Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
---------------------------------


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------------------- NGUYỄN THỊ HÕA

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 MỤC LỤC
Mở đầu ...................................................................................................1

Chương 1. NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM
1.1. Bổ đề KKM ………………………………………………………..3
1.2. Nguyên lí ánh xạ KKM ……………………………………………7
1.3. Bất đẳng thức Ky Fan ……………………………………………10

Chương 2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ
2.1. Nón và quan hệ thứ tự theo nón ………………………………… 13
2.2. Bài toán cân bằng vô hướng …………………………………… 16
2.3. Bài toán cân bằng vectơ không có giả thiết đơn điệu ………….. 23
2.4. Bài toán cân bằng vectơ giả đơn điệu ………………………… 28
2.5. Bài toán cân bằng vectơ tựa đơn điệu …………………………… 34
2.6. Một số mở rộng ………………………………………………… 39

Chương 3. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐA TRỊ
3.1.Bài toán cân bằng vectơ đa trị không có giả thiết đơn điệu …… 51
3.2. Bài toán cân bằng vectơ đa trị đơn điệu ………………………… 56

Kết luận …………………………………………………………… 63

Tài liệu tham khảo ……………………….......................................... 64

Bài toán cân bằng vectơ đơn trị được xét trong luận văn là bài toán sau:
Tìm
xK
sao cho
( , ) 0f x y


với mọi
yK
,
trong đó
K
là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian vectơ tôpô
X
,
:f K K Y
,
Y
là một không gian vectơ tôpô với nón thứ tự
CY
nhọn,
lồi, đóng,
int C 
.
Bài toán cân bằng vectơ đa trị được xét là các bài toán sau:
Tìm
xK
sao cho
( , ) intF x y C


tích hàm phi tuyến (Định lí điểm bất động Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng
thức Ky Fan). Chương 2 trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại
nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn trị ở hai hướng nghiên cứu: sử
dụng và không sử dụng giả thiết đơn điệu. Trước khi trình bày các kết quả
này, chúng tôi đưa ra một số kết quả đặc thù ở bài toán cân bằng vô hướng
để dễ thấy phần chính là kết quả và phương pháp ở bài toán cân bằng vectơ
được mở rộng thế nào từ bài toán vô hướng. Một số kiến thức chuẩn bị về
nón và quan hệ thứ tự theo nón cần cho nghiên cứu bài toán vectơ cũng
được đưa vào chương này. Chương 3 đề cập đến một số kết quả nghiên
cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đa trị có giả thiết đơn
điệu và không có giả thiết đơn điệu.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái
Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê
Văn Chóng- Viện toán học Việt Nam, người thầy đã tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học. Xin trân trọng cảm ơn các thầy,
cô giáo thuộc Viện toán học và các thầy, cô giáo của trường Đại học Sư
phạm Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu . Xin được cảm ơn cơ quan, gia
đình và bạn bè đã động viên rất nhiều giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008

Nguyễn Thị Hòa Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 Chương 1


với
01
, ,...,
n
u u u X
và các vectơ
1 0 0
,...,
n
u u u u
là độc lập tuyến tính (ở đây
()co A
kí hiệu bao lồi của
tập
A
). Các điểm
i
u
được gọi là các đỉnh. Bao lồi của
( 1)k 
đỉnh được
gọi là
k
-diện của
S
. Mỗi
xS
được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

0

x
, chúng cũng biến đổi liên tục theo
x
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 Dùng Bổ đề Sperner về phép gán số trong phép tam giác phân một đơn
hình do Sperner đưa ra từ 1928, Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã
chứng minh bổ đề quan trọng sau trong không gian
n
R
.

Bổ đề KKM (Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz[11], 1929)
Cho một n-đơn hình
 
01
, ,...,
n
S co u u u
trong
n
R
và các tập hợp
đóng
01
, ,...,

không nêu ra ở đây.

Định lí điểm bất động Brouwer (Brouwer [5], 1912)
Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong
n
R
vào chính nó đều
có điểm bất động.

