TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

LƢU THỊ HỒNG YÊN

ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO
VÀO DÃY SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2015


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã nhận đƣợc
rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, nhờ đó
mà em đã tiếp thu đƣợc nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phƣơng pháp
học tập mới, bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán –
Trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 – những ngƣời đã tận tình dạy dỗ em trong
bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận này.


K37A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................... 1
3. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................... 1
4. Cấu trúc ............................................................................................................. 2
NỘI DUNG ........................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................. 3
1.1 Sai số ............................................................................................................... 3
1.1.1 Số gần đúng .................................................................................................. 3
1.1.2 Sai số tuyệt đối ............................................................................................. 3
1.1.3 Sai số tƣơng đối ............................................................................................ 5
1.2 Một số định lí về dãy số .................................................................................. 6
1.3 Một số định lí về hàm số liên tục .................................................................... 9
1.4 Không gian metric ......................................................................................... 12
1.5 Nguyên lí ánh xạ co....................................................................................... 16
1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz ........................................................................... 16
1.5.2 Ánh xạ co .................................................................................................. 16
1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach ................................................................ 17
1.5.4 Ví dụ ........................................................................................................... 22
CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢI PHƢƠNG
TRÌNH ................................................................................................................. 25

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ra đời vào cuối thế kỉ XVIII, Giải tích toán học có một vị trí quan trọng
trong chƣơng trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên của các trƣờng
Đại học sƣ phạm và các trƣờng kĩ thuật. Đây là môn học hấp dẫn với các sinh
viên, khi giải quyết các bài toán ngƣời học gặp phải những tình huống , những
giả thiết phức tạp. Điều này đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức về
toán học liên quan và kiến thức về phần mềm về lập trình tính toán.
Điểm bất động là một khái niệm xuất hiện sớm trong Toán học giải tích. Lý
thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm – một môn học
cơ bản vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi. Nói đến lý
thuyết điểm bất động thì không thể không nhắc đến kết quả kinh điển của nó, đó
là: Nguyên lí ánh xạ co của Banach.
Nguyên lí ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong Toán học. Nó dùng để
chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình đại số và siêu việt,
hệ phƣơng trình tuyến tính, phƣơng trình tích phân, phƣơng trình vi phân,…
Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “ Ứng dụng của
nguyên lí ánh xạ co vào dãy số ’’ nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm
phong phú thêm kiến thức của mình và ứng dụng trong giải toán ở THPT và đại
học.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Sự phát triển của Giải tích toán học nói riêng và của Toán học nói chung
đƣợc quy định bởi sự phát triển những nhu cầu có tính thực tiễn nhất định.
Nghiên cứu ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số là mục đích chính
của khóa luận này.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
+ Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận.
Lưu Thị Hồng Yên

1

Trong chƣơng này chúng ta sẽ trình bày về sai số, một số định lí về dãy số,
hàm số liên tục, không gian metric và nguyên lí ánh xạ co.
Tài liệu tham khảo của chƣơng này bao gồm các tài liệu: [1], [2], [4] và [5].
1.1 Sai số
1.1.1 Số gần đúng
Trong nhiều trƣờng hợp, ta không biết đƣợc giá trị đúng của các đại lƣợng
mà ta quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó.
Ta gọi a là số gần đúng của a  nếu a không sai khác a  nhiều.
Ví dụ 1.1
Theo tổng cục thống kê, đứng đầu một trong 5 tỉnh thành có sản lƣợng tôm
lớn nhất cả nƣớc năm 2014 là: Cà Mau là tỉnh có sản lƣợng tôm lớn nhất nƣớc
đạt hơn 116.000 tấn . Bạc Liêu giữ vị trí thứ hai với sản lƣợng 95.700 tấn. Ở vị
trí thứ ba là Sóc Trăng với sản lƣợng 67.312 tấn. Tiếp đến là Bến Tre có sản
lƣợng là 52.000 tấn và cuối cùng là Kiên Giang với 51.430 tấn.
Các số liệu trên là số gần đúng.
1.1.2 Sai số tuyệt đối

Giả sử a là số gần đúng của a  . Giá trị a  a phản ánh mức độ sai lệch

giữa a và a  .
Ta gọi đại lƣợng  : a  a là sai số thực của a .
Nếu   0 thì a đƣợc gọi là số gần đúng thiếu của a  .
Nếu   0 thì a đƣợc gọi là số gần đúng thừa của a  .

Lưu Thị Hồng Yên

3

K37A Sư phạm Toán


2 và giá trị gần đúng của nó là a = 1,41. Hãy cho biết

sai số tuyệt đối của nó.
Bài giải
Ta có (1,41)2  1,9881  2 suy ra 1,41  2 suy ra

2  1,41  0

(1,42)2  2,0164  2 suy ra 1,42  2 suy ra 2  1,42  0,01

Do đó:  : a*  a 

2  1,41  0,01

Suy ra  a = 0,01
Mặt khác 1,41  2  1,415  1,41  0,005
Do đó cũng có thể lấy sai số tuyệt đối của a là  a = 0,005.

Lưu Thị Hồng Yên

4

K37A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

1.1.3 Sai số tương đối


(1.7)

Ví dụ 1.3
Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta đƣợc a  10cm và b  1cm với
a  b  0,01 . Khi đó ta có:

0,01
 0,1%
10
0,01
b 
 1%
1

a 

Suy ra :  b  10 a
Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn phép đo b mặc dù  a  b . Nhƣ
vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tƣơng đối.

Lưu Thị Hồng Yên

5

K37A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2


 Dãy không hội tụ đƣợc gọi là dãy phân kỳ. Nhƣ vậy, nếu dãy phân kỳ thì
hoặc nó không có giới hạn, hoặc nó có giới hạn vô cùng.
 Dãy số  xn  đƣợc gọi là dãy tăng (giảm) nếu với n ta có xn  xn1

 xn1  xn . Dãy số tăng hoặc dãy số giảm đƣợc gọi chung là dãy đơn điệu.
 Dãy số  xn  đƣợc gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho n
ta có xn  M .

Lưu Thị Hồng Yên

6

K37A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

 Dãy số  xn  đƣợc gọi là bị chặn dƣới nếu tồn tại số thực m sao cho n
ta có xn  m.
Một dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dƣới đƣợc gọi là dãy bị chặn.
 Dãy  xn  đƣợc gọi là dãy Cauchy nếu:
  0, n0  ℕ sao cho n, m  n0 ta có xm  xn   .

 Các điều kiện hội tụ
Định lí 1.2.1 ( Điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu )
a) Nếu dãy  xn  tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và
lim xn  sup xn
n

Lưu Thị Hồng Yên

7

K37A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Giả sử dãy  xn  hội tụ, tức là lim xn  a . Thế thì,
n

với   0 cho trƣớc n0 ℕ sao cho xn  a 
xm  a 


2


2

với n  n0 và

với m  n0 . Từ đó suy ra rằng:

xn  xm   xn  a    a  xm   xn  a  a  xm 




xnk   

có:


2

.

Mặt khác, theo giả thiết ta có thể chọn đƣợc số n3 sao cho với k  n3 ta
xk  xnk 

có:


2

( với nk  k ).

Do đó với k  n0  max n2,n3 , ta sẽ có:

Lưu Thị Hồng Yên

8

K37A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

có giới hạn. Ta đi chứng minh cho một phép toán ( cộng ) trong định lí này còn
các phép toán khác chứng minh tƣơng tự.
Thật vậy:
Vì f ( x) và g ( x) liên tục tại x0 . Theo định nghĩa hàm số liên tục tại một
điểm ta có:

lim f ( x)  f ( x0 ) và lim g ( x)  g ( x0 )

x x0

x x0

Theo tính chất giới hạn hàm số ta có:
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  f ( x0 )  g ( x0 )

x x0

x x0

x x0

  f ( x)  g ( x) liên tục tại x0 (điều phải chứng minh).
Vậy định lí đƣợc chứng minh.
Định lí 1.3.2
Các hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hàm số lƣợng giác là liên tục trên tập xác
định của chúng.
Chứng minh

Lưu Thị Hồng Yên


b, F  x  

f  x
; g  x   0.
g  x

TXĐ: D  ℝ \  x : g  x   0
Lấy x0 là điểm bất kì thuộc D . Cho x0 một số gia x ta có :
y  F  x0  x   F  x0  =

f  x0  x  f  x0 

g  x0  x  g  x0 

 f  x0  x  f  x0   f  x0  f  x0 


0
Khi đó: lim y  lim 
 =
x0
x0 g  x  x 
g
x
g
x
g
x



 .sin 

2
2




x 
x

 2cos  x0 
 .sin
2 
2


x 
x

Khi đó: lim y  lim 2.cos  x0 
= 2 cos x0 . 0 = 0
.sin

x0
x0
2
2




x 
x

Khi đó: lim y   lim 2.sin  x0 
.sin
 2.sin x0 .0  0

x0
x 0
2 
2


( vì x  0 nên

x
 0)
2

Vậy hàm số y  cos x liên tục tại x0 . Do x0 bất kì nên hàm số y  cos x
liên tục trên ℝ.
Chứng minh tƣơng tự đối với hàm tan x,cot x .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lí 1.3.3
Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên  a, b thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất và mọi giá trị trung bình giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn
đó.
Lưu Thị Hồng Yên


(1.9)

(1.9) xác định cho ta một metric trên ℝ và gọi là metric tự nhiên trên ℝ.
Không gian metric tƣơng ứng đƣợc kí hiệu là ℝ1.
Ví dụ 1.5
1
2


2
X  ℝk , d  x, y     xi  yi  ; x   x1, x2 ,..., xk  ,
 i 1

k

y   y1, y2 ,..., yk   ℝk

(1.10)

(1.10) đƣợc gọi là một metric trên ℝk và gọi là metric Ơclit trên ℝk.
Lưu Thị Hồng Yên

12

K37A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp


Thật vậy, giả sử dãy điểm x n  = x1 , x2 ,..., xk
n

n

n

  n  1,2,... hội tụ tới

điểm x   x1, x2 ,..., xk  trong ℝk. Theo định nghĩa:

  0 , n0 ℕ*, n  n0



n

   x   x 

d x ,x 

k

n

j

j 1


tụ tới số thực x j khi n   sự hội tụ đó đƣợc gọi là sự hội tụ theo tọa độ.



   

Ngƣợc lại, giả sử dãy điểm x n  = x1 , x2 ,..., xk
n

n

n

  n  1,2,... hội tụ theo

tọa độ tới điểm x   x1, x2 ,..., xk  theo định nghĩa:

  0 (với mỗi j  1,2,..., k ) , n j ℕ*, n  n j , xj   x j 
n


k

.

Đặt n0  max n1 , n2 ,..., nk  , thì  n  n0  ta có:

xj   x j 
n


j

 j  1,2,..., k 

;

k



2
k

;

 j  1,2,..., k 

2

 xj

  2 ; n  n0



2

  ; n  n0

Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo metric Ơclit của không gian ℝk.


  0 , n0 ℕ*, m, n  n0 , d  xm , xn    .
Hay lim d  xm , xn   0
m ,n

Dễ thấy mọi dãy điểm  xn  hội tụ trong M đều là dãy cơ bản, vì:
Giả sử  xn  hội tụ đến x0



   0 , n0 ℕ*, m  n0 , d  xm , x0   .
2

 
Mặt khác d  xm , xn   d  xm , x0   d  x0 , xn  <    ;  m, n  n0 .
2 2
Vậy   0 , n0 ℕ*, m, n  n0 , d  xm , xn    .
Định nghĩa 1.4.7
Không gian metric M   X , d  gọi là không gian đủ nếu mọi dãy cơ bản
trong không gian này đều hội tụ.
Ví dụ 1.9

X  ℝk với metric Ơclit là không gian metric đầy.
Giả sử

 x   ℝk là một dãy cơ bản, x   x , x ,..., x  , x
n

n



m
   xi  x
 i 1
k

hay là



n 2
i

1
2


   ;  m, n  n0


   xi m  xi n    2
k

2

i 1

 ( xi m  xi n )2   2
 | xi m  xi n |  ;  m, n  n0 ; i  1, k .
Suy ra với mỗi i {1,2,..., k } thì dãy  xin  là một dãy số thực thỏa mãn tiêu

Khóa luận tốt nghiệp

Nhƣ vậy ánh xạ co là một trƣờng hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển
nhiên nó là liên tục.
1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach
Giả sử X là một không gian metric đủ và f : X  X là một ánh xạ co của
X vào chính nó thì có duy nhất một điểm bất động nghĩa là tồn tại duy nhất một

điểm x  X sao cho f ( x)  x .
Chứng minh
Lấy x0 là một điểm tùy ý thuộc X và đặt:
xn1    xn  với n  0,1,2,...
  xn  là một dãy trong X .

Vì f là ánh xạ co từ X vào chính nó nên   0,1 thỏa mãn:
d  f  x1  , f  x0     d  x1, x0 

Do đó ta có:
d  x2 , x1   d  f  x1  , f  x0  
  d  x1, x0 

  d  f  x0  , x0 
d  x3 , x2   d  f  x2  , f  x1  

  d  x2 , x1 

  2d  f  x0  , x0 

……………………………………………
d  xn1, xn   d  f  xn  , f  xn1     d  xn , xn1    nd  f  x0  , x0 

Suy ra lim d  xn p , xn   0 ; p = 1,2,…
n

Do đó  xn  là một dãy cơ bản trong không gian metric đủ  X , d  .
  xn  hội tụ nên x  X : lim xn  x . Do đó:
n

       
 d  f  x  , f  x   d  x , x 

0  d f x , x  d f x , xn  d xn , x
n 1



 

n



  d x, xn1  d xn , x  0; n  

  



 d f x ,x  0  f x  x X.
Vậy x là điểm bất động của f .
 x là duy nhất


K37A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Vậy x là điểm bất động duy nhất của f .
Định lí 1.5.1 ( Nguyên lí Cantor về dãy hình cầu đóng thắt dần )
Không gian metric M   X , d  là không gian metric đầy khi và chỉ khi mọi
dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất.
Chứng minh
 Điều kiện cần

 

Giả sử M   X , d  là một không gian metric đầy và Sn ; Sn : Sn  an , rn  ,

n  ℕ là một dãy hình cầu đóng thắt dần bất kì trong M .
Ta có:
Sm  Sn ; m  n .
 am  Sn ; m  n .

 0  d  am , an   rn ; m  n .

Do lim rn  0 suy ra lim d  am , an   0.
m ,n

n

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Giả sử b 



Khóa luận tốt nghiệp

Sn , ta có a, b  Sn ; n ℕ

n 1

0  d  a, b   d  a, an   d  an , b   2r ; n ℕ

Chọn n   thì 0  d  a, b   0  d  a, b   0
Suy ra a  b.
 Điều kiện đủ
Giả sử không gian metric M   X , d  thỏa mãn tính chất: Một hình cầu
đóng thắt dần bất kì đều có điểm chung duy nhất, ta chứng minh không gian này
đầy.
Lấy một dãy cơ bản bất kì  xn  trong M , ta chứng minh dãy này hội tụ.
Ta có   0 , n0 ℕ*, n, m  n0 , d  xn , xm    .

1
1
Với 1  , n1  ℕ*, n, m  n1 , d  xn , xm   .
2
2
Với  2 


1
.
22

 

Lặp lại quá trình này vô hạn lần ta thu đƣợc dãy xnk là dãy con của dãy

 xn 





thỏa mãn: d xnk 1 , xnk 

1
; k  1,2,...
2k

Lập một dãy hình cầu đóng:





S1 : S1 xn1 ,1

Lưu Thị Hồng Yên