Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

(CÁC BÀI TOÁN ĐÃ THI ĐH TỪ 1997 ĐẾN 2008)
1)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = tanA.tanB.tanC.
Hd : (26.95-A01)
- Chứng minh ABC ta luôn có tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC
-Áp dụng Cosy P = tanA.tanB.tanC = tanA+tanB+tanC 3
-Tức là : P 3
P 2 27
P 3
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi tanA= tanB = tanC
Tức là MinP = 3

Đạt được khi ABC đều

+ cot + cot

2)Chứng minh trong tam giác ta luôn có : cot

+ tan + tan )

3( tan

(*)


+

)

xyz (x + y + z )
2

3 (xy + yz +zx)

2

2

x +y +z

xy + yz + zx (bđt đúng)

= cot

3)Các góc của tam giác thoả mãn điều kiện :

= cot

Hd : (27.97-A98) .Ta có :
cot . cot

=

cot . cot


+ cosC )2

(*)
sinA + sinB =

+ cosC

…..
+ sin2

=0

5)Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :
sin cos

cos

+ sin

cos

cos

+ sin

= sin

cos


tan

) + sin (cos

cos

=1

tan

=

tan

(*)

= 1 .Do đó , đpcm (*)
)=1

- sin sin

+

+tan

1 (hoàn toàn đúng)

6)Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :
tan


YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

Hd : (27.100-A01) .Ta có tan

+tan + tan

Suy ra đpcm tan

= tan

0985128747

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

=

Hay là :

+ tan

+ tan

tan

tan

+ tan

(Nhân chéo.)


a2n (đpcm)

8)Chứng minh rằng :

+ cos3 + cos3

Trong tam giác ta có : cos3
Hd : (28.106-A98) .(*)

4 cos3

- 3 cos

+ sin2

…

(bđt đúng) .Dấu bằng xẩy ra

…

+

9)Chứng minh rằng trong tam giác ta có :

+
+tan

tan


0

cos

.Và

sinA + sinB + sinC = 2cos

Tức là ta được đpcm : sinA + sinB + sinC
11)Chứng minh rằng trong tam giác ta có :

ABC Thì
sin

ABC đều

=2

tan tan

ABC không nhọn . Giả sử C là góc lớn nhất của

0

=2

+
+tan

(*)


TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

+

+

+

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

Hd : (29.111-D99)
-Ta có sinA + sinB = 2cos cos

suy ra :

2cos

cos



(*)

tan cot

Hd : (29.114-D2000) .Đẳng thức (*) có:

=…Tổng thành tích)… =

VT =

= tan

13)Chứng minh rằng trong tam giác ta có :
1/ ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b)

+

2/

+

= VP

0

12

Hd : (30.119-A98).1/Ta có : ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b)
ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)


sin(A+B) = 2cossAsinB

sin(A-B) = 0 , ABC cân tại đỉnh C

15)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn :
cot

cot

cot

-(

+

) = cotA + cotB + cotC

+

thì

ABC đều

Hd : (31.125-A99)
- Ta c/m được ABC bất kỳ ,có cot
- Lại c/m được cot

– cotA =



+

- Ta có : sinA + sinB = 2cos
-Do đó : :

+

cos

+

+

+

…..
)=0

(*)
2cos

2

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC

+

=

thì

ABC đều

Hd : (31.127-A01)

+

- Ta có :

+
+
- suy ra VT

+

+
=

VT

Dấu bằng xẩy ra khi ABC đều.

18)Hãy tính các góc tam giác nếu các góc của tam giác thoả mãn :
Cos2A +



cos

2/Xét hàm số f (x) = sinx +

tanx - x với 0

) do đó f (x)

cosB + 6sin

-2

= ….

Suy ra MaxP =

……

Đạt được khi :

biến trong khoảng (0;

cosB + 6sin

.Vậy MaxP =
x

,Dùng công cụ đạo hàm c/m hàm số đồng


sinB +

tanB - B

0

f (C) =

sinC +

tanC - C

0

Cộng ba bđt trên , được:

(tanA+tanB+tanC)

(sinA+sinB+sinC) +

2sinB

A+B+C =

2sinC

20)Tam giác ABC có các góc nhọn , chứng minh (sinA)
+ (sinB)
+ (sinC)
còn đúng không khi tam giác ABC là tam giác vuông? Tại sao ?


Hd : (32.131-A2000)
- Tam giác ABC tù hoặc vuông thì hiển nhiên bđt (*) đúng

( vì khi đó cosAcosBcosC

0

sin sin

)

s

- Tam giác ABC nhọn thì cosA,cosB,cosC đều dương .

(1-cosC) = sin2

Ta có cosAcosB =
- Nghĩa là : cosAcosB

sin2

.Tương tự

cosBcosC

sin2

và cosC cosA


….

.

ABC cân hoặc vuông tại đỉnh A.
23)Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c .và A’B’C’ có độ dài các cạnh là a2,b2,c2.
a/- Hãy xác định dạng của ABC
b/- So sánh góc bé nhất của ABC và góc bé nhất của A’B’C’
Hd : (36.138-A97)
-a/Vì a2,b2,c2 là độ dài ba cạnh của A’B’C’nên

(tính chất các cạnh tam giác) .

- Từ hệ điều kiện trên suy ra ABC có ba góc đều nhọn.Vì áp dụng định lý côsin cho ABC
a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 + c2 khi cosA 0 tức là khi góc A là góc nhọn.
Tương tự,ta có : B,C cũng là góc nhọn.Vậy ABC nhọn

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747


tanA,tanB,tanC dương,nghĩ đến bđt côsy.

