Tài liệu hướng dẫn tự ôn thi

THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
THEO CHỦ ĐỀ
(tổng hợp lý thuyết, ví dụ minh họa, bài tập có đáp án)

Thành phố Hồ Chí Minh

1


Mục lục:
Khảo sát hàm số .................................................................................................8
Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng tích phân.....................................................47
Phương trình lượng giác....................................................................................61
Phương trình, bất phương trình mũ và logarit ..................................................77
Số phức .............................................................................................................93
Tổ hợp và xác suất ...........................................................................................100
Hình học không gian ........................................................................................122
Phương pháp tọa độ trong không gian .............................................................172
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ...............................................................199
Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình .............................................241
Bài toán tổng hợp về GTLN-GTNN .................................................................290

2


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN



 [ f(x) đồng biến trên K]



[ f '(x)  0 với mọi x  K ]

 [ f(x) nghịch biến trên K]

3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f (x) đồng biến trên K.
b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.
4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d
b) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d

 a  0  , ta có f '  x   3ax 2  2bx  c .
 a  0  đồng biến trên   f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x  
 a  0  nghịch biến trên   f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x  

NHẮC LẠI
Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax 2  bx  c ( a  0) ta có:
  0
 f ( x)  0 x    
a  0
  0
 f ( x)  0 x    
a  0

m  0
♥ Trường hợp 1: Xét m 2  m  0  
m  1
+ Với m  0 , ta có y '  3  0, x   , suy ra m  0 thỏa.
3
+ Với m  1 , ta có y '  4 x  3  0  x   , suy ra m  1 không thỏa.
4

m  0
♥ Trường hợp 2: Xét m 2  m  0  
, khi đó:
m  1
2
 3  m  0
  '  m  3m  0
♣ y '  0 x     2
 
 3  m  0
 m  m  0
m  0  m  1

♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3  m  0 .
Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  2m  3 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2  .
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  3x 2  6mx  3(m 2  1)
♣ Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 2   y '  0 x  1; 2 
9



 0;  

 y '  0 , x   0;  

(có dấu bằng)

 3 x 2  6 x  m  0 , x   0;  
 3 x 2  6 x  m , x   0;  

(*)

♣ Xét hàm số f ( x )  3 x 2  6 x , x   0;   , ta có:

f '( x)  6 x  6 ; f '( x)  0  x  1
Bảng biến thiên:

x

0


f '( x)
f ( x)



1
0



m 2  7m  8

 x  m

2

. Dấu của y ' là dấu của biểu thức m 2  7m  8 .

♣ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y '  0 , x  D

(không có dấu bằng)

 m 2  7m  8  0
 8  m  1
♦ Vậy giá trị m cần tìm là 8  m  1 .
Ví dụ 5. Cho hàm số y 

mx  7m  8
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 3; .
x m

Bài giải
♦ Tập xác định: D   \ m
♦ Đạo hàm: y ' 

m 2  7m  8

 x  m

2


mx  2
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
x  m 3
11


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Đáp số: m  1 hoặc m  2 .
Bài 5: Cho hàm số y 

mx  9
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
x m

 ;2

Đáp số: 2  m  3 .
Bài 6: Cho hàm số y 

mx  2
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;  
x  m 1

Đáp số: m  2 .

Nội dung 2: Cực trị của hàm số

B. Phương pháp giải toán
Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có 2 cực trị (có 3 cực trị).
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D  ?
B2. Tính y '  ?
B3. Lập luận:
Lưu ý:
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai điểm cực trị
 f '  x   3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị
 f '  x   4ax 3  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt.
2. CÁC VÍ DỤ

1
Ví dụ 1. Cho hàm số y  (m 2  1) x 3  (m  1) x 2  3 x  5 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.
3
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  (m 2  1) x 2  2(m  1) x  3

y '  0  ( m 2  1) x 2  2( m  1) x  3  0
♣ Hàm số có hai điểm cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt

m2 1  0
 

 '  (m  1)2  3(m 2 1)  0

m  1
 


(1)

♣ Hàm số có ba điểm cực trị  y '  0 có ba nghiệm phân biệt
 (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

m  0

2
 
 '  2 m(m  9)  0

m 2  9  0
m  0

  m  3
 m  3
 
 
 0  m  3
  0  m  3

m  3

 m  3
♦ Vậy giá trị m cần tìm là 
.
 0  m  3
Bài tập tương tự
Cho hàm số y  x 4  (m  1) x 2  2m  1 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  x 2  2  m 2  m  2  x  3m2  1
a) Điều kiện cần:
Hàm số đạt cực tiểu tại x  2  y '(2)  0
m  1
 m 2  4m  3  0  
 m  3
b) Điều kiện đủ:
♣ Với m  1 , ta có: y '  x 2  4 x  4 , y '  0  x  2
Bảng biến thiên

x



2


y'




0

y

Từ BBT ta suy ra m  1 không thỏa.
 x  14
♣ Với m  3 , ta có: y '  x 2 16 x  28 , y '  0  