Để chứng minh định lí này bằng cách dùng Bổ đề KKM ta sử dụng kết
quả sau.

Mệnh đề 1.1
Giả sử
M
là một tập hợp trong không gian tôpô có tính chất: mọi ánh
xạ liên tục
:T M M
đều có điểm bất động. Khi ấy nếu
M

đồng phôi
với
M
thì
M

cũng có tính chất đó.
Chứng minh


theo giả thiết tồn tại
0
xM
với
00
Tx x
. Khi đó
0
()x

là điểm bất động
của
T

. 

Chứng minh Định lí điểm bất động Brouwer
Cho đơn hình
S
, vì hình cầu đơn vị đóng trong
n
R
đồng phôi với một
n- đơn hình
S
nên ta chỉ cần chứng minh ánh xạ liên tục
:T S S
có
điểm bất động trong
S

liên tục nên các
i
F
đều đóng. Ta sẽ chứng minh các
i
F
thỏa mãn
điều kiện (KKM) sau

 
:
ii
iI
co u i I F



,
trong đó
I
là một tập con bất kỳ của tập
 
0,1,..., n
.
Lấy
 
:
i
x co u i I
ta có




. Để chỉ ra
i
iI
xF




ta cần chỉ ra tồn tại
0
iI
để
0
i
xF
, tức là
00
ii
xy
. Giả sử ngược lại
rằng
ii
xy
với mọi
iI
. Khi đó ta gặp mâu thuẫn:


i
y
là tọa độ trọng
tâm của
y Tx
. Vì
00
1
nn
ii
ii
xy



nên các bất đẳng thức trên phải là
đẳng thức. Vậy ta có
, 0,...,
ii
x y i n  
hay
x y Tx
và định

lí được chứng minh. 

Định lí điểm bất động Brouwer vẫn đúng nếu ta thay hình cầu đơn vị
đóng trong
n
R

và mỗi
0,...,in
ta đặt
( ) ( , )
ii
x d x F


là khoảng cách từ
x
đến
i
F
.
Vì
0
n
i
i
F



nên với mỗi
xS
tồn tại
i
sao cho
i
xF


Các hàm
i

có tính chất: liên tục,
0
0 ( ) 1, ( ) 1
n
ii
i
xx


  

với mọi
xS
. Với mỗi
xS
ta đặt
0
()
n
ii
i
Tx x u






0
( ) ( )
n
i i i i
i i I
Tx x u x u




.
Nhưng vì
( ) 0
i
x


khi và chỉ khi
i
xF

với mọi
iI
, nên
i
iI
xF



sâu sắc của giải tích phi tuyến.
Trước khi phát biểu và chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM, chúng ta
định nghĩa ánh xạ KKM.
Cho
C
là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô
X
, ánh xạ (đa trị)
F
từ
C
vào
2
X
được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập hợp hữu hạn
 
12
, ,...,
n
x x x
trong
C
ta có :
 
12
1
, ,..., ( )
n
ni
i




.

Chứng minh
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại một tập hợp hữu hạn
 
12
, ,...,
n
x x x
trong
C
thỏa mãn
1
()
n
i
i
Fx



. Gọi
L
là không
gian con tuyến tính của
X
sinh bởi

. Vì
1
()
n
i
i
Fx



nên
1
()
n
i
i
Gx



.
Do đó với mỗi
x
, tồn tại một
i
sao cho
()
i
x G x


 

.
Các hàm
i

đều liên tục và
1
0 ( ) 1, ( ) 1
n
ii
i
xx


  

với mọi
x
.
Đặt
1
()
n
ii
i
Tx x u






,
vì
F
là ánh xạ KKM.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 Mặt khác, vì với mọi
iI
ta có
( ) 0
i
x


nên
()
i
x G x

. Vì
xL
nên
()
i
x F x

()Fx
và có tính chất giao hữu hạn. Vì vậy họ này có giao khác
rỗng. Kết quả này trong tài liệu gọi là Bổ đề Ky Fan dưới đây.

