MỤC LỤC
Trang
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................. .........................2
Chương I. ĐẠI SỐ LIE ........................................................... ............................4
I. Đại số…………………..……......................................................................... ..4
II. Đại số Lie …….................................................................................................5
III. Đồng cấu Lie ........................................................ ........................................10
IV . Đạo hàm trên đại số Lie................................................................................13
Ch­¬ng II. ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC………..................................................19
I. Đại số Lie lũy linh............................................................................................19
II . Đại số Lie giải được.......................................................................................23
III. Định lý Lie.....................................................................................................27
IV. Áp dụng của định lý Lie.................................................................................30
KẾT LUẬN............................................................................................................32
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................33

1


Lêi më ®Çu
Như chúng ta đã biết, trong sự phát triển của Toán học luôn xảy ra hai quá
trình song song, đó là sự phân chia thành nhiều ngành để có sự nghiên cứu ngày
càng sâu sắc, mặt khác có sự kết hợp các ngành Toán học khác nhau để có những
thành tựu lớn. Có thể nói: Lý thuyết về đại số Lie và đại số Lie giải được là sự
kết hợp giữa các chuyên ngành Hình học – Tôpô, Giải tích và Đại số. Do đó đại
số Lie là một bộ phận quan trọng của toán học hiện đại và nó trở thành một công
cụ hữu hiệu đối với các nghiên cứu trên đa tạp.
Vào cuối thế kỷ 19 đã xuất hiện sự kết hợp lý thuyết nhóm và hình học
Riemann trong các công trình chủ yếu của Phêlix Klein (1849 – 1925) và
Xôphux Lie (1842 – 1899). Lý thuyết về đại số Lie và đại số Lie giải được cũng
được ứng dụng nhiều trong các nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng

Trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận được sự quan
tâm, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học
của Trường đại học Vinh, các bạn bè lớp Cao học K19 ngành Hình học-Tôpô.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, các cô cùng các bạn.
Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của bản thân đến các thầy giáo
trong tổ Hình học, những người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tác giả hoàn
thành khóa học và luận văn này.

Vinh, tháng 10 năm 2013
Tác giả

3


CHƯƠNG I : ĐẠI SỐ LIE
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đại số, đại
số Lie, đồng cấu Lie, và đạo hàm Lie. Ở đây ta luôn giả thiết K là một trường.
1.1. ĐẠI SỐ.
1.1.1. Định nghĩa:
Một không gian vectơ L trên trường K được gọi là một đại số trên K nếu ta
trang bị cho L phép toán thứ ba (gọi là phép toán tích trong).
[,] : L  L  L
(x, y)  [x, y]
thỏa mãn tính chất song tuyến tính.
Nghĩa là: +) [a, (b + c)] = [a, b] + [a, c].
+) [(a + b), c] = [a, c] + [b, c].
+) [  a, b] =  [a, b] = [a,  b].  a, b, c  L,    K.
1.1.2. Chú ý:
i)


)

( A)B = (AB) = A( B).

b, Ta kí hiệu L(G) là tập hợp tất cả các dạng tuyến tính trên môđun G,
L(G)={f:G R/ f tuyn tớnh}. Ta đưa vào L(G) các phép toán sau:
1,(f + g)(x) = f(x) + g(x) ; f, g L(G), x G.
2,( f)(x) = .f(x) ; f L(G), x G.
3,(f.g)(x) = f(x).g(x) ; f, g L(G), x G.
Khi đó L(G) là một đại số trên R.
Chng Minh:
D thy vi phộp toỏn (1), (2) thỡ L(G) l khụng gian vộc t.
Ta cú

+ f (g+h)(x)=f(x) (g+h)(x)=f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)

=(fg+fh)(x). x G , suy ra f(g+h)=fg+fh.
+ (f+g) h (x)=(f+g)(x) h(x)=(f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x)=(fh+gh)(x)
x G suy ra (f+g)h=fh+gh.

+( f) (x)= f(x) g(x)= .f(x).g(x)= (f.g)(x); x G
suy ra f.g= .fg .
1.2. I S LIE:
1.2.1. Định nghĩa.
Gi s G là một đại số trên K. G được gọi là đại số Lie nếu tích trong[,] ca G
thoả mãn tính chất phản xứng và đẳng thức Jacobi.
Nghĩa là:
i) [x, y] = -[y, x]; x, y G.
ii) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 ; x, y, z G.
Chú ý: Điều kiện i có thể thay thế bằng [x, x] =0 ; x G.




Cỏc h s

c

k
ij



,1 i j n c gi l cỏc hng s cu trỳc ca i s Lie G.