Đáp số: m 

15
4

Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D  ?
B2. Tính y '  ?
B3. Lập luận

15


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  (2m  1) x 2  (2  m ) x  2 .
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  3x 2  2(2m  1) x  2  m

y '  0  3 x 2  2(2 m  1) x  2  m  0
♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương
 y '  0 có hai nghiệm dương phân biệt


1

m 
2

♦ Vậy giá trị m cần tìm là
Ví dụ 2. Cho hàm số y 

5
 m  2 .
4

2 3
2
x  mx 2  2(3m 2  1) x  .
3
3

Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1 x2  2( x1  x2 )  1 .
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  2 x 2  2mx  2(3m 2  1)

y '  0  2 x 2  2mx  2(3m 2  1)  0
♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2

(1)

 y '  0 có hai nghiệm phân biệt
  '  m2  4(3m 2 1)  0


2

(**)

2
♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m  .
3

1
1
Ví dụ 3. Cho hàm số y  mx 3  (m  1) x 2  3(m  2) x  . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2
3
3
sao cho x1  2 x2  1 .
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  mx 2  2( m  1) x  3(m  2)

y '  0  mx 2  2( m  1) x  3(m  2)  0

(1)

 y '  0 có hai nghiệm phân biệt

♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2

m  0
 
 '  2m 2  4m  1  0

 x1  3m  4
m
Từ (2) và (4) suy ra 
(5). Thay (5) và (3) ta được:


m  2
 x2 
m


2
 3m  4 
 2  m   3(m  2)  6m 2 16 m  8  0   m  3

 m 
 m 

m
 m  2
♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m 

(**)

2
và m  2 .
3
17




m ; 2 m 3  1

♦ Tam giác ABC cân tại A  AB  AC
 AB 2  AC 2



 
2

 2  m  2  2 m3

   2  m   2  2
2

2

m3

m  0

 4 m  8 m  0  
1
m 

2
3




HĐBM-TỔ TOÁN

♣ Với x  0  y  2m  m 4
♣ Với x   m  y  m4  m 2  2m
Tọa độ các điểm cực trị A, B, C là



 

A0; 2m  m4  ; B  m ; m4  m 2  2m ; C


Suy ra: AB   m ; m 2 ; AC 







m ; m 2

m ; m 4  m 2  2m






Bài 5: Cho hàm số y  mx 3  (m  2) x 2  (m  1) x  4 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao
cho

1
1
1
 2  16  2 2 .
2
x1 x2
x1 x2

Đáp số:
Bài 6: Cho hàm số y  2 x 3  3(m  1) x 2  6  m  2  x  1 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao
cho x1  x2  2 .
Đáp số: m  1 .
19


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Bài 7: Cho hàm số y   x 3  3x 2  3(m 2  1) x  3m 2  1 . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm
cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O .

1
Đáp số: m   .
2
Bài 8: Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  m 2  2 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của đồ
thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông .

xD



Số m được gọi là GTNN của hàm số y  f  x  trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn
i) f  x   m x  D
ii) x  D : f x  m
 0
0

Ký hiệu: m  min f  x 
xD




Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không nói "trên tập D" thì ta
hiểu đó là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH của nó.
Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự.

20


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
a) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức
(hay phương pháp dùng định nghĩa).

♥ Tập xác định: D  
♥ Ta có
2
 f  x   2x 2  8x  1  9  2  x  2   9, x  D
 Dấu “=” xảy ra khi x  2  D
♥ Vậy max f ( x )  9 .
x D

Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số f  x   2x 2  4x  12 .
Bài giải
♥ Tập xác định: D  
♥ Ta có
2

 f  x   2x 2  4x  12 = 2  x  1  10  10 ,x  D
 Dấu “=” xảy ra khi x  1  D

♥ Vậy min f ( x )  10 .
x D
Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số f  x   x 

2
với x  1;   .
x 1

Bài giải
♥ D  1; 
♥ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

21

(hay phương pháp miền giá trị).
Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng y  f  x 
Tìm GTNN của hàm số f (x)  x  3 



Tập xác định của hàm số được định nghĩa là :
D  { x   | f(x) có nghĩa}
 Tập giá trị của hàm số được định nghĩa là :
T = { y   | Phương trình f(x) = y có nghiệm x  D }
Do đó nếu ta tìm được tập giá trị T của hàm số thì ta có thể tìm đựơc GTLN và GTNN của
hàm số đó.
Một số kiến thức thường dùng:
a) Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có nghiệm    0
b) Phương trình a cos x  b sin x  c  a, b  0  có nghiệm  a 2  b 2  c 2
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 

x2  x  2
.
x2  x  2

Bài giải
♥ Tập xác định: D  
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:
x2  x  2
y 2
 yx 2  yx  2y  x 2  x  2
x x2
  y 1 x 2   y  1 x  2 y  2  0

.
2  cos x

94 2
94 2
y
7
7

(1)

Bài giải
♥ Tập xác định: D  
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:
22


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

1  2y  y cos x  1  sin x  y cos x  sin x  1 2 y

(2)

(dạng a cos x  b sin x  c )

(2) có nghiệm  a2  b2  c 2  y 2  1  1 2 y   3y 2  4 y  0  0  y 
2


 a; b  thì ta có quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm

f trên đoạn  a; b  như sau:

Quy tắc
1) Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xm thuộc  a; b  mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có
đạo hàm.
2) Tính f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xm ), f (a), f (b) .
3) So sánh các giá trị tìm được.
 Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn  a; b  .


Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn  a; b  .

CÁC VÍ DỤ
i. XÉT HÀM TRỰC TIẾP
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x 3  3x 2 12 x  2 trên đoạn 1; 2 .
Bài giải
♥ D  1;2
♥ Ta có: y '  6 x 2  6 x 12
 x  2  D
y' 0  
x 1 D

Do y 1  15; y 2  6; y 1  5  min y  5; max y  15
x D
xD

♥ Vậy min y  5; max y  15 .
x D

♥ Ta có: y ' 

4  x2  x
4  x2

y' 0  x  2  D





Do y 2  2; y 2  2; y  2  2 2  min y  2 2; max y  2
x D
xD

♥ Vậy min y  2 2; max y  2 .
x D
xD

ii. ĐỔI BIẾN (ĐẶT ẨN PHỤ)
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 sin 2 x  cos x  1 .
Bài giải
♥ Tập xác định: D  
♥ Đặt t  cos x với t  1;1 , hàm số trở thành: y  2t 2  t  3

1
; y '  0  t    1;1
4
 1  25
25

x 1
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
  
1) y  sin2x  x trên đoạn   ; 
 2 2

5) y 

3) y  x  e2 x trên đoạn  1; 0

2) y  x 2 

9
x trên đoạn
4

 4
1; 3 

x3
 2 x 2  3 x  4 trên đoạn  4, 0 
3
x3
6) y 
trên đoạn  1; 2 
x2
2 x2  5x  4
8) y 
trên đoạn  1;1
x2

4) y  x 2  ln(1  2x) trên đoạn  2;0 

1) y  4 x  x 2

2) y   x 2  2 x  8

3) y  2  x  4  x

4) y  x  4  x 2

5) y   x  1 1  x 2

6) y  1  x 2  1  x 2

7) y  x  4  x 2

8) y 

1 2
x  x  4x  x2
4

9) y   x 2  4 x  21   x 2  3x  10 (Khối D-2010)
Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
4
1) y  2sin x  sin 3 x trên đoạn  0; 
3
3

3) y  x 6  4 1  x 2  trên đoạn  1;1

(C 2 )

(C 2 )

(C1) và (C2) không có điểm chung

(C1 )

(C1) và (C2) cắt nhau

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f(x) = g(x)
(1)
* Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung
của hai đồ thị (C1) và (C2) .
Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2).
Ghi nhớ:
Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2).
25


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Chú ý 1 :

và đường thẳng y  x  2 .
2x  1

Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
Điều kiện: x 

2x 1
 x2
2 x 1

(1)

1
2

♦ Khi đó: (1)  2 x 1  (2 x 1)( x  2)

 2 x2  x  3  0
x 1

 
3
x  

2
3
1
♣ Với x    y 
2

hai điểm phân biệt.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:

2 x 1
 x  m
x 1

(1)

Điều kiện: x  1
♦ Khi đó: (1)  2 x 1  (x  m)( x 1)
 x 2  ( m 1) x  m 1  0

(2)

♦ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt
 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1





   m  1  4 m 1  0
1  m  1.1  m 1  0

2

 m 2  6m  5  0
 m  1 m  5


12 m  2  0



m  0
m  0
 1
1

   m 
  1
  m  1
 6
2

 6
2
m   1

6

m  0
♦ Vậy giá trị m cần tìm là  1
.
  m  1
 6
2
Ví dụ 3. Cho hàm số y  x 4  (3m  4) x 2  m 2 có đồ thị là Cm  . Tìm m đồ thị Cm  cắt trục hoành tại bốn
điểm phân biệt.

5


4

m  0
m  
3


28


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN


4
m  
♦ Vậy giá trị m cần tìm là 
5 .

m  0
(C ) : y  f ( x)
Dạng 3: Tìm tham số để hai đồ thị  1
cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt thỏa điều kiện
(C2 ) : y  g ( x)
cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP

 (2) có hai nghiệm phân biệt khác  2



 
  m  3  8  0
2

8  2m  6 1  0

 m 

1
2

(*)

Đặt A  x1; 2 x1 1; B  x2 ; 2 x2 1 với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (2).

Theo định lý Viet ta có:

m3

 x1  x2  2


1
 x1 x2  
2


(1)

 x  x 2  3x  m  2  0
x  0
  2
 x  3x  m  2  0


(2)

♦ Cm  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  (1) có ba nghiệm phân biệt
 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0


m  17
  9  4( m  2)  0
 
 
4
m  2  0

m  2

(*)

Đặt B  x1; x1  1;C  x2 ; x2  1 với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (2).
Theo định lý Viet ta có:
Khi đó:

 x1  x2  3