ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------- --------
NGÔ THỊ VIỆT HẰNG
ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO
CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN VĂN QUÝ
THÁI NGUYÊN – 2008
MỤC LỤC
Mở đầu ....................................................................................................1
Chƣơng 1: TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
1.1. Không gian Hilbert thực ......................................................................3
1.2. Tập lồi và hàm lồi ...............................................................................7
1.3. Toán tử đơn điệu .................................................................................14
1.3.1. Các định nghĩa về toán tử đơn điệu ...................................................15
13.2. Toán tử đơn điệu tuần hoàn ...............................................................19
1.3.3. Toán tử đơn điệu cực đại ..................................................................21
Chƣơng 2: BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
2.1. Bất đẳng thức biến phân ......................................................................33
2.2. Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu .......................................39
2.3. Bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị.............................................46
2.4. Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan ................................49
Chƣơng 3: MÔ HÌNH NASH – COURNOT VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
3.1. Phát biểu mô hình ...............................................................................55
3.2. Mô hình Nash – Cournot với bài toán cân bằng ....................................56
Nội dung chính của các chương là:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi phục vụ cho việc
nghiên cứu toán tử đơn điệu. Sau đó, trình bày các khái niệm về toán tử đơn điệu,
đơn điệu tuần hoàn và đơn điệu cực đại. Song song với các khái niệm này là một số
kết quả về tính chất, điều kiện của toán tử đơn điệu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Chương 2: Trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên
quan. Sau đó, trình bày một số kết quả về việc sử dụng toán tử đơn điệu trong việc
chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân.
Chương 3: Trình bày về mô hình kinh tế Nash - Cournot trong lĩnh vực sản
xuất kinh doanh. Sau đó, sử dụng toán tử đơn điệu để nghiên cứu về sự tồn tại và
tính duy nhất nghiệm cho mô hình.
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên. Để hoàn thành được bản luận văn này, trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Quý, người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện bản luận văn. Tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, các cô giáo trong trường Đại học Sư phạm
Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận
tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin cảm ơn tới cơ quan, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, ủng hộ giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2008
Ngô Thị Việt Hằng
Nếu trên X được trang bị một tô pô
là một họ các tập con của X thỏa mãn các
tính chất:
1.
; X
;
2.
,A B A B
;
3.
tt
tT
A t T A
,
(
T
là tập chỉ số bất kỳ) thì X được gọi là không gian véc tơ tô pô và thường ký
hiệu là
1.
|| || 0, ; || || 0 0x x X x x
;
2.
|| || | ||| ||, ,x x x X R
;
3.
|| || || || || ||, ,x y x y x y X
thì X được gọi là một không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian tuyến tính thực.
X
được gọi là không
gian tiền Hilbert nếu: với mọi
,x y H
, xác định một số thực ký hiệu là
,xy
gọi
là tích vô hướng của
,x y X
, thỏa mãn các tính chất sau:
1.
,,x y y x
;
2.
, , ,x y z x z y z
;
3.
lim 0
nm
mn
xx
.
Nếu trong X,, mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là
0
nm
xx
kéo theo sự tồn tại
0
xX
sao cho
0n
xx
, thì
X
được gọi là không gian đủ.
Định nghĩa 1.3. Không gian tiền Hilbert và đủ gọi là không gian Hilbert, trong
luận văn này ta thống nhất ký hiệu H là một không gian Hilbert thực.
Định nghĩa 1.4. Hai véc tơ
,x y H
được gọi là hai véc tơ trực giao với nhau, kí
hiệu là
xy
, nếu
,0xy
.
khi
n
thì
xy
.
Định nghĩa 1.5. Cho tập
MH
, phần bù trực giao của
M
, kí hiệu
M
, là tập
hợp sau:
:,M x H x y y M
.
Định lý 1.1 (Định lý F.Riesz). Với mỗi véc tơ
a
cố định thuộc không gian Hilbert
H
, hệ thức:
,.f x a x
(1.1)
Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục
(1.4)
nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.2).
Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên tục
()fx
trên
không gian Hilbert
H
. Tập hợp
:0M x H f x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
rõ ràng là một không gian con đóng của
H
. Nếu
0M
thì dựa vào cách phân
tích
x y z
với
,y M z M
, ta thấy rằng
ax
xx
.
Với mọi
xH
,
0
0
fx
y x x M
fx
vì
0
0
0
fx
f y f x f x
fx
.
Mà
xx
.
Như vậy,
fx
có dạng (1.2). Cách biểu diễn đó là duy nhất, vì nếu
,f x a x
thì
'
,0a a x
, nghĩa là
'
0aa
. Cuối cùng do (1.3) và (1.4)
nên phải có (1.2) như trên. Định lí được chứng minh.
Định lý vừa chứng minh cho phép lập một tương ứng một đối một giữa các
phiếm hàm tuyến tính liên tục
f
trên
H
và các véc tơ
aH
. Tương ứng đó là
một phép đẳng cự tuyến tính, cho nên nếu ta đồng nhất hóa phiếm hàm
f
với véc
để
*
, , ,Ax y x y x H
.
Định nghĩa 1.6. Cho
A
là một toán tử trong không gian Hilbert
H
, ánh xạ
*
:A H H
xác định như sau:
**
,y H A y y
trong đó:
**
, , ,Ax y x A y x y
khi đó
*
A
được gọi là toán tử liên hợp của toán tử
A
.
Nhận xét 1.1. Toán tử liên hợp
*
A
nếu tồn tại là duy nhất.
KH
được gọi là nón có đỉnh tại
0
x
nếu
0
Kx
là nón có đỉnh tại
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Định nghĩa 1. 9. Nón
K
có đỉnh tại
0
x
được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi,
có nghĩa là:
, , , 0x y K x y K
.
Định nghĩa 1. 10. Cho
K
là tập lồi trong
H
và điểm
xK
Định nghĩa 1.11. Hàm
f
được gọi là
(i) Lồi trên D nếu với mọi
0 1, ,x y D
, ta có :
11f x y f x f y
;
(ii) Lồi chặt trên
D
nếu với
0,1
và
,,x y D x y
ta có:
11f x y f x f y
Định nghĩa 1.12. Hàm
f
được gọi là lõm trên
D
nếu
f
là hàm lồi trên
D
.
Định nghĩa 1.13. Trên đồ thị (epigraph) của hàm f, ký hiệu là
epif
, được định
nghĩa như sau :
,:epif x r D R f x r
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Định nghĩa 1.14. Miền hữu hiệu(effective domain) của hàm
f
, ký hiệu là
domf
,
được định nghĩa như sau :
:domf x D f x
.
xK
của
x
sao cho :
,f x f y y U
Với
()fx
, hàm
f
được gọi là nửa liên tục dưới tại
x
nếu với mọi
0N
, tồn tại lân cận
U
của
x
sao cho :
f y N
,
yU
.
Định nghĩa 1.18. Hàm
f
yU
.
Với
()fx
, hàm
f
được gọi là nửa liên tục trên tại
x
nếu với mọi
0N
, tồn tại lân cận U của
x
sao cho :
f y N
,
yU
.
Định nghĩa 1.20. Hàm
f
được gọi là nửa liên tục trên trên
H
nếu
f
nửa liên tục
trên tại mọi
xH
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
int epif
;
(iv)
int domf
và
f
liên tục trên
int domf
.
Bây giờ, ta giả sử hàm
:f H R
.
Định nghĩa 1.21. Cho hàm
f
xác định trên một lân cận của
xH
, hàm
f
được
gọi là khả vi tại
x
, nếu tồn tại
*
xH
sao cho:
*
:
n
f R R
là hàm lồi, chính thường và
x domf
.
Nếu
f
khả vi tại
x
thì với mọi
n
yR
,
0y
, ta có :
0
,
lim 0
f x y f x f x y
y
.
Suy ra
( , ) ( ),f x y f x y
với mọi
y
. Lấy
1,2,...,
i
y e i n
là vectơ đơn vị
thứ
i
của
n
R
, ta có :
,/
i
i
f x e f x x
,
1,2,...,in
xR
sao cho
'*
,,f x y x y
với mọi
y
,
intx domf
và
*
f x x
.
Mệnh đề 1.3 (Xem [2]). Cho
:
n
f R R
là hàm khả vi và
n
DR
. Khi đó
, ba điều kiện sau là tương đương:
(a)
là hệ số lồi của
f
trên D;
tại
xH
nếu
*
,f x f x x x x
,
xH
.
