Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

23/51

10-3 THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT TRẠNG THÁI
Trong thực tế không phải tất cả các biến trạng thái đều có thể lấy tín hiệu phản hồi
được. Khi đó chúng ta cần ước lượng các biến trạng thái không đo được này.
Nên tránh lấy đạo hàm một biến trạng thái để tạo một biến khác. Việc lấy đạo hàm một
tín hiệu luôn luôn làm giảm tỷ số tín hiệu – nhiễu vì nhiễu nói chung dao động nhanh hơn
tín hiệu. Tỷ số tín hiệu – nhiễu có thể giảm vài lần sau một lần đạo hàm.
Việc ước lượng các biến trạng thái không đo được thường được gọi là quan sát.
Một thiết bò (hoặc một chương trình máy tính) ước lượng hoặc quan sát các biến trạng
thái được gọi là bộ quan sát trạng thái hay nói gọn là bộ quan sát.
Nếu bộ quan sát trạng thái quan sát được tất cả các biến trạng thái của hệ thống, dù
có một số biến trạng thái là đo được trực tiếp, thì nó được gọi là bộ quan sát trạng thái
bậc đủ.
Có những trường hợp chúng ta chỉ cần ước lượng một số biến trạng thái. Ví dụ, vì các
biến ra là quan sát được và chúng tỷ lệ với các biến trạng thái, cho nên chúng ta không
cần quan sát tất cả các biến trạng thái mà chỉ cần quan sát n — m biến trạng thái, với n
là kích thước vec-tơ trạng thái và m là kích thước vec-tơ ra. Bộ quan sát trạng thái chỉ
quan sát một số tối thiểu các biến trạng thái được gọi là bộ quan sát trạng thái bậc tối
thiểu, hay nói ngắn gọn là bộ quan sát bậc tối thiểu.


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

24/51

Bộ ước lượng trạng thái.
Một bộ ước lượng trạng thái ước lượng các biến trạng thái dựa trên việc đo các biến
ra và các biến điều khiển. Các bộ quan sát có thể thiết kế được nếu và chỉ nếu thỏa mãn

Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

25/51

Hình 10-7 vẽ sơ đồ khối của hệ thống và bộ quan sát trạng thái bậc đủ.

Bộ q/sát tr/thái bậc đủ
Hình 10-7 Sơ đồ khối của hệ thống và bộ quan sát trạng thái bậc đủ,
khi tín hiệu vào u và tín hiệu ra y là vô hướng.

Chúng ta sẽ nghiên cứu chi tiết bộ quan sát trạng thái có đặc tính động học được đặc tính
hóa bởi các ma-trận A và B và bởi thành phần hiệu chỉnh thêm vào. Giả sử rằng các matrận A và B sử dụng trong mô hình và trong hệ thống thực là giống nhau.


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

26/51

Bộ ước lượng trạng thái bậc đủ.
Bậc của bộ ước lượng trạng thái được nghiên cứu là bằng với bậc của hệ thống.
Để thiết lập phương trình sai lệch bộ quan sát, chúng ta trừ phương trình (10-25) cho
phương trình (10-27).
x& − x&% = Ax − Ax&% − K e (Cx − Cx&% ) = ( A − K eC )( x − x% ) (10 − 28)
Gọi sai lệch giữa x và ~x là vec-tơ sai lệch e, hay

e= x−~
x

Khi đó, phương trình (10-28) sẽ là



Trong thiết kế bộ quan sát bậc đủ, chúng ta có thể giải bài toán đối ngẫu (dual problem),
tức là, giải bài toán đặt cực cho hệ thống đối ngẫu
z& = A∗ z + C ∗ v
n = B∗ z

giả sử tín hiệu điều khiển v là

v = − Kz

Nếu hệ thống đối ngẫu điều khiển được trạng thái hoàn toàn, thì ma-trận hệ số phản
hồi trạng thái K có thể được xác đònh sao cho ma-trận A* - C*K sẽ tạo ra một tập hợp
các giá trò riêng mong muốn.


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

28/51

Nếu µ1, µ2, . . ., µn là các giá trò riêng mong muốn của ma-trận bộ quan sát trạng thái, thì
bằng cách lấy các µi như các giá trò riêng mong muốn của ma-trận hệ số phản hồi trạng
thái của hệ thống đối ngẫu chúng ta có

sI − ( A∗ − C ∗ K ) = ( s − µ1 )( s − µ 2 ) . . . ( s − µ n )
Chú ý rằng các giá trò riêng của A* - C*K và của A - K*C là giống nhau, chúng ta có

sI − ( A∗ − C ∗ K ) = sI − ( A − K ∗C )
So sánh đa thức đặc tính sI - (A - K*C) và đa thức đặc tính sI - (A - KeC)với hệ
thống bộ quan sát, chúng ta tìm được quan hệ Ke và K*


Chúng ta sẽ đưa ra phương pháp trực tiếp (thay cho phương pháp bài toán đối ngẫu) để
giải bài toán thiết kế bộ quan sát trạng thái. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp bài toán
đối ngẫu để thiết lập công thức Ackermann để xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát Ke.
Thiết kế bộ quan sát trạng thái bậc đủ.
Xét hệ thống

với

x& = Ax + Bu

(10-30)

y = Cx

(10-31)

x = vec-tơ trạng thái (n-vector)
y = tín hiệu ra (vô hướng)
u = tín hiệu điều khiển (vô hướng)
A = ma-trận hằng n x n
B = ma-trận hằng n x 1


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

30/51

C = ma-trận hằng 1 x n
Giả sử rằng hệ thống là quan sát được hoàn toàn và cấu trúc của hệ thống tương tự như
đã vẽ ở hình 10-7.

a n −3
.
.
.
1
0

. . . a1 1
. . . 1 0

. .

