Thấy có nhiều bài hay hay nên đưa lên tham khảo thui
CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHÉP TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI –RÚT GỌN BIỂU THỨC
A. Kiến thức cần nhớ.
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.

A
có nghĩa khi A ≥ 0
2. Các công thức biến đổi căn thức.
a.
2
A A=
b.
. ( 0; 0)AB A B A B
= ≥ ≥
c.
( 0; 0)
A A
A B
B
B
= ≥ >
d.
2
( 0)A B A B B
= ≥
e.
2
( 0; 0)A B A B A B
= ≥ ≥
m.
2
( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B
A B
A B
= ≥ ≥ ≠
−
±
m
B.Kĩ năng cần đạt:
Tìm căn bậc hai của một số hoặc biểu thức.
Tìm điều kiện của biến để biểu thức xác định.
Thực hiện các phép tính về căn bậc hai, các phép biến đổi đơn giản =>Rút gọn và
tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai.
Giải phương trình chứa căn bậc hai.
C.Các dạng bài tập cơ bản:
1.Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định:
2.Rút gọn biểu thức và một số dạng bài tập kèm theo.
*Các biểu thức chứa căn đơn giản trong sách bài tập để học sinh củng cố các công
thức.
Bài 1 Tính
a)
6058012552 +−−
b)
51
8
25

32
32
−
+
+
+
−
h)
210
)53(53
+
+−
i)
75
5
3
3
4
6272 +−
k)
19241225238 +−

l)
)25(32 +−
m)
5353 ++−
n)
+++ 52104
52104 +−
p)

 ÷
 ÷
 ÷
− +
 
 
với x>0 ,x
≠
1
a)Rút gọn A
b)Tính A với a =
(
)
( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15
+ − −
HD: a) A= 4a b) Xong
Bài 2: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +
− + + −
với x
≥
0 , x

x
x
Bài 3:
Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x
   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   
với x > 0 , x
≠
4.
a)Rút gọn A. b)So sánh A với
1
A

HD: a) A =
9
6
x

 ÷  ÷
−
+ − − +
   

a)Tìm x để biểu thức A xác định. b)Rút gọn A.
c)với giá trị nào của x thì A < 1. d)Tìm
x Z
∈
để
A Z∈
HD a) x
≥
0 , x
≠
9, x
≠
4 b)A=
3
2x −
c)Xong d)Xong
Bài 5: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
với x

17 5 3
2 5 17 17 17 17
) 5 . max max. V× 0 nªn max
3 3 3 3 3 3
3 min x=0
x
x
b A A
x x x x x x
x
d)Xét hiệu A – 2/3 rồi chứng minh hiệu đó không dương.
Các bài tập luyện:
Bài 6: Cho A =
( )
2
:
− +
 
−
−
+
 ÷
 ÷
−
− +
 
x y xy
x x y y
x y
y x

xy xy
b A
x xy y
y
y
x
Bài 7: Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 
− + + −
 
− + − +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
Với x > 0 , x
≠
1.
a) Rút gọn A. b)Tìm x để A = 6 HD:a) A =
( )
2 1x x
x

+ − +
 ÷  ÷
− + − +
   
với x > 0 , x
≠
1.
a)Rút gọn A b)Tính A với x =
6 2 5−
HD: A =
3
2 x
b)
Bài 10: Cho A=
2 1 1 4
: 1
1 1 1
+ +
   
− −
 ÷  ÷
− − + +
   
x x
x x x x x
với x
≥
0 , x
≠
1.

≥
0 , x
≠
1
a)Rút gọn A. b)Tìm x để
A Z∈
c)Tìm x để A đạt GTNN .
HD:a)A =
1
1
x
x
−
+
{ } { } { }
1 2 2 2
1
1 1 1 1
2
0 0 2 1 2 1 0 1 0
−
= = − ⇔ = ∈
+ + + +
−
⇔ = ≥ ⇔ < ≤ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇔ ∈
) . A nguyªn nguyªn nªn ®Æt:
; ; ;
x
b A n Z
x x x x

3a
−
+
b)
3
Thấy có nhiều bài hay hay nên đưa lên tham khảo thui
Bài 13: Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
   
