MÔN TOÁN

CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
NGƯỜI VIẾT: PHÙNG THỊ ĐIỆP

1


LỜI MỞ ĐẦU
Trong đề thi tốt nghiệp THPT , đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng hàng năm của
Bộ GD&ĐT bài toán tích phân hầu như không thể thiếu,là câu IV trong đề thi. Tính tích
phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa,
các tính chất , các phương pháp tính của tích phân. Tuy nhiên các đề thi Đại học -Cao
đẳng gần đây câu tính tích phân lại không quá khó cho nên trong quá trình giảng dạy tôi
cố gắng dạy chi tiết ,cụ thể từng phương pháp để học sinh của tôi có thể đạt điểm tối đa
trong câu hỏi này.Và tôi đã viết chuyên đề “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
để đưa ra một số phương pháp hay dùng khi tính tích phân giúp các em nhân diện và đưa
ra cách giải một cách nhanh nhất.
Chuyên đề gồm 3 phần:
Phần 1: Hệ thống kiến thức cơ bản
Phần 2: Các phương pháp tính tích phân
Phần 3: Tuyển tập các bài tính tích phân trong các đề thi đại học
Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi Tốt nghiệp THPT ,ĐH, CĐ cho học sinh khối 12.
Thời gian giảng dạy chuyên đề này cho học sinh khối 12 khi ôn thi ĐH, CĐ là 6 tiết học
chuyên đề và 6 tiết học ở nhà.
Mặc dù rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó tránh khỏi
những thiếu sót. Tối rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và
các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu có ích trong
giảng dạy và học tập.

NỘI DUNG

∫ f ( x ) dx chỉ phụ thuộc vào a ,b và hàm số

f ( x) mà không phụ thuộc

a

vào cách ký hiệu biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết
b

b

a

a

F ( b ) − F ( a ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt =...

2. Các tính chất của tích phân:
Giả sử các hàm f ( x ) và g ( x ) liên tục trên các khoảng K và a, b , c là 3 điểm của
K, dựa vào định nghĩa tích phân ta có các tính chất sau:
a

Tính chất 1:

∫ f ( x ) dx = 0
a

b

Tính chất 2:

Tính chất 4: ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
c

Tính chất 5:

∫
a

b

c

a

b

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

Tính chất 6: Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] thì

b

∫ f ( x ) dx ≥ 0
a

Tính chất 7: Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] thì

b

b

∫ du = u + C

1

∫ ( ax + b )

dx
= ln x + C ( x ≠ 0 )
x
x

hàm số hợp

∫ d ( ax + b ) = a ( ax + b ) + C

xα +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1

∫ e dx = e

α

1 ( ax + b )
a α +1

α +1

dx =



1

u

+C

au
∫ a dx = ln a + C ( 0 < a ≠ 1)
u

∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C

x

du
= ln u + C ( u ≠ 0 )
u
u

∫ sin xdx = − cos x + C
2

uα +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1

∫ e du = e

1 ax +b


1

1

∫ sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C ∫ sin
2

2

u

du = tan u + C
du = − cot u + C

Phần II: Các phương pháp tính tích phân
1/Tính tích phân bằng cách sử dung bảng nguyên hàm
• Công thức cần nhớ
f ( x) dx = dF ( x)

( F ( x ) = f ( x) )
'

1
sin(ax + b)dx = − d (cos ax + b)
a
1
cos(ax + b) dx = d (sin ax + b)
a
1


∫
e

dx
x ln x

ln 3

b) I =

∫
0

e x dx
(e x + 1)3

Giải

4


e2

d ln x
= ln ln x
ln x

a) I = ∫
e


1
2
ln 3
0

= 2 −1

Ví dụ 2: Tính tích phân
π
4

π
2

a) I = 1 − 2sin x dx ( KB − 2003)
∫
0

2

b) I = (esin x + cos x) cos xdx ( KD – 2005)
∫

1 + sin 2 x

0

Giải
π

I = ∫ esin x .cos xdx + ∫ cos 2 xdx
0

0

π
2

π
2

1 + cos 2 x
dx
2
0

b) = ∫ esin x d sin x + ∫
0

=e

sin x

π
π
1
1
π
2 + ( x + sin 2 x) 2 = e + − 1
2

4
cos x
1
dx
1
I=∫
dx
=
.
=
d (tan x + 1) .
3
3
2
3
∫
∫
(sin
x
+
cos
x
)
(tan
x
+
1)
cos
x
(tan


