BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THANH THÁI

PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT
CHO MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG TRONG MÔ HÌNH
ROESSER TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THANH THÁI

PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT
CHO MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG TRONG MÔ HÌNH
ROESSER TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Văn Hiện

HÀ NỘI, 2018

MỤC LỤC
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Sơ bộ về hệ 2-D dạng Roesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.1. Ví dụ về mô hình hệ 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Mô hình Roesser tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Tính ổn định của hệ 2-D tuyến tính trong mô hình Roesser . . . . . . . . . . . 10
Chương 2. Tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ dương 2-D dạng
Roesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Hệ dương 2-D dạng Roesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Tính ổn định của hệ dương 2-D tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Thiết kế điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chương 3. Thiết kế bộ quan sát đối với hệ dương 2-D dạng Roesser có
trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2. Phân tích tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Thiết kế bộ quan sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hệ hai chiều nảy sinh trong rất nhiều mô hình vật lí, kỹ thuật ở đó sự
lan truyền thông tin trạng thái xảy ra theo hai hướng độc lập. Mô hình hệ hai

kế bộ quan sát cho một số lớp hệ dương trong mô hình Roesser tuyến tính” dựa
trên bài báo [8] và các tài liệu có liên quan.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu tính ổn định và bài toán thiết kế bộ
quan sát dạng Luenberger và bộ quan sát giảm chiều cho một số lớp hệ dương
2-D trong mô hình Roesser tuyến tính dựa trên tài liệu [8].

3. Nội dung nghiên cứu
Các nội dung được nghiên cứu trong luận văn bao gồm:
a) Hệ thống hóa mô hình hệ 2-D rời rạc.
b) Nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ dương 2-D tuyến tính.
c) Phân tích, làm rõ kết quả trong [8] về bài toán thiết kế bộ quan sát đối với
lớp hệ dương 2-D dạng Roesser có trễ.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Xét lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ sau đây





+ 1, j)

xh (i, j)

xv (i, j + 1)

xv (i, j)


,

(0.2)

τh , j)

xv (i, j − τv )

xh (i −

τh , j)

xv (i, j

− τv )

ở đó xh ∈ Rnh , xv ∈ Rnv , u ∈ Rnu và y ∈ Rny tương ứng là vectơ trạng thái ngang,
vectơ trạng thái dọc, điều khiển đầu vào và vectơ đo được đầu ra của hệ, A,
Ad ∈ Rn×n (n = nh + nv ), B ∈ Rn×nu và C , Cd ∈ Rny ×n là các ma trận thực cho
3


trước, τh , τv là các số nguyên dương biểu thị độ trễ của hệ theo phương ngang
và phương đứng. Điều kiện đầu của hệ (0.1) được xác định bởi các hàm φh , φv
như sau:
xh (i, j) = φh (i, j), (i, j) ∈ I[−τh , 0] × N0
xv (i, j) = φv (i, j), (i, j) ∈ N0 × I[−τv , 0]

(0.3)




6. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, luận
văn được chia thành ba chương.
Chương 1: Giới thiệu sơ bộ về mô hình Roesser và lớp hệ 2-D rời rạc
Chương 2: Phân tích tính ổn định và ổn định hóa theo điều khiển phản hồi
cho lớp hệ dương 2-D tuyến tính không có trễ.
Chương 3: Nghiên cứu bài toán thiết kế các bộ quan sát dạng Luenberger
và bộ quan sát giảm chiều đối với lớp hệ dương 2-D có trễ dạng (0.1) dựa trên
nội dung bài báo [8].