9 tan2Atan2Btan2C

- Trong tam giác không vuông ta c/m được tanAtanBtanC = tanA+tanB+tanC
- Áp dụng Côsy có tanAtanBtanC = tanA+tanB+tanC 3
,mũ ba hai vế,
Làm gọn ta được : (tanAtanBtanC)2 27 Nhân hai vế bđt với (tanAtanBtanC)6 0 ,được
(tanAtanBtanC)8
27(tanAtanBtanC)6 Khai căn bậc 3 hai vế được :
(
)8 3tan2Atan2Btan2C .(Nhân 3 cả hai vế ,để vận dụng bđt Côsy cho ba số)
9 tan2Atan2Btan2C

tan8A + tan8B + tan8C .Như vậy ta có đpcm :

3

ABC là tam giác nhọn thì : tan8A + tan8B + tan8C

9 tan2Atan2Btan2C

25) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện :

Chứng minh ABC đều

Hd : (36.141-B99)
-Giả thiết (1)

= 2sin

+

26) a/Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kỳ , ta có :

+

6

b/Xác định dạng của ABC .Biết rằng : (1+cotA)(1+cotB) = 2.
Hd : (3.142-D2000)
-a/Nhân cả tử và mẫu thức mỗi hạng tử ở vế trái với 2cos

+

(*)

+
+ + + + +

+
+

6

, 2cos , 2cos

tương ứng ,được :
…..

+

27) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : sin(A+B)cos(A-B) = 2sinAsinB (*)
Chứng minh ABC Là tam giác vuông.

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

Hd : (36.144-D01)
-Ta có: sin(A+B)cos(A-B) = 2sinAsinB
(1 – sinC)cos(B-C) + cosC = 0
(cos

– sin

)

(cos

– sin

)

0985128747



+

+

+

=

+

Chứng minh ABC đều
Hd : (37.147-A2000)

+

-Theo côsy :

+

- Tương tự ,có:

chiều (1),(2),(3) ta được :

(2) và

+

=



sinB = 8R2

Như vậy với ABC bất kỳ ta có : c2sin2A + a2sin2C
=1

=

sin2B = 2b2
b2cot

b2cot

= VP

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

A = C Tức là ABC cân tại đỉnh B .

30) Tam giác ABC có các cạnh và cácgóc thoả mãn đều kiện : bc = R
. (*) Trong đó
a,b,c là độ dài ba cạnh và R là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh ABC đều
Hd : (39.156-A97) –Định lý sin trong tam giác .
(*)

2sinB

=0

ABC đều


)(1+ tan

+ tan

2

– tan

0985128747

+ tan

2

tan

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

)=0

tan

– tan

A=B

ABC cân tại đỉnh C

=


Ta có M +1 =

=

=

=

=

= 4 .Như vậy : M+1

4

M

…

Dấu bằng xẩy ra ,tức là M đạt giá trị lớn nhất khi :

3.

ABC đều

Như vậy MaxM = 3 đạt được khi ABC đều
34) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : 2cosAsinBsinC +

(sinA+cosB+cosC) =



=0

.

35) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện :
Hãy xác định hình dạng của tam giác đó.Chứng minh
Hd : (40.164-A2000)- Để ý : trong khoảng (0; ) Hàm số sin đồng biến và hàm số cosin nghịch biến
- Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế rồi cộng (-1) vào mỗi vế được :
B = C vì nếu B

=

(*)

C thì ở (*) không xẩy ra dấu bằng (dấu hai vế khác nhau)

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747

…

= …=

(2)

= . Do đó tanC =

- Từ (1) và (2) suy ra tan

=…=

đpcm.

37) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và các đường trung tuyến tương ứng :ma,mb,mc ..Chứng minh rằng

=

ABC đều nếu ta có :

=

Hd : (41.166-D01).

-

Dùng công thức trung tuyến: ma2 =
-Ta có : m2a – m2b = … =
- Nếu ma

mb ,thì từ giả thiết :


sin(A-C) = 0

A=C

-Giả thiêt :

+1

a=c

…

b = 2acossC

(3)
…

a=b

(4) .Từ (3) và (4)

ABC đều

39) Chứng minh ABC bất kỳ ,với a,b,c là độ dài các cạnh , p là nửa chu vi .Chứng minh rằng :
+
+
Hd : (45.174-B98)
-Chứng minh :
+
+

- Biến đổi (*)

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

9sinAsinBsinC = (sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA)(sinA+sinB+sinC)

-Áp dụng bđt Côsy : sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA 3
-Ta lại có : sinA + sinB + sinC 3
-Nhân hai bđt cùng chiều có các vế dương (2) và (3) được :
(sinA + sinB + sinC)(sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA) 9sinAsinBsinC
Từ (1) và (4) suy ra : sinA = sinB = sinC , ABC đều. Đây là đpcm

(1)
(2)
(3)
(4)

********************************************************************************
Trên đây là 40 bài toán Trong Tam giác-Đây là những bài đã thi Đại học từ 1997 đến 2008.Tôi đã
biên tập, ghi lại ngắn gọn Hướng dẫn giải.Mong sao giúp các em học sinh ôn tập tốt mảng kiến thức
này.Tất cả có 80 bài toán Trong tam giác đã thi từ 1997 đến 2008 tôi soạn thành hai phần :Phần I có
40 bài – Gửi lên Violet ngày 17 tháng 05/2009 .Đây là 40 bài phần II.Bạn đồng nghiệp nào cần 40
bài phần I thì xin mời vào trang cá nhân Trần Đức Ngọc để download .Xin mời các bạn ghé thăm.
(Địa chỉ

http://violet,vn/ducngoct/ )