1

I =∫
0

1

1

1

x2 + 1 + 2 x
2x
d ( x 2 + 1)
1
dx
=
dx
+
dx
=
x
+
∫0 ∫0 x 2 + 1
∫0 x 2 + 1
0
x2 + 1

I = 1 + ln ( x 2 + 1) = 1 + ln 2

0

π
6

e

∫

1 + 4sin xcosxdx

6 .

sin(ln x)
dx
x
1

∫

0

1

x
∫e

2

+2


xdx

0

π
2

sin x
14.
∫0 1 + 3cosx dx

13. ∫ sin xcos xdx
2

3

π
3

∫
π

9. e

sin x

cosxdx

4

2. ∫ sin xcos xdx

2

π
2

3
2
12. ∫ sin xcos xdx

π
3

e

15.

sin(ln x)
dx
x
1

∫

2/ Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
• Đổi biến số loại 1:
b

Để tính tích phân


f ( x, (ϕ ( x)) n )

Hàm

Hàm f ( x, n ϕ ( x))

Đặt t = n ϕ ( x)

Hàm f ( x, n ϕ ( x), m ϕ ( x))

Đặt t = mn ϕ ( x)

Hàm f ( x) =

a sin x + b cos x
c sin x + d cos x + e

Đặt t = tan

x
2

Hàm lẻ với sinx

Đặt t = cos x

Hàm lẻ với cosx

Đặt t = s inx

x = o ⇒ t =1

Đổi cận:

x= 3⇒t =2

Khi đó
3

I=

∫
0

2

x 4 1 + x 2 .xdx = ∫ (t 2 − 1) 2 t 2 dt
1

t
2t t  2 848
= −
+ ÷1 =
5
3
105
7
7

5


x = 0 ⇒ t =1
π
1
x= ⇒t =
3
2
1
2

I =∫
1

( t 2 − 1) dt
t+2

1
2

= ∫ (t − 2 +
1

3
5
5
)dt = + 3ln
t+2
2
6
2

3

0

7.

e

∫
1

3

10. ∫
0

3. ∫ x

0

x +1
2

6.

0

1 + ln x
dx
x

∫x
1

1 + 3ln x ln x
dx
x
5

3

x 2 + 1dx

0

1

x2

∫

1

2
2. ∫ x 1 − x dx

2

12

0

a

Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx = u / (t )dt .
Bước 2. Đổi cận: x = a ⇒ t = α , x = b ⇒ t = β .
b

Bước 3.

∫
a

β

β

α

α

f ( x)dx = ∫ f [u (t )]u / (t ) dt = ∫ g (t )dt .

*Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ:

8


Dấu hiệu

Có thể chọn


a+x
hoặc
a−x

Đặt x = a cos 2t

a−x
a+x

Đặt x = a + (b − a )sin 2 t

( x − a)(b − x)
1
2

Ví dụ 1. Tính tích phân

I =∫
0

1
1 − x2

dx .