Bổ đề Ky Fan ([8], 1961)

Cho
C
là một tập hợp khác rỗng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff
X
và ánh xạ đa trị
:2
X
FC
thỏa mãn :

1)Với mỗi
xC
thì
()Fx
là tập đóng, khác rỗng trong
X
;
2)
F
là ánh xạ KKM;
3)Tồn tại
0
xC
sao cho

Chúng ta đã chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM từ Định lí điểm bất
động Brouwer. Mặt khác từ Nguyên lí ánh xạ KKM suy ra Bổ đề KKM
(với
 
0
, ,..., , ( ) , 0,1,...,
n
n i i
X R C u u F u F i n   
), còn Bổ đề KKM thì
suy ra Định lí Brouwer. Vậy từ Nguyên lí ánh xạ KKM ta cũng nhận được
Định lí điểm bất động Brouwer, nghĩa là Nguyên lí ánh xạ KKM tương
đương với Định lí Brouwer. 1.3. BẤT ĐẲNG THỨC KY FAN

Bất đẳng thức Ky Fan được chứng minh từ Nguyên lí ánh xạ KKM. Bất
đẳng thức này cùng với cách chứng minh của nó có nhiều ứng dụng, nhất
là trong nghiên cứu tồn tại nghiệm bài toán cân bằng.

Bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan [9], 1972)

Cho
C
là một tập hợp lồi, compắc trong không gian vectơ tôpô
Hausdorff
X
và
:f C C R

Kết luận của Bất đẳng thức Ky Fan được suy ra từ Nguyên lí ánh xạ
KKM như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 Với mỗi
xC
đặt
 
( ) : ( , ) 0F x y C f x y  
. Vì hàm
f
nửa liên tục
dưới theo
y
nên
()Fx
là tập đóng.
Ta kiểm tra điều kiện KKM bằng phản chứng.
Giả sử tồn tại
1
,...,
n
x x C
và
 
1
,...,

i
i
x F x




, nên theo định nghĩa của tập hợp
()
i
Fx
ta có:
1
( , ) ( , ) 0, 1,...,
n
i i i i
i
f x x f x x i n


  

.
Do
( , )f x y
tựa lõm theo biến thứ nhất nên tập hợp
 
: ( , ) 0z C f z x
là
lồi. Tập hợp này chứa mọi

compắc nên ta có:

()
xC
Fx




(theo Nguyên lí ánh xạ KKM).
Lấy
()
xC
y F x



ta được
( , ) 0f x y 
với mọi
xC
. Định lí được
chứng minh. 

Dùng Bất đẳng thức Ky Fan ta chứng minh được kết quả sau là một mở
rộng của Định lí Brouwer .
Mệnh đề 1.2
Mọi ánh xạ liên tục từ một tập hợp lồi, compắc trong một không gian
Hilbert vào chính nó đều có điểm bất động.


liên tục dưới. Hiển nhiên
( , ) 0f x x 
với mọi
xC
. Do đó theo Bất đẳng
thức Ky Fan tồn tại
yC
sao cho:

( , ) 0,f x y x C  
,
tức là
, 0,Ty y x y x C      
.
Đặc biệt nếu
x Ty
ta có
2
0Ty y
do đó
y Ty
. Mệnh đề được
chứng minh. 

Nhận xét 1.4
Theo chứng minh trên và các nhận xét 1.1, 1.3 thì Bổ đề KKM, Định lí
điểm bất động Brouwer, Nguyên lí ánh xạ KKM và Bất đẳng thức Ky Fan
là tương đương với nhau.
toán vectơ. Để tiện cho việc trình bày bài toán vectơ, trước hết chúng tôi
đưa vào một số kiến thức chuẩn bị. Các kết quả nghiên cứu được trình bày
trong chương này chủ yếu được tập hợp từ các bài báo [1, 2, 13, 16].

