Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Khảo sát hàm số

CHUYÊN ĐỀ 1

KHẢO SÁT HÀM SỐ
2x  1
.
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số.

Bài 1. Cho hàm số y 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ x 0 , biết x 0 là nghiệm dương của
phương trình 4y ' 3  0 .

HƯỚNG DẪN GIẢI
a)
● Tập xác định: D   \ 1 .
●

Sự biến thiên:
-

Chiều biến thiên: y ' 

3
2

x  1


x




b) Ta có y ' 

3
2

x  1



nên 4y ' 3  0  y '  


1 | Trang

1
2

3
2

x  1




2
4

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y  

3
7
3
23
.
x  3    x 

4
2
4
4

1 , với m là tham số thực.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  0 .
Tìm m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị có hồnh độ x1 , x 2 thỏa mãn:

Bài 2. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  m  2
a)
b)

x12  x 22  3 x1  x 2   12 .

HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Với m  0 , hàm số trở thành: y  x 3  3x 2  2 .
●

x
-2

O
-2

2 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Khảo sát hàm số

b) Ta có y '  3x 2  6x  m .
Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị  phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt
  'y '  9  3m  0  m  3 .

Khi đó các điểm cực trị có hồnh độ x1 , x2 là nghiệm của phương trình y '  0 . Theo Viet, ta có

x1  x 2  2 và x1x 2 

m
.
3

u cầu bài tốn x12  x 22  3 x1  x 2   12
2


Chiều biến thiên: y ' 

3
2

x  1

 0, x  D .

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1;  .
-

Giới hạn và tiệm cận:
lim y  lim  2 ; tiệm cận ngang: y  2

x 

x 

lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 .

x 1

-

x 1

Bảng biến thiên

3 | Trang

 a  1 
d :y 

3
2

a  1

x  a  

2a  1
.
a 1

 2a  4 
 và d  TCN  B 2a  1;2 .
Ta có d  TCĐ  A 1;
 a  1 
 2a  1 
M .
Suy ra trung điểm của AB là N a;
 a  1 
 2a  1
2
2
  10
Từ giả thiết bài tốn, suy ra IN 2  10  a  1  

2
 a  1

Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là: M 0; 1 hoặc M 2; 5 hoặc M 4; 3 hoặc M 2;1 .

1 , với m là tham số thực.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 .
Tìm m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị A , B sao cho A , B

Bài 4. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  2
a)
b)

và M 1; 2 thẳng hàng.

HƯỚNG DẪN GIẢI
3

a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  x  3x 2  2 .
● Tập xác định: D   .
● Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 .
Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; nghịch biến trên khoảng 0;2 .
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 , yCD  2 ; đạt cực tiểu tại x  2 , yCT  2 .
4 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Khảo sát hàm số



Suy ra MA  1; 4  , MB  2m  1; 4  4m 3 .









Để A , B và M thẳng hàng  1. 4  4m 3  4. 2m  1

 4m 3  8m  0  m  0 hoặc m   2 .
Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m cần tìm là: m   2 .
Cách 2. Ta có y '  3x 2  6mx ; y '  0  x  0 hoặc x  2m .
Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt
 2m  0  m  0 .

1
m
Ta có y   x   y ' 2m 2x  2 .
 3
3 
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A , B là d : y  2m 2x  2 .
u cầu bài tốn  M  d  2  2m 2 .1  2  m   2 .
Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m cần tìm là: m   2 .
Nhận xét: Cách 1 áp dụng khi ta tìm được cụ thể tọa độ các điểm cực trị theo m . Cách 2 cho trường hợp ta
khơng tìm được cụ thể tọa độ các điểm cực trị.


x  1
Các khoảng nghịch biến ; 1 và 0;1 ; Các khoảng đồng biến 1; 0 và 1;  .





-

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  1 ; đạt cực đại tại x  0 , yCD  2 .

-

Giới hạn tại vơ cực: lim y  lim y   .

-

Bảng biến thiên

x 

x 





Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt  2;2 ,





m ;2  m 2 , C  m ;2  m 2 .



Suy ra tọa độ trung điểm của BC là H 0;2  m 2 .
Theo giả thiết bài tốn ta có:
1
1
AO .BH  2  .2. m  2  m  4 .
2
2
Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m cần tìm là: m  4 .
SABO  2 

Bài 6. Cho hàm số y 

6 | Trang

3x  4
.
4x  3
www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Khảo sát hàm số



Giới hạn và tiệm cận:
3
3
lim y  lim y  ; tiệm cận ngang: y  .
x 
x 
4
4
lim y   và
x 

3
4



2

4x  3

 0, x  D .

3
lim y   ; tiệm cận đứng: x   .