5


MỘT SỐ KÝ HIỆU
R+

Tập các số thực không âm

N0

Tập các số nguyên không âm

[n]

Tập hợp n số tự nhiên đầu tiên, [n] = {1, 2, . . . , n}

Rn


Vectơ x dương, tức là x = (xi ) ∈ Rn và xi > 0, ∀i ∈ [n]

|x|

= (|xi |) ∈ Rn+ với x = (xi ) ∈ Rn

|A|

= (|aij |)m×n với A = (aij ) ∈ Rm×n

0}

Rm×n Tập hợp các ma trận cỡ m × n.
X⊤

Ma trận chuyển vị của X

Sn

Tập các ma trận đối xứng trong Rn×n

Sn+

Tập các ma trận đối xứng xác định dương trong Rn×n

I

Ma trận đơn vị

6


‫ݔ(ݕ‬, ‫)ݐ‬

‫ݔ‬

Steam (or water)

Hình 1.1: Hệ điều khiển quá trình nhiệt

Mô hình (1.1) được sử dụng trong một số quá trình nhiệt trong các phản
ứng hóa học hay trong các ống nhiệt của lò hấp [9]. Trong thực tế, các tín hiệu
7


điều khiển thường được tổng hợp thông qua quá trình rời rạc hóa. Đặt
T (i, j) = T (i∆x, j∆t),

u(i, j) = u(i∆x, j∆t)

∂T (x, t)
T (i, j) − T (i − 1, j)
≈
,
∂x
∆x

∂T (x, t)
T (i, j + 1) − T (i, j)
≈
.


0

1

∆t
∆x

1−

∆t
∆x

− a∆t + bkc∆t
A0




xh (i, j)
xv (i, j)



,

i, j ∈ N.

(1.3)




A2 = 

0
∆t
∆x

0
1−

∆t
∆x

− a∆t + bkc∆t



.

Hệ (1.4) diễn tả mô hình hệ 2-D trong mô hình Fornasini-Marchesini thứ hai
(FM-II).


Trong hệ (1.3), vectơ trạng thái của hệ được xác định bởi x(i, j) = 



xh (i, j)
xv (i, j)




=

A11 A12
A21 A22
A0

y(i, j) = C1 C2







xh (i, j)
xv (i, j)

xh (i, j)
xv (i, j)





+

B1

φh (k)

X0

2

+ φv (k)

2

< ∞.

k=0

Để cho gọn, trong các phần sau ta viết chung là φh , φv ∈ l2 .

9


1.3.

Tính ổn định của hệ 2-D tuyến tính trong mô hình Roesser
Xét hệ 2-D tuyến tính được mô tả bởi mô hình Roesser sau đây:

 




xh (i + 1, j)

Định nghĩa 1.3.1. Hệ (1.7) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nghiệm bất kì
x(i, j) của (1.7) với điều kiện đầu (1.8) thỏa mãn
lim χr

r→∞

lim

sup

r→∞

x(i, j)

Đa thức đặc trưng của (1.7) được cho bởi

C(z1 , z2 ) = det 

(1.9)

= 0.

i+j=r

Inh − z1 A11

−z1 A12

−z2 A21


(1.10) được thỏa mãn. Thật vậy, kí hiệu A1 = [A11

A12 ] và A2 = [A21

A22 ] thì

từ hệ (1.7) có
xh (i + 1, j) = A1 x(i, j),

xv (i, j + 1) = A2 x(i, j).

Do đó
h
⊤ v
∆V (i, j) = x⊤ (i, j) A⊤
1 P A1 + A2 P A2 x(i, j)

− xh⊤ (i, j)P hxh (i, j) − xv⊤ (i, j)P v xv (i, j)

 
 
⊤
A1 
 A1
= x⊤ (i, j)   P   x(i, j) − x⊤ (i, j)P x(i, j)
A2

A2

= x⊤ (i, j) A⊤


xh (i, j)
xv (i, j)



 + Bu(i, j),

(2.1)

ở đó, như đã giới thiệu ở Chương 1, xh ∈ Rnh và xv ∈ Rnv là các vectơ trạng thái
theo phương ngang và dọc, u ∈ Rm là điều khiển đầu vào, A ∈ Rn×n (n = nh +nv )
và B ∈ Rn×nu là các ma trận thực cho trước.
Điều kiện đầu của (2.1) được xác định bởi các dãy φh : N0 → Rnh và
φv : N0 → Rnv như sau
xh (0, j) = φh (j), j ∈ N0 ,

2.1.

xv (i, 0) = φv (i), i ∈ N0 .