2.1. NÓN VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ THEO NÓN

Cho
C
là một tập con trong không gian vectơ tôpô
Y
. Tập
C
được gọi
là một nón nếu
tc C
với mỗi
cC
và
0t 
. Như vậy theo định nghĩa,
nón luôn có đỉnh tại gốc
0 Y
. Nón
C
được gọi là lồi (đóng) nếu
C
là tập
lồi (đóng, tương ứng).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Y
đều là nón, hơn nữa còn lồi, đóng,
ta gọi các nón này là nón tầm thường.
Trong không gian tuyến tính tôpô ta kí hiệu
( ), int( ), ( )cl C C co C
lần
lượt là bao đóng, phần trong, bao lồi của nón
C
.
Ví dụ
1) Nón orthant dương:
Cho
 
1
( ,..., ) : , 1,...,
n
nj
Y R x x x x R j n     
. Khi đó

 
1
( ,..., ) : , 0, 1,...,
n
n j j
C R x x x x R x j n

      
là một nón lồi, đóng, nhọn.
2) Nếu tập

và các vectơ
1
( ,..., )
n
x x x
với cùng một tọa độ
dương, chẳng hạn
1
0x 
là một nón nhọn, lồi, nhưng không đóng. Tập
 
 
 
33
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) : 0, 1, 2, 3 , , : 0, 0
i
C x x x R x i x x x R x x x        
cũng là một nón nhọn, lồi, nhưng không đóng.
Ta nói nón
C
được gọi là thỏa mãn điều kiện (

) nếu tồn tại nón lồi,
đóng nhọn
C

với phần trong khác rỗng sao cho:
 
\ 0 intCC

nón
C
.
Người ta chứng minh được rằng nếu nón
C
có cơ sở lồi, compắc thì nó
thỏa mãn điều kiện (

) ([16]). Từ kết quả này và theo định nghĩa ta có các
ví dụ sau về nón thỏa mãn điều kiện (

).

Ví dụ
1) Cho
B
là một tập khác rỗng thuộc phần trong của hình cầu
,
n
BR


0 B


,
( ), ( )C cone B C cone B


. Khi ấy theo định nghĩa

C
xác định một quan hệ thứ tự trong
Y
: với
,x y C
ta viết

xy
khi và chỉ khi
y x C
.

x  y
khi và chỉ khi
y x C
.
Trong trường hợp
int C 
, với
,x y C
ta viết

xy
khi và chỉ khi
inty x C
.

xy



 
1
,...,
n
n
y y y R
ta có

, 1,..., .
ii
x y x y i n   , 1,...,
ii
x y x y i n   
.

x 
ii
y x y
với ít nhất một
 
1,..., .inii
x y x y



\ int .
x y y x y x
x y y x R C
    
  




Lưu ý là khi


, 0;Y R C  
thì với
,x y R
:

.
.
x y y x
x y y x
  

  
2.2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÔ HƯỚNG

Hai hướng cơ bản trong các nghiên cứu về tồn tại nghiệm của bài toán

yC
;
3)Điều kiện bức:Tồn tại một tập compắc
BX
và một vectơ
0
y B C
sao cho

0
( , ) 0 \ .g x y x C B  

Khi đó tập nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng

: ( , ) 0x C g x y y C   
(2.1)
là tập compắc, khác rỗng.

Chứng minh:
Đặt
 
( ) : ( , ) 0 ,G y x C g x y y C   
.
Ta có
()Gy
là đóng với mỗi
yC
(do Điều kiện 2)), do đó
0
()Gy

n
ii
i
yy




với
0,
i



1
1
n
i
i





và
 
1,...,
i
y G y i n  


i i i i
ii
g y y g y y g y y



  



, điều này
mâu thuẫn với giả thiết
( , ) 0g y y y C  
. Vậy
G
là ánh xạ KKM.