. .
. .

. . . 0 0
. . . 0 0

với a1, a2, . . . , an-1 là các hệ số trong phương trình đặc tính của phương trình trạng thái


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

31/51

ban đầu cho bởi phương trình (10-30):
sI − A = s n + a1 s n −1 + . . . + a n −1 s + a n = 0

(Vì giả sử HT quan sát được hoàn toàn, cho nên nghòch đảo của ma-trận WN* tồn tại).
Đònh nghóa vec-tơ trạng thái mới (n-vector) ξ là

. 
.
. 

.
. 
. . . 1 − a1 

0 ... 0
0
1
.
.
.
0

(10-37)

(10-34)


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

 bn − a n b0 
b − a b 
n −1 0 
 n −1


−1

x + Bu + K e ( y − C~
x ) = ( A − K eC )~
x + Bu + K e Cx
(10-40)
~
~
Bây giờ xác đònh
x = Qξ
(10-41)

Từ phương trình (10-41) và (10-40), chúng ta có


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

~

~

ξ& = Q −1 ( A − K e C )Qξ + Q −1 Bu + Q −1 K e CQξ

33/51

(10-42)

Trừ phương trình (10-35) cho (10-42) chúng ta có
~

~



.
. .

.
. .
.
. .

1
0 0
0
0 0

 C 
 CA 


 . 


.


 . 
 n − 2
CA

n
−

 . 


Ke =  . 
 . 


k
n
−
1


 k n 

Vì Q-1Ke là n- vector, nên
 δn 
δ

n
−
1


−1
Q Ke =  . 


.


δn 
0 L 0 δn − 1

0 L 0
M

M

0 L 0


M 
δ 1 


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

35/51

và
Q-1(A - KeC)Q = Q-1AQ – Q-1KeCQ
0
1

= 0

M
0

sI - Q-1(A - KeC)Q= 0

an + δ n

0

s

0 L

0

an − 1 + δ n − 1

0 −1 s L

0

M

M

M

M

M

0

0


δ1 = α1 – a1
δ2 = α2 – a2
...
δn = αn - an
Khi đó từ phương trình (10-45) chúng ta có
 δn   αn
δ
 α
n
−
1
−1
 =  n −1
Q Ke = 
 M  

 
 δ1   α1

Do đó

− an 
− an − 1 

M


− a1 



− a1 

Phương trình (10-48) xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát trạng thái Ke
Như đã nói ở trên, phương trình (10-48) cũng có thể đạt được từ phương trình (10-13)
bằng việc xem xét bài toán đối ngẫu. Tức là, xét bài toán đặt cực với hệ thống đối ngẫu
và thiết lập ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K với hoàn toàn đối ngẫu. Khi đó ma-trận
hệ số bộ quan sát trạng thái Ke có thể được đưa ra bởi K* (xem bài tập A-10-9).
Các giá trò riêng mong muốn hoặc phương trình đặc tính nên được chọn sao cho bộ quan
sát trạng thái đáp ứng nhanh gấp hai đến năm lần so với hệ thống vòng kín được xét. Như
đã nói ở trước, phương trình với bộ quan sát bậc đủ là
~
x& = ( A − K e C ) ~
x + Bu + K e y

(10-49)

Phương pháp thay thế trực tiếp để thiết lập ma-trận hệ số bộ quan sát trạng thái Ke
Tương tự trường hợp đặt cực, nếu hệ thống có bậc thấp, thì thay thế trực tiếp ma-trận Ke
vào đa thức đặc tính mong muốn có thể đơn giản hơn. Chẳng hạn, nếu x là 3-vector, thì
viết ma-trận hệ số bộ trạng thái Ke là


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

38/51

 k e1 
K e = k e 2 
 
 k e3 

Vì tính đối ngẫu của hệ thống xác đònh bởi phương trình (10-50) và (10-51),


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

39/51

z& = A * z + C * v
n = B*z

công thức Ackermann với phương pháp đặt cực được sửa đổi như sau

[

K = [0 0 L 0 1] C * M A * C * L M

]

−1

( A*) n − 1 C * φ ( A*)

(10-53)

Do đó
 C 
 CA 


K e = K * = φ ( A*) *  M 

0 
0 
 
 M  (10-53)
 
0 
1

với φ(s) là đa thức đặc tính mong muốn với bộ quan sát trạng thái, hay
φ(s) = (s - µ1)(s - µ2) . . . (s - µn)
với µ1, µ2, . . ., µn các giá trò riêng mong muốn. Phương trình (10-53) được gọi là công
thức Ackermann để xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát Ke.
Nhận xét về việc lựa chọn hệ số Ke tốt nhất.
Từ hình vẽ 10-7, chú ý rằng tín hiệu phản hồi qua ma-trận hệ số bộ quan sát Ke như là
một tín hiệu – hiệu chỉnh đến mô hình đối tượng để bù cho những thành phần chưa biết
trong đối tượng. Nếu có các thành phần chưa biết khá lớn, thì tín hiệu phản hồi qua ma-


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

40/51

trận Ke sẽ khá lớn. Tuy nhiên, nếu tín hiệu ra bò phá hỏng đáng kể do nhiễu và nhiễu đo,
thì tín hiệu ra y là không tin cậy và tín hiệu phản hồi qua ma-trận Ke sẽ khá nhỏ. Trong
việc xác đònh ma-trận Ke, nên kiểm đònh cẩn thận ảnh hưởng của nhiễu và nhiễu đo có
trong tín hiệu ra y.
Ma-trận hệ số bộ quan sát Ke phụ thuộc vào phương trình đặc tính mong muốn
(s - µ1)(s - µ2) . . . (s - µn) = 0
Việc chọn một tập hợp µ1, µ2, . . ., µn trong nhiều trường hợp cá biệt, không phải là duy
nhất. Do đó, nhiều phương trình đặc tính khác nhau có thể được chọn để làm phương trình

1

C = [0 1]

Thiết kế bộ quan sát trạng thái bậc đủ, giả sử rằng cấu trúc hệ thống là giống như được
vẽ trên hình 10-7. Giả sử rằng các giá trò riêng mong muốn của ma-trận bộ quan sát là
µ1 = -1.8 + j2.4, µ2 = -1.8 –j2.4
Việc thiết kế bộ quan sát trạng thái trở thành việc xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát Ke
Bay giờ chúng ta kiểm đònh ma-trận quan sát được. Hạng của

[C *

0 1 
M A * C *] = 

1 0 

là 2. Vì vậy hệ thống là quan sát được hoàn toàn và việc xác đònh ma-trận hệ số bộ quan
sát mong muốn là khả thi. Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng 3 phương pháp.
Phương pháp 1: chúng ta sẽ xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát bằng cách sử dụng
phương trình (10-48). Ma-trận trạng thái cho trước A là đã có dạng chuẩn tắc quan sát
được. Vì vậy ma-trận chuyển Q = (WN*)-1 là I. Do đó phương trình đặc tính của hệ thống
đã cho là


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

sI − A =

s

phương trình đặc tính với bộ quan sát là
sI – A + KeC = 0
Gọi
k 
K e =  e1 
k e 2 

Khi đó phương trình đặc tính trở thành

42/51


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

43/51

s − 20.6 + k e1
 s 0 0 20.6  k e1 
[
]
−
+
0
1
=
 0 s  1
−1
s + k e2
0  k e 2 


φ(A) = A2 + 3.6A + 9I


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

44/51

và

(

2

K e = A + 3.6 A + 9 I
29.6 74.16 0
=

 3.6 29.6  1

−1

0 1 
1 0 


1  0 
0 1

)





x
  2  1 
 3.6 
 x2  

Cuối cùng, chú ý rằng tương tự như trường hợp đặt cực, nếu bậc n của hệ thống là 4 hoặc
cao hơn, thì các phương pháp 1và 3 được sử dụng, vì tất cả các tính toán ma-trận có thể
được thực hiện trên máy tính, trong khi phương pháp 2 luôn yêu cầu tính toán bằng tay


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

45/51

phương trình đặc tính có các thông số chưa biết ke1,ke2, . . ., ken.
VÍ DỤ 10-4
Xét hệ thống
x& = Ax + Bu
y = Cx

với
1
0
0
A=0
0
1 ,


là 3. Do đó, h/t là quan sát được hoàn toàn và việc x/đ ma-trận hệ số quan sát K là khả


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

thi.
Vì phương trình đặc tính của hệ thống đã cho là
0 
s − 1
−1 
sI − A = 0 s


6 11 s + 6

= s3 + 6s2 + 11s + 6
chúng ta có

a1 = 6,

= s3 + a1s2 + a2s + a3 = 0

a2 = 11,

a3 = 6

Phương trình đặc tính mong muốn là
(s - µ1)(s - µ2)(s - µ3) = (s + 2 – j3.464)(s + 2 + j3.464)(s + 5)
= s3 + 9s2 + 36s + 80 = s3 + α1s2 + α2s + α3 = 0



 1 0 0

chúng ta có
(WN *) −1

11 6 1 1 0 0 


=   6 1 0  0 1 0  



  1 0 0  0 0 1  




−1

1 
0 0
= 0 1 − 6 


1 − 6 25 

vì vậy
1   80 − 6   3 

   
 
~
~
&
&
 x3   − 5 − 11 − 6  x 3  1
− 1

(Lời giải cho bài tập này sử dụng phương pháp thay thế trực tiếp và sử dụng công thức