Định nghĩa 1.23. Tập tất cả dưới gradient của
f
tại
x
được gọi là dưới vi phân
(subdifferential) của
f
tại
x
, ký hiệu là
fx
, tức là :
* * *
: , ,f x x H f x f x x x x x H
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Xét bài toán:
(P)
min :f x x Q
Định nghĩa 1.24.
a) Điểm
xQ
được gọi là điểm chấp nhận được của bài toán (P) .
b) Điểm
xQ
được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P), nếu tồn tại
một lân cận U của
x
sao cho:
f x f x
,
x Q U
.
b) Điểm
xQ
được gọi là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P) nếu:
f x f x
,
xQ
.
Nhận xét 1.8. Hiển nhiên điểm
đủ nhỏ ta có:
(1 )x x U
. Từ đó:
( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )f x f x x f x f x
hay:
( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x
.
Chứng tỏ
x
là nghiệm tối ưu toàn cục.
(ii)
x
là nghiệm tối ưu toàn cục của (P)
f x f x x X
f x x x f x
.
(Cận trên trong trường hợp này chỉ lấy theo
x domf
).
Ví dụ 1.1. Xét hàm
x
f x e x R
, đây là hàm lồi chính thường đóng. Ta có:
* * * *
sup , sup
xx
x R x R
f x x x e x x e
,
*
xR
.
Ta xác định cận trên của biểu thức :
*
.
x
0 lng x x x
,
*
* ln *
ln 0
x
g x e x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Do đó tại
*
lnxx
,
()gx
đạt giá trị cực đại.
Vậy cận trên của (1.5) là
* * *
lnx x x
hay
* * * * *
lnf x x x x
.
f
là hàm xác định trên H,
domf
. Khi đó,
*
f
là
hàm lồi đóng
*
yếu.
Mệnh đề 1.7. (Xem [1]). Cho
f
là hàm xác định trên H,
domf
, ta có
**
ff
,
trong đó
**
*
** * * * *
sup ,
xH
và ta
thường ký hiệu là:
:F X Y
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Ánh xạ F từ không gian X vào không gian Y là đa trị nếu ứng với mỗi phần tử
xX
, thì
()Fx
là một tập con của không gian Y (có thể là tập rỗng) và ta thường
hay ký hiệu là:
:2
Y
FX
hay
: ( )F X Y
.
Hiển nhiên ánh xạ đơn trị là một trường hợp riêng của ánh xạ đa trị. Trong bản luận
văn này ta qui ước: nếu chỉ nói ánh xạ (toán tử) thì đó là ánh xạ đơn trị. Trường hợp
ánh xạ đa trị sẽ được nói rõ.
Đối với ánh xạ đơn trị F thì ánh xạ ngược:
1
:F Y X
,T x x x R
.
Khi đó,
T
là toán tử đơn điệu vì với
,x y R
có :
2
, , 0T x T y x y x y x y x y
.
Định nghĩa 1.27. Toán tử đa trị
:2
H
TH
được gọi là toán tử đơn điệu nếu:
,0u v x y
,
, , ,x y domT u T x v T y
,
trong đó,
:domT z H T z
.
Ví dụ 1.3. Xét toán tử đa trị trong R :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
được xác định như sau:
1
: , .T y x H y T x y H
Ví dụ 1.4. Cho hàm lồi
:,fH
, khi đó ánh xạ dưới vi phân
:T f H H
của
f
là toán tử đa trị đơn điệu.
Chứng minh.
Với mọi
, , ,x y domT u T x v T y
, ta cần chứng minh rằng:
,0u v x y
.
Thực vậy, theo định nghĩa dưới vi phân của hàm lồi, ta có
u T x f x
khi và
chỉ khi:
( ) ( ) , ,f z f x u z x z H
.
Tf
là toán tử đơn điệu. Điều phải chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Định nghĩa 1.28. Toán tử đa trị
:2
H
TH
được gọi là đơn điệu chặt nếu:
,0u v x y
với
, , , ,x y domT x y u T x v T y
.
Định nghĩa 1.29. Toán tử đa trị
:2
H
TH
được gọi là đơn điệu mạnh nếu với
hằng số
,0R
,
, , ,x y domT u T x v T y
, ta có
2
Đặt
z x y
, ta có :
,0Az z
,
zH
.
Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.10. Các tính chất sau là luôn đúng.
(i)
:2
H
TH
đơn điệu khi và chỉ khi
1
:2
H
TH
là đơn điệu.