Theo Bổ đề Ky Fan thì
()
yC
Gy



nghĩa là bài toán cân bằng (2.1)
có nghiệm. Do tập nghiệm của (2.1) là đóng (do 2)) và thuộc tập compắc
B(do 3)) nên compắc. Định lí được chứng minh. 

gọi là đơn điệu nếu

( , ) ( , ) 0 ,g x y g y x x y C   
.
Hàm
g
gọi là đơn điệu chặt nếu
( , ) ( , ) 0 , ,g x y g y x x y C x y    
.
Ở một số tài liệu, chẳng hạn Blum-Oettli [3], hàm
g
được gọi là đơn
điệu nếu
g
là đơn điệu theo nghĩa trên. Ở mục này tính đơn điệu của hàm
hai biến
g
được hiểu theo nghĩa trên.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
22 Về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng, dưới đây là một
kết quả cơ bản ở hướng nghiên cứu dùng giả thiết đơn điệu.

Định lí 2.2 (Mosco [13], 1976)
Cho
C
là tập lồi, đóng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff

là tập con khác rỗng, lồi và compắc trong
B
.

Định lí trên chính là Định lí 3.1 trong [13] với
0


(Cho
0


để
tránh các phức tạp không cần thiết trong trình bày và tiện sử dụng ở các
phần sau). Định lí 2.2 được chứng minh bằng cách dùng Bổ đề Ky Fan và
Bổ đề dưới đây (mở rộng một kết quả của Minty [12] về toán tử đơn điệu).
Với mỗi
yC
đặt
 
( ) : ( , ) 0G y x C g x y  
;

 
( ) : ( , ) 0H y x C g y x  

và ký hiệu
()Fy
là bao đóng của
( ).Gy

( ) ( ) ( )
y C y C y C
F y H y G y
  

  
.
Thật vậy, lấy
()x G y
ta có:
( , ) 0g x y 
. Do
g
là đơn điệu nên

( , ) 0 ( , ) ( , ).g x y g x y g y x  

Suy ra
( , ) 0g y x 
, nghĩa là
()x H y
nên
( ) ( ).G y H y

Ta có với mỗi
, ( )y C H y
là lồi và đóng do
( ,.)gy
là lõm và nửa liên


Giả sử (2.4) không đúng, tức là tồn tại
xC
thỏa mãn (2.3) và một
yC
để cho
( , ) 0g x y 
. (2.5)
Xét véc tơ
(1 ) , [0,1]
t
x ty t x t   
. Theo điều kiện 1) của Định lí 2.2,
hàm
( , )
t
g x y
của biến thực
 
0,1t 
là liên tục khi
0t


. Do đó với
0t 
(đủ nhỏ), từ (2.5) suy ra

( , ) 0, (0, )
t
g x y t t  



.
Bổ đề được chứng minh. 

Chứng minh Định lí 2.2
Theo Bổ đề 2.1 và do
()Hy
là lồi, đóng với mỗi
yC
ta có tập
nghiệm của bài toán là lồi và đóng. Tập nghiệm này là compắc vì nó là tập
con đóng của tập compắc
B
( theo điều kiện bức 3)).
Ta chứng minh tập nghiệm này khác rỗng bằng cách sử dụng Bổ đề Ky
Fan với ánh xạ
:2
X
FC
.
Thật vậy, với mỗi
yC
ta có
()Fy
là tập đóng và
0
()Fy
là bao đóng
của tập

Do
()Fy
là bao đóng của
()Gy
nên chỉ cần chỉ ra

 
1
1
,..., ( )
n
ni
i
co y y G y



.
Giả sử ngược lại có một
 
1
1
,..., \ ( )
n
ni
i
y co y y G y




ii
g y y g y y g y y



  



,
điều này mâu thuẫn với giả thiết
( , ) 0g y y 
. Vậy
 
1
1
,..., ( )
n
ni
i
co y y F y



.
Theo Bổ đề Ky Fan ta có
()
yC
Fy



1, 2i 
và
( , ) 0
i
g x y y C  
.
Thay
12
2
xx
y


vào hai bất đẳng thức ở trên, do tính chất lõm của
hàm
( ,.)gx
nên khi cộng hai bất đẳng thức đó với nhau ta được
 
1 1 1 2 2 1 2 2
1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
2
g x x g x x g x x g x x   
.
Vì
1 1 2 2
( , ) ( , ) 0g x x g x x
nên: