Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học

2011
-

2012G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n


Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

S
SS
Số
ốố
ố

h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc ôn tập và hệ thống hóa một số phơng pháp cơ bản để
giải bài toán chia hết
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài toán chia hết
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, đúng đắn
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: -

HS:C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức-

-

sĩ số
sĩ sốsĩ số


Lí thuyết chung
Lí thuyết chungLí thuyết chung
Lí thuyết chung 1. Định nghĩa:
Trong tập N:
a) Phép chia hết: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b 0. Nếu có số tự
nhiên k sao cho a = b.k thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết
a : b = k.
b) Phép chia có d: Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b 0, ta luôn tìm
đợc hai số tự nhiên q và r duy nhất sao cho:
a b.q r
= +
trong đó
0 r b
< <

Trong tập Z:
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm đợc hai số nguyên q và r
duy nhất sao cho: a = bq + r Với 0 r | b|
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thơng, r là số d.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra | b| số d: r {0; 1; 2; ; | b|}
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu



và nếu a không chia hết cho
b đợc kí hiệu là
a b


3. Các dấu hiệu chia hết:
a) Dấu hiệu chia hết cho 2:
Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ
những số đó mới chia hết cho 2
Chú ý: Nếu a chẵn thì a = 2k ; còn a lẻ thì a = 2k + 1 (k
)Z


b) Dấu hiệu chia hết cho 5
Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số
đó mới chia hết cho 5
c) Dấu hiệu chia hết cho 9
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những
số đó mới chia hết cho 9
d) Dấu hiệu chia hết cho 3
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những
số đó mới chia hết cho 3
Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó
chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại.
e) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25):
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số
đó hợp thành số chia hết cho 4 (hoặc 25).
f) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125):
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số

Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn

họ
ọọ
ọc
cc
c , .
a m b m a b m



+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
. ( )a m k a m k N

+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a

b) chia hết cho m.
, ; ( )
a m b m a b m a b m a b
+

với n là số tự nhiên.
( )n n
a b a b n N

+ Nếu a chẵn thì a = 2k ; còn a lẻ thì a = 2k + 1 (k
)Z


*) Nõng cao:
1 2
, . .
a m b m k a k b m
+


, , + +

a m b m a b c m c m

, , + +

a m b m a b c m c m

(
)
a m,a n,a p và m,n,p 1 a (mnp )
=

- Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
- Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
- Tổng của k số nguyên liên tiếp chia hết cho k khi và chỉ khi k lẻ
- Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
- Tích của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n !.
6. Đồng d thức
a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dơng. Nếu hai số nguyên a và b có
cùng số d khi chia cho m thì ta nói a đồng d với b theo modun m.
Ký hiệu: a

b (modun m)
Vậy: a

b (modun m)

a - b

m
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

b. C
á
c t
í
nh ch
ấ


a+c

b+d (modun m)
5. Nếu a

b (modun m) và c

d (modun m)

ac

bd (modun m)
6. Nếu a

b (modun m), d

ƯC (a, b) và (d, m) = 1



d
b
d
a

(modun m)
7. Nếu a

b (modun m), d > 0 và d

1000
chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n.
Giải: Ta có (3n)
1000
= 3
1000
. n
1000
= 3
4
.3
996
.n
1000
= 81.3
996
.n
1000
.
Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3
996
.n
1000
chia hết cho 81.

(3n)
1000
chia hết cho 81.
Vớ d 2: Chng minh rng : 16
5

+ 2
15
chia ht cho 33.
Phơng pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết
1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu:
Để chứng minh a chia hết cho b (b

0) ta biểu diễn số a dới dạng
một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều
chia hết cho b.
Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng
của các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn
tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b.
Các cách trên còn đúng với một hiệu
Ví dụ 1: Khi chia một số cho 255 ta đợc số d là 170. Hỏi số đó có chia hết
cho 85 không? Vì sao ?
Giải: Gọi số đó là a (a là số tự nhiên).
Vì a chia cho 255 có số d là 170 nên a = 255.k + 170 (k là số tự nhiên).

Ta có: 255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85.
170 chia hết cho 85.


(255.k + 170) chia hết cho 85 (tính chất chia hết của một tổng).
Do vậy a chia hết cho 85.
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng

ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ


2
: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ổ
ng c
ủ
a ba s
ố

t
ự

nhi
ê
n li
ê
n ti
ế
p lu
ô
n chia h
ế
t cho 3.

Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2.
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2)

a
2
chia hết cho b
2
.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải:
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2.
Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).
Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho 2.
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2)

4n.(n + 1) chia hết cho 8.

2n.(2n + 2) chia hết cho 8.
Phơng pháp 3: Dùng định lí về phép chia có d
Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng:
a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
b) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.
Giải:
a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2.
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2).
Một số tự nhiên n khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số d 0; 1; 2.
- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3

n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.
- Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên).



IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà

- Xem lại các phơng pháp và các bài tập đã chữa
- Giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1: Tìm tất cả các số x, y để có số
yx534
chia hết cho 36.
Giải: Vì (4, 9) = 1 nên
yx534
chia hết cho 36

yx534
chia hết cho 9 và
yx534
chia
hết cho 4.
Ta có:
yx534
chia hết cho 4

5y chia hết cho 4

y
{
}
6;2
. *******************************
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học

2011
-

2012G
GG
Gi
ii

g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

S
SS
Số
ốố
ố

h
hh
họ
ọọ

11

một số dạng toán về số học

Buổi 2
bài toán chia hết


ớc và bội A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc ôn tập và hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về ớc và
bội của một số tự nhiên.
- Học sinh hiểu và giải đợc các bài toán tìm hai số nguyên dơng khi
biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN, BCNN
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài toán chia hết
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập


- HS1:

Giải bài tập 1 đã cho ở buổi học trớc
-

HS2:

Giả
i bài tập 2 đã cho ở buổi học trớc

III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới

A - ớc và bội
I
I I
I
Lí thuyết
Lí thuyết Lí thuyết
Lí thuyết


+ Tp hp cỏc bi ca b l: B(b)=
{
}
|

x N x b

Ho
c B(b) =
{
}
.
b n n N
hoc B (b)=
{
}
0; ;2 ;3 ;
b b b

4) Nõng cao:
Xỏc nh s lng cỏc c ca mt s m ( m > 1) ta phõn tớch s m ra tha s
nguyờn t
Nu m =
. .
x y z
a b c
thớ m cú ( x+1).(y+1).(z+1) c
I
II
II

n
{
}
2;0
.
Vậy với n {0; 2} thì (5n + 14) chia hết cho (n + 2).
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để
3
15
+
+
n
n
là số tự nhiên .
Giải: Để
3
15
+
+
n
n
là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3).


[(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3).


12 chia hết cho (n + 3) .



= 579000 +
abc
= (315.1838 + 30 +
abc
) chia hết cho 315.
Mà 315.1838 chia hết cho 315

(30 +
abc
) chia hết cho 315 30 +
abc
B(315).
Do 100
abc
999 130 30 +
abc
1029
30 +
abc
{315; 630; 945}.


{
}
915;600;285abc
.
Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915.
Bi 4:Tỡm s t nhiờn n, : a) n + 4

n + 1 ; b) n

o

¸
¸¸
¸n
nn
n

B
BB
Bå
åå
åi
ii
i

d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g

H
HH


a) n + 4

n + 1
⇒
( n + 1) + 3

(n + 1)
⇒
3

(n + 1)
Vì n
∈
N , nên n + 1
≥
1,do đó:
+ Nếu n + 1 = 1 thì n = 0
+ Nếu n + 1 = 3 thì n = 2
Vậy
{
}
n 0;2
∈

2
- 1

n
2
+ 1
⇒
n
2
+ 1 - 2

n
2
+ 1
⇒
2

n
2
+1
Vì n
2
+ 1
≥
1, do đó:
+ Nếu n
2
+ 1 = 1 thì n
2
= 0

2
+ 5
3
+ 5
4
+ … + 5
8
)

30
c) ( 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
403
+ 5
404
)

31
d) (a + a
2
+ a
3
+ a
4
+ … + a
29
+ a

= (5 + 5
2
) + (5
3
+ 5
4
) + … + (5
29
+ 5
30
) = [5(1+5)+5
3
(1+5)+…+5
29
(1+5)]

6
b) 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ … + 5
8

= (5 + 5
2
)+5
2

+ + 5
403
+ 5
404

= (1+5+5
2
)+(5
3
+5
4
+5
5
) +… + (5
402
+ 5
403
+ 5
404
)
= 31 + 5
3
(1+5+5
2
) + …+ 5
402
(1 + 5 + 5
2
)
= 31 + 5

3
+ 3
4
+ … + 3
2n-1
+ 3
2n
= 3(1+3) + 3
3
(1+3) + … + 3
2n-1
(1 + 3)