(ii) Nếu
: 2 1, 2
H
i
T H i
, là các toán tử đơn điệu và nếu
0 1,2
là toán tử đơn điệu chặt
thì S là toán tử đơn điệu chặt. ở đây,
*
A
là toán tử liên hợp của A.
Chứng minh.
(i) Theo định nghĩa, toán tử
T
là đơn điệu khi và chỉ khi:
,0u v x y
,
, , ,x y domT u T x v T y
,
hay
,0x y u v
,
1 1 1
, , ,u v domT x T u y T v
.
Điều này cho thấy
1
T
là toán tử đơn điệu.
(ii) Hiển nhiên ta có:
u T x
,
( ) ( )
ii
v y T y
1,2i
sao cho:
1 1 2 2
u u u
,
1 1 2 2
v v v
.
Do
12
,TT
là các toán tử đơn điệu nên ta có:
11
, 0,u v x y
(1.8)
22
, 0.u v x y
.
Chọn:
1
()u T Ax b
và
1
v T Ay b
sao cho:
*
1
u A u
,
*
1
v A v
.
Do tính đơn điệu của
T
, ta có:
**
1 1 1 1
, , , 0v u y x A v A u y x v u Ay b Ax b
.
Từ đó chứng tỏ
S
là toán tử đơn điệu.
Giả sử
n
R
, tức là với mỗi
n
xR
thì
Tx
là một tập ( có thể
bằng rỗng ) . Như thường lệ, ta ký hiệu miền xác định của
T
là :
:
n
domT x R T x
,
và đồ thị của
T
là :
,:
nn
G T x y R R y T x
.
Định nghĩa 1.30. Cho
:2
n
.
Nhận xét 1.9. Nếu
T
là toán tử đơn điệu tuần hoàn thì
T
là toán tử đơn điệu .
Mệnh đề 1.11. Giả sử
:2
n
nR
SR
là một toán tử đa trị . Điều kiện cần và đủ để
toán tử
S
đơn điệu tuần hoàn là tồn tại một hàm lồi, đóng, chính thường
f
trên
n
R
sao cho
S x f x
với mọi
n
xR
.
Chứng minh.
Điều kiện đủ : Giả sử
f
............................................
00
,
m m m
x x y f x f x
.
Cộng các bất đẳng thức trên, ta thu được:
1 0 0 2 1 1 0
, , ... ,
mm
x x y x x y x x y
1 0 2 1 0
... 0
m
f x f x f x f x f x f x
.
Vậy theo định nghĩa,
f
là toán tử đơn điệu tuần hoàn,
S x f x
với mọi
x
trong đó cận trên đúng được lấy trên tất cả các cặp
,
ii
x y G S
và các số
nguyên dương
m
. Do
f
là bao trên của một họ các hàm aphin nên
f
là một hàm
lồi đóng. Do S là một toán tử đơn điệu tuần hoàn nên:
0
0 0 1 1 1 0 0
sup , , ... , 0
n
m m m m m
xR
f x x x y x x y x x y
.
Vậy
f
,
ii
x y G S
,
1,2,...,im
và số nguyên dương
m
thoả mãn:
1 1 1 0 0
, , ... ,
m m m m m
x x y x x y x x y
Theo định nghĩa của hàm
f
, ta được:
1 1 1 0 0
sup , , ... ,
n
m m m m m
yR
f y y x y x x y x x y
ta có:
* 1 0 0
, , ... ,
mm
f y y x x x x y x x y
>
*
,y x x
.
Điều này đúng với
*
,x x G S
nên
Sf
. Mệnh đề được chứng minh.
1.3.3. Toán tử đơn điệu cực đại
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Định nghĩa 1.31. Toán tử đa trị
:2
H
TH
là đơn điệu cực đại nếu
T
.
Dễ nhận thấy
12
,TT
đều là các toán tử đơn điệu. Tuy nhiên,
1
T
không phải là toán
tử đơn điệu cực đại vì
1
GT
chứa thực sự trong
2
GT
.
Mệnh đề 1.12. Giả sử toán tử
:2
H
TH
là đơn điệu. Khi đó, T là đơn điệu cực
đại khi và chỉ khi, với mọi
,a b H H
, nếu:
,0b u a x
, ( )x u G T
thì:
,0b u a x
,
, ( )x u G T
Copyright: Tài liệu đại học ©