(Hàm số chứa ϕ ( x) nhưng đặt theo cách 1 ta không giải quyết được bài toán này)
Giải
 π π
Đặt x = sin t , t ∈  − ;  ⇒ dx = cos tdt
 2 2

π
dt = ∫ dt = t 06 = − 0 = .
cos t
6
6
0

π
.
6
1

dx
.
1 + x2
0

Ví dụ 2. Tính tích phân I = ∫

Giải
 π π
2
Đặt x = tan t , t ∈  − ; ÷⇒ dx = (tan x + 1) dt
 2 2
9


π

π

π
4

x= 2 ⇒t =
π
8

I=∫
π
4

π
8
π
8

π
4

4

8

2(1 + cos2t )
( −4sin 2tdt ) = −4 ∫ 2 cos 2 tdt = 4 ∫ (1 + cos2t )dt
2(1 − cos2t )
π
π

π +4−2 2


∫x
1

1

1

1
dx
1. ∫
2
1
+
x
0

2
2

∫
0

1

8. ∫

dx
x2 −1



1

3
2

dx

9.

∫

−3 3
2

dx

(9− x )

2 3

• Đổi biến số Loại 3:
Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích
phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ thông thường:
a

• Với I =

∫ f ( x ) dx


0

b

• Với I = ∫ f ( x ) dx có thể lựa chọn việc đặt x = a + b − t
a

Một số tích phân đặc biệt thường gặp
•

π
2

cos n x / sin n x
∫0 cosn x + sin n xdx

Đặt t =

a

•

I=

∫ f ( x ) dx

•

Nếu f ( x ) là hàm lẻ đặt x = −t Đ/s =0


phương pháp đó lại không áp dụng được cho tích phân này.
Giải
0

Viết lại dưới dạng: I = ∫ x

1

2004

−1

sin xdx + ∫ x 2004 sin xdx (1)
0

0

2004
Xét tích phân: J = ∫ x sin xdx
−1

Đặt x = −t ⇒ dx = −dt
 x = −1 t = 1
⇒
x = 0
t = 0

Đổi cận: 

0

π
− t ⇒ dx = −dt
2
11


x=0⇒t =

Đổi cận
x=
0

⇒ I = ∫ 13
π
2

π
2

π
⇒t =0
2
π
2

13

π
2


π
⇒
I
=
2

π
4
 I + J = ∫ dx =
2

0

Ta có

Lưu ý chung : khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số thì “đổi biến phái đổi
cận”
• Bài tập tự luyện : Tính các tích phân
1

1. ∫ x

2012

sin xdx

−1

π



π
2

cos 6 x + sin 6 x
dx
6x + 1

π
2

8.

∫

−

π
2

6.

cos xdx
ex + 1
−1

∫

π
2

1 + 2x

3/ Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
b

b

Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx
b

a

a

Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
β

• Loại 1:

∫

α

β

• Loại 2:

sin ax 



du = x
⇒
Đặt: 
 dv = f ( x )dx v = f ( x)dx
 ∫

12



 acosax 

 sin ax   du = 
dx
u = 
− a sin ax 



Đặt:   cos ax  ⇒ 

v = 1 e ax
ax
 dv = e dx

a

β

ax sin ax 


1
1
5 − 3e 2
⇒ I = ( x − 2) e 2 x − ∫ e 2 x dx =
.
2
20
4
0
3

2
a/ I = ∫ ln( x − x)dx

Ví dụ 2. Tính tích phân

( KD − 2004) .

2

2

b/ I = ∫
1

x2 −1
ln xdx
x2


3

= x ln( x 2 − x ) − ∫ (2 +
2

2

1
)dx
x −1

= 3ln 3 − 2 .
2

b/ Hướng dẫn

I = ∫ (1 −
1

1
) ln xdx
x2

1

u = ln x
du
=
dx


Ví dụ 3. Tính tích phân I = e x sin xdx .
∫
0

Giải
u = sin x

du = cos xdx
⇒

x
x
 dv = e dx v = e

Đặt 

π
2

π
2

π
2
0

π
2

⇒ I = ∫ e sin xdx = e sin x − ∫ e cos xdx = e − J .