4
3

x 

 3a  4 
3
  C  , a   .
b) Gọi A a;
 4a  3 
4
Phương trình tiếp tuyến của C  tại A có dạng: d : y 

25

3a  4

x  a   4a  3 .
2
4
a

3



 12a 2  32a  12 

Ta có d  Ox  B 
; 0 .

25

Theo giả thiết bài tốn ta có AO  AB
7 | Trang

25

2

12a 2  7a  12
1
 2a 2  3a  2  0  a  2 hoặc a  (loại).
25
2
Suy ra A 2;2 .

●

a

●

 12a 2  7a  12 

  12a 2  32a  12  0 (loại vì B 0; 0  O ).
a   


25


Vậy A 2;2 thỏa u cầu bài tốn.
Cách 2. Gọi H là hình chiếu của A trên Ox , suy ra H a; 0 .
Tam giác OAB cân tại A nên AH vừa là đường cao vửa là đường trung tuyến.
Do đó H là trung điểm OB . Điều này tương đương với


1
(loại).
2

Nhận xét. Cách 1 xuất phát từ ý tưởng thơng thường nên các em hay chọn cách này. Cách 2 và 3 đòi hỏi các
em có khả năng tư duy về hình học một chút.

1 , với m là tham số thực.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  0 .
Tìm m để hàm số 1 đồng biến trên khoảng 0; .

Bài 7. Cho hàm số y  x 3  3x 2  3mx  3
a)
b)

HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Với m  0 , hàm số trở thành: y  x 3  3x 2  3 .
●
●

Tập xác định: D   .
Sự biến thiên:
-

Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 .
Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; nghịch biến trên khoảng 0;2 .

-



-1

2

x

b) Ta có y '  3x 2  6x  3m .
Cách 1. Phương pháp hàm số
Hàm số 1 đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi y '  0 , x  0
 3x 2  6x  3m  0 , x  0

 m  x 2  2x , x  0 .

Xét hàm số f x   x 2  2x với x  0 .
Ta có f ' x   2x  2 ; f ' x   0  x  1 .
Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta được giá trị của m thỏa mãn u cầu bài tốn là: m  1 .
Cách 2. Phương pháp tam thức bậc hai
Hàm số 1 đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi y '  0 , x  0
 3x 2  6x  3m  0 , x  0 hay g x   x 2  2x  m  0 , x  0 .

●

 '  1  m  0
Trường hợp 1. g x   0 , x    
 m  1.

a  1  0

một vế. Cách 2 thì dùng được cho mọi trường hợp nhưng khó hơn.

Bài 8. Cho hàm số y 

x 1
.
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số.
b) Tìm điểm M thuộc C  có tọa độ ngun, biết khoảng cách từ O đến tiếp tuyến tại của C  tại M
bằng

1
khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị đến tiếp tuyến đó ( O là gốc tọa độ).
4

HƯỚNG DẪN GIẢI
a)
●

Tập xác định: D   \ 1 .

●

Sự biến thiên:
-

Chiều biến thiên: y ' 

2


10 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Khảo sát hàm số
y

1
-1 

-1

x
1

 a  1 
  C  , a  1 và a   .
b) Gọi M a;
 a  1
Phương trình tiếp tuyến của C  tại M có dạng:
d :y 

a 1

2
2


4  a  1

a 2  2a  1  1  a

.
 a  2a  1  1  a   2
a  2a  1  1  a

2

3  17
(loại).
2
M 0; 1
0
 
.
1
M 1; 0

●

Với a 2  2a  1  1  a  a 2  3a  2  0  a 

●

a
Với a 2  2a  1  1  a  a 2  a  0  
a

11 | Trang

x 

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

●

Khảo sát hàm số

Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 2;1 , 2; 3 .
y

1

x

-1
O

-1

1

-3

b) Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị C  là






 f ' x1  .f ' x 2   27  3x12  3 3x 22  3  27
2





 x1x 2   x12  x 22  1  3
2

2

 x1x 2   x1  x 2   2x1x 2   1  3



 m 2  2m  3  0  m  1 hoặc m  3 .
Đối chiếu điều kiện để d cắt C  tại ba điểm phân biệt ta được: m  1 .
Bài 10. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 1 , với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 .
b) Tìm m để hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng

2
độ dài cạnh bên.
3


-

Giới hạn tại vơ cực: lim y  lim y   .

-

Bảng biến thiên

x 

x 





Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt  2; 0 ,



2; 0 và nhận Oy làm trục đối xứng.

y

x

1

-1

m  m4
3
3

 3  1  m3  m  2 .
Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m cần tìm là: m  2 .
x 2
.
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số.
Bài 11. Cho hàm số y 

b) Tìm m để đường thẳng d : y  x  2m cắt C  tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn
biểu thức A  x12x 2  x 22x1  x1  x 2  2 đạt giá trị lớn nhất.