4
Bài 6: Chứng minh rằng nếu số
abcd
99

thì
99
ab cd+

và ngược lại
Hướng dẫn:
100 99 99 ( )
abcd ab cd ab ab cd ab ab cd
= + = + + = + +

Suy ra: + Nếu
abcd

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Khụng thc hin phộp tớnh, hóy gii thớch vỡ sao ?
a) A

180 ; b) A

495
Hng dn:
a) Cú 1494

9 ;1495

5 ; 1496

4 => A

9.5.4 hay A

180
b) Cú 1494

9 ;1495

5 ; 1496

11 => A

9.5.11 hay A


Lí thuyết Lí thuyết
Lí thuyết Trong chng trỡnh s hc lp 6, sau khi hc cỏc khỏi nim c chung
ln nht (CLN) v bi chung nh nht (BCNN), chúng ta s gp dng toỏn
tỡm hai s nguyờn dng khi bit mt s yu t trong ú cú cỏc d kin v
CLN v BCNN.
Phng phỏp chung gii :
1/ Da vo nh ngha CLN biu din hai s phi tỡm, liờn h vi cỏc yu
t ó cho tỡm hai s.
2/ Trong mt s trng hp, cú th s dng mi quan h c bit gia
CLN, BCNN v tớch ca hai s nguyờn dng a, b. ú l :
ab = (a, b).[a, b]
Trong ú (a, b) l CLN v [a, b] l BCNN ca a v b.
*) Chng minh: Theo nh ngha CLN, gi d = (a, b)
=> a = md ; b = nd vi m, n

Z
+
; (m, n) = 1 (*)
T (*) => ab = mnd
2
; [a, b] = mnd
Vy (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd
2

= ab => ab = (a, b).[a, b] (**)
(pcm)
I


Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng

N¨m häc

2011
-

2012G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o

¸
¸¸
¸n
nn
n

B

hh
hÇ
ÇÇ
Çn
nn
n

S
SS
Sè
èè
è

h
hh
hä
ää
äc
cc
c t
ổ

Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1.
Vì vậy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5  m = 13 và n = 5
hay a = 65 và b = 25.
Chú ý : Phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản do (m, n) = 1.

Bài toán 5 : Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140.
Lời giải : Đặt (a, b) = d. Vì a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d.
Ta có [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35.
Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16.
Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b.
Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
Vì vậy : a + b = 128 16(m + n) = 128  m + n = 8
 m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80
Bài toán 7 : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.
Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1.
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n.
Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)
=> d là ước chung của 42 và 72 => d
∈
{1 ; 2 ; 3 ; 6}.
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có
trường hợp d = 6 => m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 . (thỏa
mãn các điều kiện của m, n). Vậy d = 6 => a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24

(6n 6,6n 7) (6n 6,1) 1
+ + = + + = + +
= + + = + =

Vậy phân số đã cho tối giản
Cách 2: Gọi d = ƯCLN (12n + 13 ; 30n + 32) với
d N, d 1=> 12n + 13
d

và 30n + 32
d

hay 5(12n +13)
d

và 2(30n + 32)
d


Hay 60n + 65
d

và 60n + 64
d

. Do đó (60n + 65) - (60n + 64)
d

cú tt c 40 c, hi a
2
cú
bao nhiờu c ?
Hng dn: a =
3 3 3
1 2 1 2
. .
m n m n
p p a p p
=

S c ca a l: (3m + 1) (3n + 1) = 40
=> m =1 ; n = 3 (hoc m = 3 ; n = 1)
S
2 2 2
1 2
.
m n
a p p
=
cú s c l (2m + 1) (2n + 1) = 3.7 = 21 (c)
Bi 3: Mt trng cú 1015 hc sinh, cn phi xp vo mi hng bao nhiờu hc
sinh s hc sinh mi hng l nh nhau v khụng quỏ 40 hng nhng cng
khụng ớt hn 10 hng
Hng dn:
Gi x l s hng xp c.Theo bi 1025

x v 10
40

Ta cú 36x

45 => 4x

5 => x
5

vỡ (4,5) = 1
45x

36 => 5x

4 => => x
4

vỡ (4,5) = 1
Do ú x

20. t x = 20 a (a = 1;2;3;.)
Ta cú 36.45

x hay 36.45

(20a)
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng

ii
i

d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hÇ
ÇÇ
Çn

Vậy a
{
}
1;3;9;27;81
∈
=> x
{
}
20;60;180;540;1620
∈

Bài 5: Cho a và b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau :
a = 4n + 3; b = 5n + 1 (n
∈
N). Tìm (a , b) = ? (ước chung lớn nhất của a và b)
Hướng dẫn :
Theo bài, ta có (4n+3, 5n+1) = d với d
≠
1
Suy ra (4n+3)

