Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết
CHUYÊN ĐỀ
NGUYÊN LÝ ĐIRICLÊ VÀ BÀI TOÁN CHIA HẾT.
A. Đặt vấn đề:
Sau khi học xong kiến thức về phép chia, phép chia hết và phép chia có dư. Các
học sinh sẽ được học chuyên đề về phép chia hết, chứng minh biểu thức chia hết cho 1 số
hay chuyên đề áp dụng tính chia hết để giải phương trình nghiệm nguyên.
Sau khi học về Nguyên lý Dirichle, học sinh sẽ được học nâng cao thông qua
chuyên đề về áp dụng nguyên lý Dirichle vào các bài toán chia hết.
Mục đích của chuyên đề: Giúp học sinh đào sâu hơn, nắm chắc nguyên lý
Dirichle và cách vận dụng cũng như củng cố kiến thức về tính chia hết.

B. Kiến thức cơ bản.
Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = b.q + r (0< r
ChuTieuThichHocToan
ToanCap2.com

2


Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết

Bài 3: Cho dãy số : 10 ; 102 ; 103 ; ... ;1020.
Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 dư 1.
Hướng dẫn:
Dãy số có 20 số, xét trong phép chia cho 19 ⇒ có ít nhất hai số có cùng số dư
⇒ hiệu hai số chia hết cho 19. Mà hiệu hai số có dạng:
10m -10n = 10n ( 10m-n -1 ).
⇒ 10n (10m-n -1 )19 mà (10n, 19 ) =1.
⇒ 10m-n -1 19.
Hay 10k chia 19 dư 1( 0 < k < 20 ).

Bài 4: cho 3 số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8.
Hướng dẫn:
Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong 4 số 1 ; 3 ; 5 ; 7. Ta chia 4 số
dư này làm 2 nhóm ( hai lồng ).
Nhóm 1 dư 1 hoặc dư 7.
Nhóm 2 dư 3 hoặc dư 5.
Có ba số lẻ ( ba "thỏ" ) mà chỉ có hai nhóm số dư ( hai "lồng" ) nên tồn tại hai số cùng
thuộc một nhóm ⇒ đpcm.

Bài 5: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu
chia hết cho 12.
Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn hơ 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là một trong 4


Hướng dẫn: Bất kỳ số tự nhiên nào cũng chỉ có một trong ba dạng 3k, 3k+1, 3k+2
( k∈N)
Trường hợp 1: Có ít nhất 3 số cùng một dạng ⇒ Tổng của 3 số này chia hết cho
3.
ChuTieuThichHocToan
ToanCap2.com

4


Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết
Trường hợp 2: Có 2 số thuộc một dạng nào đó suy ra mỗi dạng có ít nhất là một
số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng có ít nhất là một số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng chia hết cho 3.

Bài 9: Cho năm số tự nhiên lẻ bất kỳ. Chứng minh rằng luôn chọn được 4 số có tổng chia
hết cho 4.

Hướng dẫn: Một số lẻ chia hết cho 4 thì số dư chỉ là 1 hoặc 3. Tức là số lẻ chỉ có một
trong 2 dạng 4k+1 hoặc 4k+3.
Nếu có ít nhất bốn số thuộc cùng 1 dạng tổng của 4 số đó chia hết cho 4.
Nếu không như vậy thì mỗi dạng có ít nhất 2 số, ta chọn 2 số ở dạng này và 2 số
ở dạng kia thì tổng của 4 số này chia hết cho 4.

Bài 10: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của 1 con súc sắc. Chứng minh rằng khi ta gieo súc
sắc xuống bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được 1 hay nhiều mặt để
tổng các số trên đó chia hết cho 5.

Hướng dẫn: Gọi các số trên 5 mặt là a1, a2, a3, a4, a5.
Xét 5 tổng:

25x -1  17

Hướng dẫn : Xét dãy số gồm 17 số hạng sau :
25 ; 252 ; 253 ;........; 2517
Chia số hạng của dãy (1) cho 17
Vì (25,17) =1 nên (25n ,1) = 1 ∀ n ∈ N và n ≥ 1 .
Xét trong phép chia cho 17 ....dãy số trên có ít nhất hai số chia cho 17 có
cùng số dư .
Gọi 2 số đó là 25m và 25n với m , n ∈ N và 1 ≤ m