HƯỚNG DẪN GIẢI
a)
● Tập xác định: D   \ 1 .
●

Sự biến thiên:

13 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

-


x 1

Bảng biến thiên

Đồ thị C  cắt Ox tại 2; 0 , cắt Oy tại 0; 2 và nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm cận
làm tâm đối xứng.
y

1

x
2

-1 
-2

b) Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị
x 2
 x  2m x  1
x 1

 x  2  x  2m x  1  x 2  2mx  2m  2  0.

1

Để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phần biệt  phương trình

m  1  3


2

3
thỏa mãn điều kiện * .
4
3
1
Vậy với m   thì A đạt giá trị lớn nhất bằng .
4
4

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: m  

Bài 12. Cho hàm số y  2x 3  3 m  1 x 2  6mx
14 | Trang

1 , với m

là tham số thực.
www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Khảo sát hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 .
b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 có các điểm cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu cách
đều đường thẳng d : y  x  2 .


Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 2; 4  , 2; 4  .
y
4

-1 O

1

x

-4

b) Ta có y '  6x 2  6 m  1 x  6m ; y '  0  x  1 hoặc x  m .
Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị  phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt  m  1 .





Tọa độ các điểm cực trị: A 1; 3m  1 , B m; m 3  3m 2 .
u cầu bài tốn  d A; d   d B; d 


1  3m  1  2



m  m 3  3m 2  2

11

2

   m  1  4m  0  m  1  0  m  1 .
Tọa độ các điểm cực trị A x1; y1  , B x 2 ; y2  với x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình y '  0 . Theo Viet,
ta có x1  x 2  m  1 và x1x 2  m .

1
2
m  1
 y ' m  1 x  m m  1 .
Ta có y   x 
 3
6 
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
2

y   m  1 x  m m  1 .
2

2

Do đó y1   m  1 x1  m m  1 và y2   m  1 x 2  m m  1 .
u cầu bài tốn  d A; d   d B; d 


x1  y1  2



x 2  y2  2


2

Với x 1  x 2   y1  y2   0  x1  x 2   m  1 x1  x 2   0


2
 x1  x2  1  m  1   0 .


2

Phương trình vơ nghiệm do x1  x 2 và 1  m  1  0 .
●

Với x1  x 2   y1  y2   4  0
2

 x1  x 2   m  1 x1  x 2   2m m  1  4  0
2

 m  1  m  1 m  1  2m m  1  4  0
 m 3  3m 2  2m  6  0
 m  3 hoặc m   6 .

Đối chiếu điều kiện, ta được giá trị m cần tìm là: m  3 hoặc m   6 .
Nhận xét. Các em nên làm theo Cách 1, cực chẳng đã khi khơng biểu diễn được tọa độ các điểm cực trị theo
m thì mới làm Cách 2 này.

Bài 13. Cho hàm số y 


3
2

x  1

 0, x  D .

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1;  .
-

Giới hạn và tiệm cận:
lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang: y  2 .

x 

x 

lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 .

x 1

-

●

x 1

Bảng biến thiên


 9  
 
.
M 2;1
a  2

 a 1  3
2

 a  1

Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài tốn là: M 4; 3 hoặc M 2;1 .
Bài 14. Cho hàm số y  x 3  6x 2  9x .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số.

17 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Khảo sát hàm số

b) Tìm điểm M thuộc C  có tọa độ ngun sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M tạo với đường thẳng

4

 : x  y  1  0 một góc  thỏa mãn cos  



Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 0; 0 , 4; 4  .
y

4

x
O



1

3



b) Gọi M a; a 3  6a 2  9a  C  . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng





d : y  3a 2  12a  9 x  a   a 3  6a 2  9a .


Tiếp tuyến d có VTPT nd  3a 2  12a  9; 1 ;  có VTPT n   1;1 .




2

2. 3a  12a  9



2


1

4
41

 9t 2  82t  9  0  t  9 hoặc t 

.

1
.
9

a  0  M 0; 0
Với t  9 , suy ra 3a 2  12a  9  9  
.
a  4  M 4; 4 

18 | Trang

www.noon.vn


a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  x  2x 2  3 .
● Tập xác định: D   .
● Sự biến thiên:
-

Chiều biến thiên: y '  4x 3  4x ; y '  0  x  0 hoặc x  1 .
Các khoảng nghịch biến ; 1 và 0;1 ; các khoảng đồng biến 1; 0 và 1;  .

●

-

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  2 ; đạt cực đại tại x  0 , yCD  3 .

-

Giới hạn tại vơ cực: lim y  lim y   .