d =>5(4n+3)

d
(5n+1)

d =>4(5n+1)

d
Vậy

12

27

324

3 4 81 108
Bài 7: Tìm số tự nhiên a, biết a chia cho 12; 18; 21 đều dư 5 và a xấp xỉ 1000
Hướng dẫn:
a - 5
∈
BC(12,18,21)
BCNN(12,18,21) = 252.Vậy a – 5 = 252.k (k
∈
N
*
) => a = 252k + 5
Với k = 4 thì a =1023 thỏa mãn đề bài
Bài 8:Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a, sao cho khi chia số đó cho 2;3;4; 5;7đều dư 1
Hướng dẫn:
a -1 là BCNN(2;3;4;5;7) = 420 => a = 421
Bài 9: Biết ƯCLN của hai số là 45. Số lớn là 270. Tìm số nhỏ ?
Hướng dẫn:
Gọi số lớn là a, số nhỏ là b
Vì (a, b) = 45 => a = 45m ;b = 45n, với (m, n) = 1 và m > n
Ta có 45m = 270 => m = 6
Vậy n
{
}
1;5

x và (40n+35)

x
=> [(40 n+48) -(40 n+35) ]

x
=> 13

x => x
∈
Ư( 13 ) => x =1 hoặc x = 13
Bài 11: Cho biết a + 4b là bội của 13 (a, b
N
∈
).
Chứng minh rằng:10a + b là bội của 13
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu

Hướng dẫn:
Đặt a + 4b = x ; 10a + b = y
Xét 4y – x = 4(10a+b) - (a+4b) = 40a + 4b – a - 4b = 39a => 4y - x là bội của
13. Do x là bội của 13 và (4;13) = 1 => y là bội của 13
Bài 12:
Cho C = 1 + 3 + 3
2
+ 3

2
)+…+3
9
(1+3+3
2
)=13.(1+3
3
+…+3
9
)

13
b) C = (1+3+3
2
+3
3
)+( 3
4
+3
5
+3
6
+3
7
)+(3
8
+3
9
+3
10

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học

2011
-

2012G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

S
SS
Số
ốố
ố

h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c

A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Giỳp hc sinh ụn tp li nhng kin thc v ly tha vi s m t nhiờn.
Nõng cao cỏc tớnh cht ca ly tha. Qua ú bit cỏch tỡm ra c ch s tn
cựng ca mt ly tha vi nhng s t nhiờn cú ch s tn cựng t 0 n 9; tỡm
hai ch s tn cựng; tỡm ba ch s tn cựng tr lờn

Kĩ năng
-
Rốn k nng ỏp dng cỏc tớnh cht ca ly tha tỡm ch s tn cựng
Thái độ
- Giỳp hc sinh rốn luyn t duy, thao tỏc chớnh xỏc, tớnh cn thn trong
lm toỏn v lu tha.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
-

GV: -

HS:C/Tiến trình bài dạy

a a.a a
( n

N*)
Quy c : a
o
= 1 (a

0) ; a
1
= a
Nhõn hai ly tha cựng c s:
+
=
m n m n
a .a a

Chia hai ly tha cựng c s:
m n m n
a : a a (a 0;m n)

=

Ly tha mt tớch : (a.b)
n
= a
n
. b
n


2 2 3
2 2 4
2 3 4
10 0;10 0;10 0;
11 1;11 1;11 1;
15 5;15 5;15 5;
16 6;16 6;16 6;

= = =

= = =


= = =


= = =


- Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận
cùng vẫn không thay đổi.
- Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn thì chữ số tận
cùng là 1 hoặc 6
- Các số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n
∈
N
*
) thì
chữ số tận cùng là 1. (Cho học sinh tính để kiểm nghiệm)
3

8
= …6 ; 2
12
= …6
4
4
=…6 ; 4
8
= …6 ; 4
12
= …6
8
4
= …6; 8
8
= …6; 8
12
= …6
- Một số chính phương thì không có chữ số tận cùng là 2; 3; 7; 8
=> Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a
m
, trước hết ta xác định chữ
số tận cùng của a.
+) Nếu chữ số tận cùng của a là 0; 1; 5; 6 thì x = a
m
cũng có chữ số tận cùng
là 0; 1; 5; 6.
+) Nếu chữ số tận cùng của a là 3; 7; 9 vì a
m
= a

Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng

N¨m häc

2011
-

2012G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o

¸
¸¸
¸n
nn
n

PP
Ph
hh
hÇ
ÇÇ
Çn
nn
n

S
SS
Sè
èè
è

h
hh
hä
ää
äc
cc
c
c) 87
32
d) 87
32
+ 789
41
Hướng dẫn:
a) Số 345 có tận cùng là 5, nâng lên lũy thừa bất kì( khác 0) có chữ số tận cùng
là 5.
b) Có: 789
41
= 789
4.10
.789 = (…1).789 = …9
c) Có: 87
32
= 87
4.8
=…1
d) Từ kết quả câu b) và c) có chữ số tận cùng của tổng
87
32
+ 789
41
= (…1) +(…9) = …0
*) Bài 3: Chứng tỏ rằng tổng sau không chia hết cho 10
A = 405
n
+ 2
405

… 5
14
có bao nhiêu chữ số 0 ?
2.2
2
.2
3
…2
10
= 2
1 + 2 + 3 + … + 10
= 2
55

5
2
.5
4
.5
6
…5
14
= 5
2 + 4 + 6+ … + 14
= 5
56

A = 2
55
.5

9
= (9 - 1)(9
8
+ 9
7
+ … + 9 + 1) chia hết cho 4

=> 9
9
= 4k + 1 (k thuộc N) =>
9
9
7
= 7
4k + 1
= 7
4k
.7
Do 7
4k
có chữ số tận cùng là 1
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu

=>
9
9

.4
4
4k
có chữ số tận cùng là 6 nên
67
5
4
có chữ số tận cùng là 4.
b) Tính chất 2:
- Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số
tận cùng vẫn không thay đổi.
- Chú ý: Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách
tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.
*) Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ … + 2004
8009
.
Lời giải :
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy
thừa đều có dạng n
4(n - 2) + 1
, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận
cùng giống nhau. Như vậy, tổng S có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của
tổng : (2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4

có chữ số tận cùng là 7 ; 4
11

có chữ số tận cùng là 4 ; …
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng :
(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8
+ 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019.
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng

N¨m häc

2011
-

2012G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o

HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hÇ
ÇÇ
Çn
nn
n

S
SS
Sè
èè
è

h
hh
hä
ää
äc
cc
c

(
)
( ) ( )
497
497
1991 1988 3 4
7 7 .7 7 .343 01 .343 01 .343 43
= = = = =

Vậy hai chữ số tận cùng của
1991
7
là 43
4. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
- Để tìm ba chữ số tận cùng ta cũng cần chú ý đến những số đặc biệt
+) Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 khi nâng lên lũy thừa nào (khác 0)
cũng có tận cùng bằng 001; 376; 625
+) Các số có tận cùng bằng 0625 khi nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có
tận cùng bằng 0625
*) Bài 9: Tìm bốn chữ số tận cùng của
1992
5

Hướng dẫn:
(
)
( )
498
498
1992 4

7
6
5
e)2 31
; f)
5
7
6
4 25

g) 71
30
+ 26
35
; h ) 86
33
.71
30
; i)
7
6
5
23 1
+
5
7
6
425

*) Bài 2:
;87
31
; 58
33 ; 23
35

*) Bài 5:
Chứng tỏ rằng các tổng sau chia hết cho 10
a) 51
n
+ 47
102
(n
∈
N) b) 405
n
+ 2
405
+ 17
37
(n
∈
N)
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng


A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Giỳp hc sinh ụn tp li nhng kin thc v ly tha vi s m t nhiờn.
Nõng cao cỏc tớnh cht ca ly tha. Qua ú bit cỏch tỡm ra c ch s tn
cựng ca mt ly tha vi nhng s t nhiờn cú ch s tn cựng t 0 n 9; tỡm
hai ch s tn cựng; tỡm ba ch s tn cựng tr lờn

Kĩ năng
-
Rốn k nng ỏp dng cỏc tớnh cht ca ly tha tỡm ch s tn cựng
Thái độ
- Giỳp hc sinh rốn luyn t duy, thao tỏc chớnh xỏc, tớnh cn thn trong
lm toỏn v lu tha.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
-

GV: -

HS:

