Sở giáo dục và đào tạo hải dơng
@
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Sáng kiến kinh nghiệm
Một số phơng pháp giải bài toán
chia hết của đa thức
Môn : toán

Năm học : 2006- 2007
Phòng giáo dục cẩm giàng Phần ghi số phách
Trờng THCS KIM Giang của Phòng GD & ĐT

Sáng kiến kinh nghiệm
Một số phơng pháp giải bài toán
Về phép chia hết của đa thức
1
Môn : toán
Họ và tên tác giả :
nguyễn mạnh tuấn
Đánh giá của nhà trờng ( TT)

Kim Giang, ngày tháng năm 2007

của phong trào giáo dục ở địa phơng. Đặc biệt với học sinh trung học cơ sở việc
trang bị những kiến thức cơ bản, có đào sâu và rèn luyện năng lực t duy toán học
cho học sinh sẽ tạo ra nền tảng tin cậy để các em tiếp tục học tiếp môn Toán ở
bậc trung học phổ thông hoặc tiếp tục tự học về sau.
Trong chơng trình đại số cuối lớp 7 và lớp 8 những kiến thức về đa thức
chiếm một phần không nhỏ và có nhiều dạng toán nh chứng minh tính chia hết,
tìm d, tìm nghiệm của đa thức . Nếu nh chỉ có kiến thức sách giáo khoa thì
những bài toán đó học sinh khó có thể làm đợc. Do đó từ kiến thức cơ bản trong
sách giáo khoa, giáo viên phải khai thác, nâng cao và phát triển thì học sinh mới
có thể áp dụng vào giải toán đợc. Do vậy với kinh nghiệm của bản thân, tôi viết
chuyên đề: Một số phơng pháp giải bài toán về phép chia hết của đa thức
để từ đó các em có thể làm đợc các bài toán xác định hệ số của đa thức, chứng
minh sự tồn tại của đa thức, xác định dạng của đa thức.
3
B/giải quyết vấn đề
I - Lý thuyết cơ bản về phép chia hết
1.Định nghĩa: Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng:
f(x) = a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ + a
1
x + a
0
Trong đó các hệ số a

0
Bài 1: Xác định a, b để f(x) = x
3
+ ax + b x
2
- x - 2
Hớng dẫn: Ta có f(x) g(x) r(x) 0. Vậy ta chia trực tiếp f(x) cho đa
thức x
2
- x - 2 sau đó cho đa thức d đa thức 0 a,b.
Lời giải:
Lấy f(x) chia cho x
2
- x - 2 ta đợc r(x) = (a + 3) x + (b +2)
Vậy f(x) x
2
- x - 2 (a +3) x + (b + 2) = 0 với x.




=+
=+
02
03
b
a




+ y
n - 1
)
Lời giải:
Chứng minh điều kiện đủ ()
Giả sử n m n = m.k (k Z), đặt x
m
= c, a
m
= d
Ta có x
n
- a
n
=

x
mk
- a
mk
= c
k
- d
k
= (c - d) (c
(k - 1)
+ c
( k - 2 )
. d + + cd
(k - 2)

Chứng minh điều kiện cần ()
Giả sử x
n
- a
n

x
m
- a
m
và n = mk + r (0 r < m )
Thì x
n
- a
n
= x
mk + r
- a
mk + r
= x
r
(x
mk
- a
mk
) + a
mk
(x
r
- a

r
= a
r
với x
r = 0
Vậy n m (đpcm)
Bài tập t ơng tự:
1-Tìm a, b để f(x) = x
2
+ ax + b (x + 1)
2
2- Tìm a, b, c để x
4
+ ax
2
+ bx + c (x - 2)
3
3- Chứng minh rằng x
n
- 1 x
m
- 1 n m
Ph ơng pháp 2 : Sử dụng phép đồng nhất
f(x) = a
n
x
n
+ a
n - 1
x

0
= b
0
Bài 1: Xác định các số a, b để đa thức x
3
+ ax + b chia hết cho đa thức
x
2
+ x + 2
Hớng dẫn: đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc hai nên thơng là
một đa thức bậc nhất, hạng tử cao nhất là: x
3
: x
2
= x. Vậy đa thức thơng có dạng
x + c.
Lời giải:
Gọi thơng số của phép chia là x + c, ta có:
x
3
+ ax + b = (x
2
+ x + 2)(x +c)
x
3
+ ax + b = x
3
+ (c+1)x
2
+ (c +2)x + 2c

Vậy với a =1 , b = -2 , c = -1thì đa thức x
3
+ ax + b chia hết cho đa thức
x
2
+ x + 2
Bài 2: Tìm đa thức bậc hai f(x) thoả mãn: f(x + 1) - f(x) = 2x
Nhận xét:Với bài toàn này hầu hết học sinh lúng túng. Tôi hớng dẫn các
em muốn tìm đa thức bậc hai ta phải viết dạng chính tắc sau đó phải tìm các hệ
số a, b, c.
+ Viết dạng chính tắc của đa thức bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c (a 0)
+ Khi đó f(x + 1) là gì ? Học sinh sẽ hiểu đợc f(x + 1) là giá trị của đa
thức tại x + 1 hay chỗ nào có x ta thay bằng x +1
+ Từ đó: f(x+ 1) = a(x+ 1)
2
+ b(x + 1) + c
= a(x
2
+ 2x + 1) + b(x + 1) +c
= ax
2
+ (2a + b)x + a +b +c
5
Vì f(x +1) - f(x) = 2x
ax
2
+ (2a + b)x + a + b + c - ax
2

2
+ bx + c (x - 3)
3
7
2- Xác định a, b để đa thức ax
3
+ 12x
2
+ bx + 1 là luỹ thừa bậc ba của một
đa thức khác.
8
3- Xác định đa thức bậc ba f(x) thoả mãn:
f(x) - f(x - 1) = x
2
Ph ơng pháp 3: Dùng định lý Bezout (Bơdu)
Định lý: D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của
đa thức f(x) tại x = a
Hớng dẫn HS chứng minh: Do đa thức chia x - a có bậc nhất nên số d
trong phép chia f(x) cho (x - a) là hằng số r.
Ta có: f(x) = (x - a).q(x) + r
Đẳng thức đúng với x nên x = a ta có:
f(a) = 0.q(a) + r hay f(a) = r (đpcm)
Từ định lý ta suy ra f(x) (x - a) f(a) = 0
Bài 1:
Xác định a để đa thức f(x) = x
3
+ 2x + a chia hết cho đa thức x - 2.
HD: f(x) = x
3
+ 2x + a chia hết cho đa thức x - 2 khi nào ?

0)2(
0)1(
f
f




=+
=++
08
01
ba
ba




=
=
2
3
b
a
Bài 2:
Tìm hệ số a, b để đa thức f(x) = x
4
+ ax
2
+ bx + 1 chia hết cho x









=

=
3
32
3
38
b
a
* Yêu cầu các em trình bày theo 2 phơng pháp trên rồi so sánh .
Bài 3:
Xác định m để x
2
- y
2
- z
2
+ myz chia hết cho x + y + z.
Nhận xét: Học sinh rất lúng túng vì nếu sử dụng cách chia trực tiếp thì
thật khó khăn, vậy muốn sử dụng định lý Bơdu ta làm thế nào?
Hớng dẫn : x + y + z = x - (- y - z). Vậy a tơng ứng với biểu thức nào ?
Tôi hớng dẫn tiếp từ đó f(x) = x

2
+ myz = 0. y,z
yz(2 +m) = 0 y,z
2 + m = 0
m = -2
Bài tập t ơng tự:
1-Tìm các số hữu tỷ a, b sao cho:
9
a. 2x
3
- x
2
+ ax + b chia hết cho x
2
- 1
10
b. 3x
3
+ ax
2
+ bx + 9 chia hết cho x
2
- 9
2-Xác định m để x
3
+ y
3
+ z
3
- mxyz chia hết cho x + y + z

y + - xy
n-2
+ y
n-1
) với n lẻ
Bài 1: Với m, n, p là những số tự nhiên.
Chứng minh rằng: x
3m
+ x
3n + 1
+ x
3p + 2
chia hết cho x
2
+ x + 1.
Muốn vận dụng các hằng đẳng thức vào bài toán này ta làm thế nào?
Hớng dẫn học sinh thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức x
m
- 1,
Lời giải:
Ta có: x
3m
+ x
3n + 1
+ x
3p + 2
= x
3m
- 1 + x(x
3n

3m
+ x
3n + 1
+ x
3p + 2
x
2
+ x + 1 (đpcm)
7
Bài 2: Chứng minh rằng
x
9999
+ x
8888
+ + x
1111
+ 1 x
9
+ x
8
+ + x + 1
Tơng tự nh phơng pháp của bài 1 các em làm đợc ngay.
Ta có: x
9999
+ x
8888
+ + x
1111
+ 1
= x

8
+ + x + 1
(Với i = 1,2,, 9)
Với loại bài toán này học sinh luôn phải có kỹ năng thêm bớt để sử dụng
linh hoạt các hằng đẳng thức. Muốn vậy học sinh phải tự làm thêm các bài tập
sau:
Bài tập t ơng tự:
1- Chứng minh rằng: x
2002
+ x
2000
+ 1 chia hết cho x
2
+ x + 1
2- Chứng minh rằng: x
2004
+ x
2005
+ x
2006
chia hết cho x
2
+ x + 1
3- Với giá trị nào của n thì đa thức x
2n
+ x
n
+ 1 chia hết cho x
2
+ x + 1 .

n - 1
(a
n - 1
- b
n - 1
) + + a
1
(a - b) a - b
(đpcm)
Bài 1: Chứng minh rằng không có đa thức f(x) nào có hệ số nguyên thoả
mãn f(3) = 8 và f(10) = 11
Lời giải:
Vậy giả sử đa thức đó là f(x) khi đó: f(10) - f(3) 10 - 3 = 7.
Vế trái 11- 8 = 3 7 (vô lý)
Vậy không có đa thức nào với hệ số nguyên nào có thể có giá trị: f(3) = 8
và f(10) = 11.
Bài 2: Tồn tại hay không một đa thức với hệ số nguyên thoả mãn:
f(33) = 1997 và f(8) = 1969.
( HS tự làm )
Bài 3: Cho f
1
(x) và f
2
(x) là hai đa thức với hệ số nguyên thoả mãn điều
kiện: f(x) = f
1
(x
3
) + xf
2

3
) - f
2
(1)] + f
1
(1) - xf
2
(1)
8
Ta có: f
1
(x
3
) - f
1
(1) x
3
- 1 x
2
+ x + 1
f
2
(x
3
) - f
2
(1) x
3
- 1 x
2

2
(x) với hệ số nguyên thoả mãn điều kiện
f
1
(x
3
) + xf
2
(x
3
) x
2
+ x + 1
Chứng minh rằng: ƯCLN (f
1
(1998) ; f
2
(1998)) 1999
C- Kết luận
I- Kết quả
Sau khi dạy xong chuyên đề Một số phơng pháp giải bài toán về phép chia
hết của đa thức cho học sinh, các em không những biết cách giải những bài
toán liên quan đến chia hết đa thức mà các em còn giải đợc bài toán ở nhiều
khía cạnh nh xác định đa thức, tìm đa thức d trong phép chia đa thức . Thông
qua đó các em có cách nhìn linh hoạt một bài toán giúp các em phát triển t duy
tốt hơn, nhiều em thể hiện rõ sự yêu thích môn toán sau khi học xong.
Kết quả khảo sát cho thấy nh sau:
Trớc khi luyện Sau khi luyện
Phát hiện đợc dạng toán 45% 89%
Kỹ năng vận dụng linh hoạt 30% 80%