+ − − −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− + −
   
với x
≥
0 , x
≠
1.
a)Rút gọn A b)Tính A với x =
6 2 5
−

Bài 15: Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x
   
− −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   
Với
1
0,
9
x x
≥ ≠
a)Rút gọn A. b)Tìm x để A =
6
5
c)Tìm x để A < 1. HD: a)A =
3 1
x x
x
+

b,c,d(Quá cơ bản)
Bài 17: Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −
+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 
với x
≥
0 , x
≠
1.
a)Rút gọn A. b)CMR nếu x
≥
0, x
≠
1 thì A > 0
HD:a) A =
2
1x x
+ +
Bài 18: Cho A =

x x
 
+ − − +
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
− −
− +
 
 
với x
≥
0 , x
≠
1.
a)Rút gọn A. b.)Tính A khi x= 0,36 c)Tìm
x Z
∈
để
A Z∈

Bài 6:Cho A =
1 3 2
1 1 1x x x x x
− +
+ + − +
với x
≥

0 , x
≠
9; x
≠
2
a. Rút gọn A. b)Tìm x sao cho A nguyên
HD:a)A =
5
3x +
b)
5 5 3 5
V× A nguyªn nªn ®Æt A = 0 0 1 4
3
3
−
= ∈ ⇔ = ≥ ⇔ < ≤ ⇔ = ⇒ =
+
n
n Z x n n x
n
x
Bài 21:Cho A =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
− + +
− −
− + − −
với a

 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − − − +
   
với x
≥
0 , x
≠
9 , x
≠
4.
a)Rút gọn A. b)Tìm x để
A Z∈
c)Tìm x để A < 0
HD:a) A =
2
1
x
x
−
+
b,c(Dạng cơ bản)
Bài 23 :Cho biểu thức:A =
12
221
−−
−−−
x
xx
( x

xx
x
xx
x
a) Rút gọn B b) CMR: 3B < 1 với điều kiện thích hợp của x
Bài 25: Cho biểu thức: C=






++
+
−






−
−
−
+
1
4
1:
1
1


−
+
−
−
+
+
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
( x
≥
0; x
≠
9)
a) Rút gọn D. b) Tìm x sao cho D<
3

393
( x
≥
0; x
≠
1)
a) Rút gọn E b) Tìm x
∈
Z sao cho E
∈
Z.
Bài 28: Cho biểu thức: F=








+
−






−+
+



−+
−−−
−−+
1
1
3
:1
131
155
2
x
x
xx
xx
( x > 1; x
≠
10)
a) Rút gọn F b) CMR: F < 3
Bài 30 : Cho biểu thức: H=








−

a) Rút gọn H. b) CMR H > 0 với điều kiện xác định của H.
Bài 31 : Cho biểu thức: K =
3
32
1
23
32
1115
+
+
−
−
−
+
−+
−
x
x
x
x
xx
x
( x
≥
0; x
≠
9)
a) Rút gọn K. b) Tìm x để K = 0,5
c) Tìm x để K nhận giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
5

1
11
2
xxx
x
xx
x

a) Rút gọn M. b) Tính giá trị của M khi x = 28-
36
c) CMR : M<
3
1
Bài 34 : Cho biểu thức: N =








+
−
+
−
+
+



324 −
c) Biết x+ y =4. Tìm giá trị nhỏ nhất của N.
*Bài 35: Cho biểu thức:
( ) ( )( )
yx
xy
xyx
y
yyx
x
P
−+
−
++
−
−+
=
111))1)((
a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2.
HD:
a). Điều kiện để P xác định là :;
0;1;0;0
≠+≠≥≥
yxyyx
(*).
( )
( ) ( ) ( )
(1 ) (1 )
1 1

=
+ −
( )
1
x y y y x
y
− + −
=
−
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
1
x y y y y
y
− + − −
=
−
.x xy y
= + −
b). P = 2
⇔
.yxyx
−+
= 2
( ) ( )
1 1 1
⇔ + − + =
x y y
( ) ( )




−=
=
⇔



−=−
=−
⇔=
8
12
102
102
10)(
x
x
x
x
xf
c)
)2)(2(
2
4
)(
2
+−
−

+
−
+
1
1
x
x x
+
+ +
-
1
1
x
x
+
−
a/. Rút gọn P. b/. Chứng minh: P <
1
3
với x
≥
0 và x
≠
1.
HD:a) Điều kiện: x
≥
0 và x
≠
1.
P =

1
x
x x
+
+ +
-
1
1x −
=
2 ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1)
x x x x x
x x x
+ + + − − + +
− + +
=
( 1)( 1)
x x
x x x
−
− + +
=
1
x
x x
+ +
b/. Với x
≥
0 và x
≠

≥
0 và x
≠
1)
*Bài 38 : Tính giá trị của biểu thức:
A =
53
1
+
+
75
1
+
+
97
1
+
+ +
9997
1
+
HD: A =
53
1
+
+
75
1
+
+

*Bài 39: Cho biểu thức D =






+
+
+
−
+
ab
ba
ab
ba
11
:






−
++
+
ab
abba
1


−
++
ab
abba
1
=
1
2
+
a
a
b)
( )
2
2 2 3
2
3 1 3 1
1
2 3
( )a a
−
= = = − ⇒ = −
+
. Vậy
2 3 2
4 3
D
−
=