Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6
Người viết: Hoàng Thị Thu Hương - THCS Núi Đèo 1

A/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong chương trình toán 6, giải các bài toán chia hết là dạng bài tập mới và
tương đối khó đối với học sinh. Cái khó ở đây là tuy lượng kiến thức không nhiều
nhưng các bài tập thì lại đa dạng, phong phú.
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy toán 6 nhiều năm, tôi nhận thấy khi làm các
bài tập về chia hết các em thường rất lúng túng, nguyên nhân chủ yếu là do các em
chưa biết vận dụng định nghĩa hay các tính chất của phép chia hết và các kiến thức
có liên quan, từ đó dẫn đến các em ngại làm bài, nếu làm bài thì suy luận thiếu
chính xác, thiếu chặt chẽ, xét thiếu các trường hợp.
Các bài toán về chia hết là những kiến thức rất cơ bản, quan trọng không chỉ
trong chương trình toán 6 mà cả ở các lớp cao hơn. Việc giúp các em nắm chắc
kiến thức về chia hết và làm tốt các dạng bài tập này sẽ tạo cho các em hứng thú
học tập, say mê môn học và tạo điều kiện thuận lợi cho các em trong những năm
học tiếp theo khi học các kiến thức có liên quan với mức độ cao hơn.
Với suy nghĩ trên, tôi đã suy nghĩ, tìm tòi và chọn viết sáng kiến
"Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6".
Trong chuyên đề này, tôi đã tiến hành phân loại các phương pháp giải bài
toán chia hết kèm theo ví dụ minh họa với mong muốn học sinh có được định
hướng tốt về cách giải đối với mỗi bài toán cụ thể. Từ đó giúp các em rèn luyện tư
duy, kĩ năng giải toán.
* a Μ m và a Μ n ; ( m, n) = 1 thì a Μ m.n
* a Μ m , a Μ n , a Μ p và m, n, p đôi một nguyên tố cùng nhau
thì a Μ mnp.
3, Một số dấu hiệu chia hết:
Cho N = a
n
a
n -1
a
1
a
0

* N Μ 2 <=> a
0
∈{0, 2, 4, 6, 8}
* N Μ 5 <=> a
0
∈{0, 5}
Từ đó N Μ 10 <=> a
0
= 0
* N Μ 3 <=> ( a
n
+ a
n -1
+ + a
1
+ a
0

1
a
0
Μ 125
Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6
Người viết: Hoàng Thị Thu Hương - THCS Núi Đèo 3

* N Μ 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở vị trí
chẵn chia hết cho 11.

4, Nguyên tắc Đicriclê:
Trong b + 1 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có 2 số chia cho b có cùng số dư.
Khi đó hiệu hai số này chia hết cho b.
II. Các phương pháp giải bài toán chia hết:
*Phương pháp 1:
Để chứng minh số a chia hết cho số b ≠ 0 ta biểu diễn số a dưới dạng một tích
trong đó có một thừa số bằng b.
Thí dụ 1: Cho n ∈ N. Chứng minh rằng: (3n)
100
Μ 81
Giải
Ta có (3n)
100
= 3
100
.n
100

) + + (3
9
+ 3
10
+ 3
11
)
C = (1+3 + 3
2
) + 3
3
(1+3 + 3
2
) + + 3
9
(1+3 + 3
2
)
C = 13(1 + 3
3
+ 3
9
) Μ 13
b, C = (1+3 + 3
2
) + (3
3
+ 3
4
+ 3

*Phương pháp 2:
Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6
Người viết: Hoàng Thị Thu Hương - THCS Núi Đèo 4

Để chứng minh a Μ b ( b ≠ 0 ) ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng các số hạng
và chứng minh mỗi số hạng đều chia hết cho b.
Thí dụ 3:
Chứng minh rằng tổng của 3 số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 3.
Giải
Gọi 3 số lẻ liên tiếp là:
2n +1, 2n + 3, 2n + 5 (n ∈ N)
Tổng của chúng là a = 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5
= 6n + 1 + 3 + 5
= 6n + 9
Vì 6n Μ 3 ; 9 Μ 3 nên a = (6n + 9) Μ 3
*Phương pháp 3:
Để chứng minh a Μ b (b ≠ 0) ta biểu diễn b = m.n
+ Nếu (m, n) = 1 thì tìm cách chứng minh a Μ m và a Μ n.
Khi đó a Μ m.n ⇒ a Μ b
+ Nếu (m, n) ≠ 1 thì ta biểu diễn a = a
1
.a
2
rồi chứng minh a
1
Μ m , a
2

Giải
Đặt a = n(n + 1)(2n + 1)
Dễ thấy n(n + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1) Μ 2 ⇒ a Μ 2
* Nếu n = 3k (k ∈ N) thì a Μ 3
* Nếu n = 3k + 1 thì 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = (6k + 3) Μ 3 ⇒ a Μ 3
* Nếu n = 3k + 2 thì n + 1 = (3k + 3) Μ 3
Vậy a = n(n + 1)(2n + 1) Μ 3 với mọi n ∈ N
Do 2.3 = 6 và (2,3) = 1 nên a Μ 6
*Phương pháp 5:
Có thể vận dụng dấu hiệu chia hết có liên quan đến số nguyên tố; số nguyên tố
cùng nhau.
Đặc biệt có thể xét chữ số tận cùng khi phải chứng minh chia hết cho 2; cho 5
hay cho 10.
Thí dụ 6: Cho n ∈ N. Chứng minh rằng: (3
4n+1
+ 7) Μ 10
Giải
Ta có 3
4n+1
= 3.3
4n
= 3.(3
4
)
n
= 3.81
n

Vì 81
n

+ Nếu trong 4 số a, b, c, d có hai số chẵn, hai số lẻ. Chẳng hạn a, b là số chẵn và c,
d là số lẻ thì khi đó b - a Μ 2; d - c Μ 2
=> (b - a)(d -c) Μ 4 => S Μ 4
+ Nếu trong 4 số a, b, c, d có 3 số chẵn và một số lẻ hoặc 3 số lẻ và một số chẵn thì
khi đó sẽ tồn tại hai số chia cho 4 có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hết cho
4. Do đó S Μ 4
Vì S Μ 3, S Μ 4 mà (3,4) = 1 ; 3.4 = 12 ⇒ S Μ 12
Thí dụ 8:
Cho 10 số tự nhiên bất kì a
1
, a
2
, a
10
. Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho
10 hoặc tổng của một số chia hết cho 10.
Giải:
Xét 10 số mới như sau: S
1
= a
1
, S
2
= a
1
+ a
2
, … S
10
= a

(k > l).
Khi đó : S
k
- S
l
= a
l+1
+ a
l+2
+ + a
k
Μ 10 (đccm)
 Bài toán trên có thể phát biểu dưới dạng tổng quát trong n số tự nhiên bất kì
tồn tại một số tự nhiên chia hết cho n hoặc tổng của một số chia hết cho n.
*Phương pháp 7: Phương pháp chứng minh quy nạp.
Giả sử cần chứng minh
A
(n)
Μ P
(1)
với n = 1, 2, …
Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6
Người viết: Hoàng Thị Thu Hương - THCS Núi Đèo 7

Ta chứng minh (1) đúng với n = 1 tức là chứng minh A
(1)
Μ P.

Vậy (1) đúng với n = k +1 do đó (1) đúng với mọi n = 1; 2; 3…

III. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng tích 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 48.
Giải
Gọi 3 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2, 2n + 4 (n ∈ N)
Tích của 3 số là a = 2n(2n + 2)(2n + 4)
= 2.n. 2(n + 1)2(n + 2)
= 8.n.(n + 1)(n + 2)
Ta thấy 8 Μ 8
Ta chứng minh n.(n + 1)(n + 2) Μ 6
Thật vậy:
Nếu n Μ 3 thì n.(n + 1)(n + 2) Μ 3
Nếu n = 3k + 1 (k ∈ N) thì (n +2) Μ 3 ⇒ n.(n + 1)(n + 2) Μ 3
Nếu n = 3k + 2 (k ∈ N) thì (n +1) Μ 3 ⇒ n.(n + 1)(n + 2) Μ 3
Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6
Người viết: Hoàng Thị Thu Hương - THCS Núi Đèo 8

Vậy n.(n + 1)(n + 2) Μ 3 với mọi n ∈ N.
Mặt khác trong ba số n, n + 1, n + 2 chắc chắn có một số chẵn
nên n.(n + 1)(n + 2) Μ 2
mà (2,3) = 1 ; 2.3 = 6 nên n.(n + 1)(n + 2) Μ 6
Vậy a = 2n(2n + 2)(2n + 4) Μ 48 (đpcm)
Bài 2:
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 17 là tổng của
ba lần số chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết cho 17.
Giải

Bài 4:
a, Cho a Μ 3 (a ∈ Z)
Chứng minh a
2
chia cho 3 dư 1.
b, Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a
2
- 1 Μ 6
Giải
a, Vì a Μ 3 nên a = 3k + 1 hoặc a = 3k + 2 (k ∈ Z)
Nếu a = 3k + 1 thì a
2
= (3k + 1)(3k + 1)
⇒ a
2
= 3k(3k + 1) + 3k + 1
⇒ a
2
chia cho 3 dư 1
Nếu a = 3k + 2 thì a
2
= (3k + 2)(3k + 2)
⇒ a
2
= 3k (3k + 2) + 2( 3k + 2)
⇒ a
2
= 3k (3k + 2) + 6k + 4
Vì 3k(3k + 2) Μ 3
6 Μ 3

Người viết: Hoàng Thị Thu Hương - THCS Núi Đèo 10
Bài 5:
Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.
Giải
Xét 14 số : 2, 22, 222, , 2 22 214 chữ số 2

Trong phép chia cho 13 chỉ có 13 số dư khác nhau là 0, 1, 2, 3, , 12.
Có 14 số mà chỉ có 13 số dư nên tồn tại hai số chia cho 13 có cùng số dư.
Gọi hai số đó là : 222 222 ( m chữ số 2) và 22 222 (n chữ số 2)
Với 1 ≤ n < m ≤ 14
Hiệu của chúng là 22 200 0 Μ 13 ( m - n chữ số 2, n chữ số 0)
⇒ 22 2 . 10
n
Μ 13
nhưng (10
n
, 13) = 1 nên 22 2 Μ 13
Vậy tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.
Bài 6:
Cho A = 4 + 4
2
+ 4
3
+ + 4

A = (4 + 4
2
+ 4
3
) + (4
4
+ 4
5
+ 4
6
) + + (4
22
+ 4
23
+ 4
24
)
= 4( 1 + 4 + 4
2
) + 4
4
(1 + 4 + 4
2
) + + 4
22
(1 + 4 + 4
2
)
= 4.21 + 4
4

Μ 9; b, 43
43
- 17
17
Μ 10
6, Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc. Chứng minh rằng khi
ta gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm
được một hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5.
7, Cho abc - deg Μ 7
Chứng minh abcdeg Μ 7
8, Cho M = 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
60

Chứng minh rằng M chia hết cho 3, 7, 15.
9, Cho ba số a, b, c thoả mãn đẳng thức:
a
2
+ b
2
= c
2

Chứng minh rằng:
a, Trong hai số a và b có ít nhất một số chia hết cho 2
b,Trong hai số a và b có ít nhất một số chia hết cho 3
c,Trong hai số a và b có ít nhất một số chia hết cho 4

, b
3
, b
4
, b
5
là một
hoán vị của năm số đã cho.
Chứng minh rằng: (a
1
- b
1
)(a
2
- b
2
)(a
3
- b
3
)(a
4
- b
4
)(a
5
- b
5
) chia hết cho 2.


- Các em học sinh khá hoàn thành; giải đúng được 80% số bài tập.
- Các em học sinh trung bình hiểu lí thuyết, giải được các bài tập tương tự
như ví dụ.
Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6
Người viết: Hoàng Thị Thu Hương - THCS Núi Đèo 13
Với suy nghĩ của một cá nhân, bài viết của tôi chắc còn có thiếu sót.
Rất mong sự góp ý của các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn.!
Núi Đèo, ngày 12/03/2009.
Người viết
Hoàng Thị Thu Hương CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
D, TÀI LIỆU THAM KHẢO:
Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6
Người viết: Hoàng Thị Thu Hương - THCS Núi Đèo 15
STT

TÊN TÀI LIỆU TÁC GIẢ NHÀ XUẤT BẢN
1.

TOÁN SỐ HỌC NÂNG CAO
Nguyễn Vĩnh Cận Giáo dục
2.

TOÁN NÂNG CAO
VÀ CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6
Vũ Dương Thuỵ
Nguyễn Ngọc Đạm
Giáo dục
3.