*) Bi 1: Chng minh rng
102 102
8 2

chia ht cho 10
Hng dn: S dng tớnh cht, mt s cú tn cựng bng 6 khi nõng lờn ly tha
no (khỏc 0) cng cú tn cựng bng 6
Ta cú:
(
)
( ) ( )
25
25
102 4 2
8 8 .8 6 .64 6 .64 4
= = = =

(
)
( ) ( )
25
25
102 4 2
2 2 .2 16 .4 6 .4 4
= = = =

Vy
102 102
8 2


oo
o

¸
¸¸
¸n
nn
n

B
BB
Bå
åå
åi
ii
i

d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g

H
IV.
H−íng dÉn vÒ nhµ
H−íng dÉn vÒ nhµH−íng dÉn vÒ nhµ
H−íng dÉn vÒ nhµ******************************* Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 17/11/11

Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 22/11/11

Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 5
55
5

số chính phơng
Buổi 1

chứng minh một số là số
chính phơng
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức

-

-

sĩ số
sĩ sốsĩ số
sĩ số
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ

III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới

Phng phỏp 1: Da vo nh ngha
- S chớnh phng l s bng bỡnh phng ca mt s t nhiờn (hoc s
nguyờn)
- VD: Mi s chớnh phng u tiờn l: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
Bi toỏn 1 : Chng minh vi mi s t nhiờn n thỡ a
n
= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng

N¨m häc

2011
-

2012G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o

¸
¸¸
¸n
nn
n


Ph
hh
hÇ
ÇÇ
Çn
nn
n

S
SS
Sè
èè
è

h
hh
hä
ää
äc
cc
c Chú ý: Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau thành một



Đặt

n
11 1
= a thì
n
99 9 9a
=

do đó
n
n
99 9 1 10 9a 1
+ = = +


Ta có: A =
( )
2
n 2
a.10 a 8a 1 a(9a 1) a 8a 1 9a 6a 1 3a 1
+ − + = + + − + = − + = −

Vậy A =
2
n 1
33 32
−

2n
n
11 1 44 4 1 (n N)
+ + ∈


b) N =
 
2n n 1
n
11 1 11 1 66 6 8 (n N)
+
+ + + ∈


Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu

Hướng dẫn: Đặt

n
11 1
= a =>
n
10 9a 1
= +


y
c
z
(a, b, c là số nguyên tố) thì
N = (a
x
b
y
c
z
)
2
= a
2x
b
2y
c
2z
, suy ra:
+ Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4
+ Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9
+ Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 25
+ Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16
+ Tổng quát: Số chính phương N chia hết cho
2k 1
p
+
thì N phải chia hết cho
2k 2
p

c
p
)
2
nên
N là số chính phương.
- Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Thật vậy:
2 2
(3k) 9k
=
chia hết cho 3
2 2
(3k 1) 9k 6k 1
+ = + +
chia cho 3 dư 1
2 2
(3k 2) 9k 12k 4
+ = + +
chia cho 3 dư 1
- Số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
- Số chính phương chia cho 5 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 hoặc 4
- Số chính phương lẻ chia cho 4 hoặc chia cho 8 đều dư 1
- Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào
2 2 2
n x (n 1)
< < +
=> x
2
không là số chính phương
2 2 2 2 2

¸n
nn
n

B
BB
Bå
åå
åi
ii
i

d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG

- Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính
phương thì mỗi số a và b là một số chính phương.
*) Chú ý: Để chứng minh N không là số chính phương ta có thể:
- Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 hoặc có một số lẻ chữ số 0 tận
cùng
- Chứng minh N chứa số nguyên tố với số mũ lẻ
- Xét số dư khi N chia cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5, cho 8 , …
- Chứng minh N nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
b) Bài tập áp dụng
Bài 1: Chứng minh rằng nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m
2
+ m = 4n
2
+ n
thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.
Lời giải :
Ta có : 3m
2
+ m = 4n
2
+ n  4(m
2
- n
2
) + (m - n) = m
2


Do
ab ba
−
là số chính phương nên a – b là số chính phương
Ta thấy
1 a b 8
≤ − ≤
nên a – b
{
}
1;4
∈

Với a – b = 1 thì
{
}
ab 21;32;43;54;65;76;87;98
∈
nhưng
ab
là số nguyên tố nên
ab 43
=

Tương tự a – b = 4 ta được
ab 73
=

Vậy
ab

f) F =
100 50
10 10 1
+ +

Hướng dẫn:
a) Tính được A =
21
3 3
5230176600
2
−
=
chia hết cho 3 nhưng chia cho 9 dư 3
nên không là số chính phương