⇒ J = ∫ e x cos xdx = e x cos x + ∫ e x sin xdx = −1 + I
0

π
2

0

π

e 2 +1 .
⇒ I = e − ( −1 + I ) ⇒ I =
2

Lưu ý:Tính tích phân dạng này thường quay lại tích phân ban đầu.
• Bài tập tự luyện: Tính các tích phân
e

ln 3 x
1. ∫ 3 dx
x
1
e

∫x

4.

2.

6.

1

9.

1

1

∫ ( x + x ) ln xdx
1

π
2

∫ ( x + cosx) s inxdx
0

π
3

2

11.

+ 1)dx

e



+ x)dx

1

12.

∫ x tan
π

2

xdx

4
2

13.

∫
1

ln x
dx
x5

π
2

14.


0

Giải
Đặt t = sin 2 x ⇒ dt = 2sin x cos xdx
Đổi cận
x=0⇒t =0
π
x = ⇒ t =1
2
1

1

dt
1
⇒ I = ∫ e ( 1 − t ) = − ∫ ( t − 1) et dt
2
20
0
t

Sử dụng tích phân từng phần Đs: I =

1
( e − 2)
2

π3
8

1. ∫ x (e + x + 1)dx
2

2x

0

1

4 ∫ cos xdx
0

3

π
2

e5

ln x.ln(ln x)dx
2. ∫
x
e2

3. ( x + sin 3 x + esinx ).cos xdx
∫
0

1


x
8. ∫ e dx

9. ∫

1

ln ( 9 − x )

1

x

dx

6

Phần 3:TUYỂN TẬP ĐỀ THI TÍCH PHÂN TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY
(2002-2013)
2

x2 −1
ln x.dx
x2

ĐS:

5
3
ln 2 −

ĐS: 1 + ln 2

1 + ln ( x + 1)
dx
x2
1

ĐS:

3. KD - 2013

I =∫

4. KA - 2012

I =∫

3

1

x3
I =∫ 4
dx
x + 3x 2 + 2
0

5. KB - 2012

3

2
cos
x
0

8 . KB – 2011

I=∫

9 . KD – 2011

I =∫

4

0

2

10 . CĐ– 2011

I =∫
1

1

11. KA-2010

I =∫
0


3 1
2 3

ĐS: ln −

e

13 . KD-2010

3

I = ∫  2 x − ÷ln xdx ;
x
1

π2 1
+
32 4

π 2 +4 2 
π
+ ln 
÷
÷
4
8





1

14 . CĐ – 2010

I =∫
0

15 . KA – 2009

2x −1
dx ;
x +1

ĐS:

π
2

I = ∫ (cos3 x − 1) cos 2 xdx ;

ĐS:

0

3

3 + ln x
dx ;
( x + 1) 2


ĐS: ln(e3 − 1) − ln(e − 1) − 2

x

π
6

tan 4 x
dx ;
cos
2
x
0

18 . KA – 2008

I=∫

ĐS:

19 . KB – 2008

π

sin  x − ÷dx
4

;
I=∫

ln x
dx ;
x3
1
e

21 . KD – 2007

I = ∫ x 3 ln 2 xdx ;

ĐS:

5e 4 − 1
32

ĐS:

2
3

1

22 . KA – 2006

π
2

I=∫
0



5 − 3e 2
2

ĐS:

34
27

0

25 . KA – 2005

26 . KB – 2005

27 . KD – 2005

π
2

sin 2 x + sin x ;
dx
1 + 3cos x
0

I=∫
π
2

sin 2 x.cos x

3
2

ĐS:

π
−1
4

11
− 4 ln 2
3

17


e

29 . KB – 2004

1 + 3ln x ln x
dx ;
x

I =∫
0

ĐS:

116

4

1 − 2sin 2 x ;
dx
1 + sin 2 x
0

I=∫

ĐS:

1 5
ln
4 3

ĐS:

1
ln 2
2

2

33 . KD – 2003

I = ∫ x 2 − x dx ;

ĐS: 1

0