
có dạng
1 2 ;1 5
C s s
. Ta có
trung điểm của
BC
11 15 4
0
t s
t s
1
1
t
s
1; 3
3; 4
B
và trung tuyến qua
C
lần lượt là
1
:2 5 13 0
d x y
,
2
: 1
d x
. Tìm tọa độ các đỉnh
B
,
C
của tam giác.
Giải
Đường thẳng
AC
vuông góc với đường cao
1
:2 5 13 0
d x y
nên
AC
nhận véc-tơ pháp
tuyến
C
là nghiệm của hệ
5 2 7 0
1
x y
x
1; 1
C
.
Điểm
B
thuộc đường cao
1
:2 5 13 0
d x y
nên có tọa độ dạng
2 13
;
1;3
B .
Vậy
1;3
B ,
1; 1
C
.
Ví dụ 2. [ĐHB08] Hãy xác định tọa độ đỉnh
C
của tam giác
ABC
biết rằng hình chiếu vuông
góc của
C
trên đường thằng
AB
là
1; 1
H
, đường phân giác trong của góc
A
, ta có trung điểm của
'
HH
thuộc phân giác trong góc
A
và véc-tơ
'
HH
là một véc-tơ pháp tuyến của phân giác trong góc
A
, tức là
1 1
2 0
2 2
1 1
1 1
a b
a b
' 3;1
H .
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
17
Cạnh
AC
đi qua
A
và vuông góc với đường cao qua
B
nên
:3 3 4 1 0
AC x y
:3 4 13 0
AC x y
.
Điểm
và nhận
AH
là véc-tơ pháp tuyến nên
: 6 1 8 1 0
CH x y
:3 4 7 0
CH x y
C
là giao điểm của
AC
và
CH
nên tọa độ
C
là nghiệm của hệ
3 4 13 0
3 4 7 0
AC
có phương trình
0
4
x y
. Tìm tọa độ các đỉnh
B
và
C
,
1; 3
E
nằm trên đường cao đi qua đỉnh
C
của tam giác đã cho.
Giải
Giả sử
d
là đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh
AB
và
AC
. Lấy
'
A
là điểm đối xứng với
d
và
'
AA
là một véc-tơ pháp tuyến của
d
,
do đó
6 6
4 0
2 2
6 6
1 1
a b
a b
BC
đi qua
'
A
và nhận
' 8; 8
AA
làm véc-tơ pháp tuyến nên
: 8 2 2 0
BC x y
: 4 0
BC x y
.
Điểm
B
thuộc đường thẳng
BC
4;
C b b
.
Vì
E
nằm trên đường cao đi qua đỉnh
C
nên hai véc-tơ
CE
và
AB
vuông góc với nhau, tức là
0
CE AB
Suy ra
0; 4
B
,
4;0
C hoặc
6;2
B ,
2; 6
C
.
Ví dụ 4. [ĐHD10Chuẩn] Cho tam giác
ABC
có đỉnh
3; 7
A
, trực tâm là
không đi qua
A
nên
7
m
). Các điểm
B
,
C
thuộc đường thẳng
BC
nên tọa độ có dạng
;
B b m
,
;
C c m
. Vì
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
nên
IB IC IA
, do đó
74
m .
Khi đó phương trình có các nghiệm là
2
1,2
2 74
x m
. Chú ý rằng
C
có hoành độ dương
nên
2
2 74 ;
B m m
và
2
2 74 ;
C m m
.
H
là trực tâm tam giác
ABC
nên hai véc-tơ
CH
3
7
m
m
.
Vì
7
m
nên
3
m
suy ra
2 65;3
C
.
Ví dụ 5. [ĐHA02] Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
B
là giao điểm của
BC
với
Ox
nên tọa độ
B
là
nghiệm của hệ
3 3 0
0
x y
y
1;0
B .
Điểm
C
thuộc đường thẳng
BC
;
0; 3 1
AC c
3 1
AC c
.
Tam giác
ABC
vuông tại
A
nên
2 2
2 1
BC AB AC c
.
Nếu ký hiệu
p
,
S
.
Từ giả thiết
2
r
, ta có
1
2
3 1
c
2 3 3
2 3 1
c
c
7 4 3 6 2 3
;
3 3
1 4 3 6 2 3
;
3 3
G
G
4; 1
C
, đường cao và trung tuyến
kẻ từ cùng một đỉnh có phương trình lần lượt là
1
:2 3 12 0
d x y
và
2
: 2 3 0
d x y
.
Đáp số: Giả sử
1 2
d d A
.
:9 11 5 0
AB x y
,
:3 2 10 0
BC x y
,
A
và
B
.
Đáp số:
1;4
A ,
5;0
B .
Bài 3. [ĐHD09] Cho tam giác
ABC
có
2;0
M là trung điểm cạnh
AB
. Đường trung tuyến
và đường cao đi qua
A
có phương trình lần lượt là
7 2 3 0
x y
và
6 4 0
AB
lần lượt tại các điểm
D
,
E
,
F
. Cho
3;1
D và đường
thẳng
EF
có phương trình
3 0
y
. Tìm tọa độ đỉnh
A
, biết
A
có tung độ dương.
Đáp số:
13
3;
3
A
Copyright: Tài liệu đại học ©