-

Bảng biến thiên

x 

x 





 

 



A 0;2m 2  1 , B m; m 4  2m 2  1 , C m; m 4  2m 2  1 .

19 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Khảo sát hàm số

 
2  

2
Ta có MB  m  1;  m 2  1  , MC  m  1;  m 2  1  .









m   2




 

 1  m 2  1  m2



4



 

3

   0

Đối chiếu điều kiện, ta được giá trị m cần tìm là: m  1 hoặc m   2 .
2x  3
.
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số.

Bài 16. Cho hàm số y 

b) Tìm m để đường thẳng d : x  3y  m  0 cắt C  tại hai điểm phân biệt M , N sao cho tam giác

x 

lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng : x  1 .

x 1

x 1

Bảng biến thiên

●

3 
Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0; 3 và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận làm
 2 
tâm đối xứng.

20 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Khảo sát hàm số

y

3
2




Ta có AM  x1  1, y1  , AN  x 2  1, y2  .
 
Tam giác AMN vng tại A , nên AM .AN  0

 x1  1x 2  1  y1y2  0
1
x  m x 2  m   0
9 1
 10x1x 2  m  9x1  x 2   m 2  9  0
 x1  1x 2  1 

 10 9  m   m  95  m   m 2  9  0
 6m  36  0  m  6.
Vậy m  6 thỏa mãn u cầu bài tốn.

Bài 17. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2

1 ,

với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  0 .
b) Tìm m để hàm số 1 có hai điểm cực trị đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường
thẳng d : 2x  y  1  0 một góc bằng 450 .

HƯỚNG DẪN GIẢI
3

●

Khảo sát hàm số

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 3; 2 , 1;2 .
y

2
x
-2 -1 O
-2

b) Ta có y '  3x 2  6x  m .
Hàm số có hai cực trị  phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt
  '  9  3m  0  m  3 .
1
 2m

1
m
Ta có y   x   y ' 
 2 x  2  .

 3
 3
3 
3


2

9



1
2

7
3
hoặc m   .
2
2
3
thỏa u cầu bài tốn.
2

x 3
.
1x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số.
b) Đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2 và có hệ số góc là m . Tìm m để d cắt C  tại hai điểm phân biệt


M , N thỏa mãn AM  2AN .

HƯỚNG DẪN GIẢI
22 | Trang

x 1

x 1

- Bảng biến thiên

● Đồ thị C  cắt Ox tại 3; 0 , cắt Oy tại 0; 3 và nhận giao điểm I 1; 1 của hai đường tiệm cận làm
tâm đối xứng.

y

1

3

x

O

-1
-3

b) Phương trình của đường thẳng d : y  m x  1  2 .
Phương trình hồnh độ giao điểm giữa d và C  là
x 3
 m x  1  2 x  1
1x
 x  3  m x  1  2 1  x 




Khảo sát hàm số

Giả sử M x1; y1  , N x 2 ; y2  là tọa độ giao điểm của d và C  .


x  x  2m  1
2
 1
m .
Khi đó x1 , x2 là nghiệm của * . Theo Viet, ta có 

m 1
x1x2 
m



Ta có AM  x1  1; y1  2 và AN  x 2  1; y2  2 .


Để thỏa mãn AM  2AN

 x1  1  2 x 2  1  x1  3  2x 2 .
2m  1
ta được:
m

Từ x1  3  2x2 , kết hợp x1  x 2 


Bài 19. Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số.
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d : y  m x  1 tại ba điểm phân biệt có hồnh độ là x1 , x 2 ,
x 3 thỏa mãn x 12  x 22  x 32  5 .

HƯỚNG DẪN GIẢI
a)
● Tập xác định: D   .
● Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 .
Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; nghịch biến trên khoảng 0;2 .
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 , yCD  2 ; đạt cực tiểu tại x  2 , yCT  2 .
- Giới hạn tại vơ cực: lim y   ; và lim y   .
x 

x 

- Bảng biến thiên

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1; 2 , 3;2 .
24 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Khảo sát hàm số
y



m  3
 '  1  m  2  0
 2
 
 m  3 .
1  2.1  m  2  0
m  3



Giả sử x1  1 . Khi đó x2 , x 3 là hai nghiệm của phương trình * .
Theo Viet, ta có x 2  x 3  2 và x 2x 3  m  2 .
u cầu bài tốn x12  x 22  x 32  5  x 22  x 32  4
2

 x 2  x 3   2x 2x 3  4
 4  2 m  2  4  m  2 .
Đối chiếu điều kiện để d cắt C  tại ba điểm phân biệt ta chọn m  2 .

1 , với m là tham số thực.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 .
Với những giá trị nào của m thì hàm số 1 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành

Bài 20. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4
a)
b)

một tam giác có diện tích bằng 4 2 .