(2.2)

Hệ dương 2-D dạng Roesser
Trong mục này chúng tôi giới thiệu các điều kiện đặc trưng tính dương của

hệ (2.1).
Định nghĩa 2.1.1. Hệ (2.1) được gọi là hệ dương nếu với mọi điều kiện đầu
φh


Chú ý 2.1.1. Mệnh đề 2.1.1 có thể chứng minh dựa trên các biễu diễn nghiệm
kiểu chuỗi kép trong [10]. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi trình bày một chứng minh
kiểu quy nạp hai thang trên N20 .
Chứng minh. Điều kiện cần: Nếu B có ít nhất một phần tử âm, giả sử bij < 0
thì với φh = φv = 0, u = ej là vectơ đơn vị chính tắc thứ j của Rm , quỹ đạo
nghiệm tương ứng x(i, j) không thỏa mãn x(i, j)

0 với mọi i, j . Tương tự, nếu

ma trận A có ít nhất một phần tử âm, khi đó ta có thể chọn các dãy ban đầu
φh

0, φv

chứng tỏ A

0 và u(i, j) = 0 sao cho x(i, j)
0 và B

0 với mọi i, j ∈ N0 . Mâu thuẫn đó

0.

Điều kiện đủ: Giả sử A ∈ Rn×n
và B ∈ Rn×m
. Ta sẽ chứng minh với φh
+
+
φv


Bây giờ ta giả sử khẳng định đã được chứng minh cho Γp với 1 ≤ p ≤ q . Ta
chứng minh khẳng định trên cũng đúng với Γq+1 . Thật vậy, với bất kì (i, j) ∈ Γq+1
ta có (i, j) = (is + 1, j) = (i, js + 1), ở đó is = i − 1 và js = j − 1. Chú ý thêm rằng
13


(is , j) ∈ Γq và (i, js ) ∈ Γq . Do đó,

tức là x(i, j)

xh (i, j) = Jh Ax(is , j) + Bu(is , j)

0,

xv (i, j) = Jv Ax(i, js ) + Bu(i, js )

0,

0 trên Γq+1 . Vì N20 =

∞
q=0 Γq ,

nên ta có thể kết luận rằng x(i, j) ≥ 0

for all i, j ∈ N0 . Vậy hệ (2.1) là hệ dương. Mệnh đề được chứng minh.

2.2.

Tính ổn định của hệ dương 2-D tuyến tính

φ

h
Để đơn giản, dưới đây chúng tôi ký kiệu φ =   ứng với điều kiện đầu

φv

(2.2) và x(i, j, φ) là nghiệm tương ứng (2.4).

Mệnh đề 2.2.1. Giả sử hệ đóng (2.4) là hệ dương. Khi đó, với bất kì điều kiện
đầu φ cho bởi (2.2),
|x(i, j, φ)| ≤ x(i, j, |φ|)

đúng với mọi (i, j) ∈ N20 .
Chứng minh. Do giả thiết hệ (2.4) là hệ dương nên Ac




xh (i + 1, j)
xv (i, j

+ 1)

0. Từ đó suy ra

 = |Ac x(i, j)| ≤ Ac |x(i, j)|.
14

(2.5)

0 và η =   ∈ Rn là một vectơ dương thỏa mãn (2.6). Ta xét
ηv

hàm Lyapunov 2-D sau đây

V (x(i, j)) = ηh⊤ xh (i, j) + ηv⊤ xv (i, j) .

(2.7)

Vv (i,j)

Vh (i,j)

Sai phân của V = V (x(i, j)) được cho bởi
∆V = Vh (i + 1, j) − Vh (i, j) + Vv (i, j + 1) − Vv (i, j)
= ηh⊤ xh (i + 1, j) − xh (i, j) + ηv⊤ xv (i, j + 1) − xv (i, j)



= η ⊤ 

xh (i + 1, j)
xv (i, j

+ 1)






T2

1⊤
n x(i, j)

ǫηmin

T1

≤−

i=0 j=0

Vh (i + 1, j) − Vh (i, j)
j=0 i=0
T1

T2

−

Vv (i, j + 1) − Vv (i, j)
i=0 j=0

T2

=

Vh (0, j) − Vh (T1 + 1, j)
j=0

≤
ǫηmin
1

∞

φ(k)

1

< ∞.

i,j=0

: i + j = r} = 0. Do vậy hệ đóng (2.4) là ổn

định tiệm cận. Định lí được chứng minh.
Chú ý 2.2.1. Với điều kiện Ac

0, điều kiện (2.6) tương đương với điều kiện

sau đây
∃ν ∈ Rn , ν ≻ 0 : Ac ν − ν ≺ 0.

2.3.

(2.11)

Thiết kế điều khiển
Trong mục này chúng tôi xét bài toán thiết kế điều khiển phản hồi (2.3)

0.

Kết hợp (2.13), (2.14) ta có kết quả sau.
Định lí 2.3.1. Giả sử (2.1) là hệ dương. Khi đó, tồn tại điều khiển phản hồi
(2.3) sao cho hệ đóng (2.4) là hệ dương ổn định khi và chỉ khi bài toán quy hoạch
tuyến tính sau đây có nghiệm ν ∈ Rn , ν ≻ 0 và Z ∈ Rm×n :


Aν + BZ1n − ν ≺ 0

ADν + BZ

(2.15)

0.

Ma trận đạt được của điều khiển được cho bởi K = ZDν−1 .

2.4.

Ví dụ minh họa
Xét hệ điều khiển (2.1) với các ma trận


A=

0.8 0.1

0.3 0.9


η

1
không có nghiệm η =   ≻ 0, tức là điều kiện (2.6) không thỏa mãn. Do đó,

η2

theo Định lí 2.2.1, hệ mở tương ứng (với u(i, j) = 0) là không ổn định. Để minh

họa, chúng tôi lấy các dãy điều kiện đầu φh (j) = φv (i) = 0.1, 0 ≤ i, j ≤ 100. Quỹ
đạo nghiệm tương ứng của hệ mở được cho trên Hình 2.1 dưới đây. Kết quả mô
phỏng đó chỉ ra rằng hệ mở là hệ không ổn định.

8

x h (i,j)

6
4
2
0
100
100

j

50

50
0

xv (i, j)

Hình 2.1: Một quỹ đạo nghiệm của hệ mở của (2.1)

Bây giờ ta áp dụng Định lí 2.3.1 để thiết kế điều khiển phản hồi dạng (2.3)
sao cho hệ đóng (2.4) là hệ dương ổn định. Sử dụng gói công cụ LinProg trong
18


Matlab chúng tôi tìm được nghiệm tối ưu với ràng buộc
 
 
 
 
là



0.1

0.1





ν=

1


−0.1323

−0.1128

(2.16)

Z = −0.7141 −0.7078 .

 ≺ 0,

ADν + BZ = 



0.2431 0.0178



0.

0.0465 0.7260

Hơn nữa, ma trận đạt được của điều khiển được cho bởi
K = ZD −1 ν = −1.8161 −0.7995 .

(2.17)

Theo Định lí 2.3.1, hệ đóng của (2.1) với điều khiển phản hồi xác định bởi (2.3)
và (2.17) là hệ dương ổn định. Một quỹ đạo nghiệm của hệ đóng (2.4) với điều
khiển xác định bởi (2.3), (2.17) được cho trên Hình 2.2. Kết quả mô phỏng trên


5

x v (i,j)

4
3
2
1
0
100
100

j

50

50
0
(b)

i

0
xv (i, j)

Hình 2.2: Một quỹ đạo nghiệm của hệ đóng (2.4)

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Chương 2 của luận văn này nghiên cứu về tính ổn định và ổn định hóa