1.2.3. Ví dụ.
a) Ta xột G = B ( R n ) l tp tt c cỏc trng vộc t kh vi trong R n . Ta a
vo G mt tớch Lie l [X, Y] = D X Y D Y X; X, Y B ( R n ). Khi ú G l mt
i s Lie.
Chng minh :
Ta bit rng: B ( R n ) được trang bị hai phộp toỏn:
(+) Phộp cng cỏc trng vộc t




Vi X : p X p ; Y : p Yp , vi mi p thuc R n thỡ:





tra các tính chất của móc Lie [,] ; ở đây [x, y] = x  y
3

 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), z = (z1, z2, z3) ∈ R , λ1, λ2 ∈ R, ta có:

+ [λ1x + λ2y, z] = (λ1x + λ2y)  z = λ1x  z + λ2y  z = λ1[x, z] + λ2[y, z]
và [x, λ1y + λ1z] = x  (λ1y + λ1z) = λ1x  y + λ2x  z =
= λ1[x, y] + λ2[x, z]+ [x, x] = x  x = 0.
+ Sử dụng tọa độ ta có:
[[x,y],z]=(x  y)  z = (x3y1z3 − x1y3z3 − x1y2z2 + x2y1z2,, x1y2z1 − x2y1z1 − x2y3z3
+ x3y2z3,, x2y3z2 − x3y2z2 − x3y1z1 + x1y3z1)
và [[y,z],x]=(y  z)  x = (y3z1x3 − y1z3x3 − y1z2x2 + y2z1x2, y1z2x1 − y2z1x1 −
y2z3x3 + y3z2x3, y2z3x2 − y3z2x2 − y3z1x1 + y1z3x1);
và [[z,x],y]=(z  x)  y = (z3x1y3 − z1x3y3 − z1x2y − 2+ z2x1y2, z1x2y1 − z2x1y1 −
z2x3y3 + z3x2y3, z2x3y2 − z3x2y2 − z3x1y1 + z1x3y1) (1)
Suy ra [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0.

7


1.2.4. Mệnh đề.
Tích trực tiếp của hữu hạn các đại số Lie là một đại số Lie.
Chứng minh.
Giả sử G1, G2, ..., Gn là các đại số Lie. Đặt G = g1 × g2 × ... × gn. Khi đó G là
một không gian vectơ. Ta xét:
[, ] : g × g → g
(X, Y )  [X, Y ] = ([X1, Y1], ..., [Xn, Yn])
Trong đó, X = (X1, ...,Xn), Y = (Y1, ..., Yn),Xi, Yi ∈ gi, i = 1, ..., n.
Ở ®©y ta chØ đi kiểm tra [.,.] l


= abc acb bca + cba +bca bac cab+acb+cab cba abc+ bac= 0.
Vy nu G l mt i s kt hp trờn trng K, vi [a, b] = ab ba;
a, b G thỡ G l i s Lie.

b, Giả sử V là không gian vec tơ trên K. Xét tích Lie : [f,g] = f g-g f với f,g
End(V). Khi đó End(V) là một đại số Lie trên K ( ở đây End(V) là tập các tự
đồng cấu tuyến tính V V).
Thy vy :+End(V) với hai phép toán cộng các ánh xạ và nhận ánh xạ với một
số thực thông thường lập thành một không gian véctơ thực.
[f, f] = fof f0f = 0
[[g, f], h] + [[f,h], g] + [[h, g], f] = gfh fgh hgf + hfg + fhg hfg
gfh +ghf +hgf ghf fhg + fgh = 0, f, g, h End(V).
1.2.6. nh ngha.
i) Mt khụng gian vect con N G c gi l i s Lie con ca L nu v ch
nu [N, N] N.
ii) Khụng gian vect con N G c gi l Iờan ca G nu v ch nu:
[G, N] N.
iii) Mt Iờan N ca G tha món [G, N]= 0 thỡ N c gi l tõm ca G.
1.2.7. Mnh .
Gi s M, N l cỏc Iờan ca G. Khi ú [M, N] m, n / m M , n N cng l
Iờan ca G.
Chng minh:
+) Do M, N l cỏc Iờan ca G [M, N] l khụng gian vect con ca G.
+) [G, [M, N]] [M, N]
Tht vy, s dng bao hm thc trong nhn xột th ba ta c:
[G, [M, N]] [M, [N, G]] + [N, [M, G]].

9



(0, 0, x3 , x4 , x5 )  ( x3 , x4 , x5 )

Thật vậy, dễ thấy G với tích Lie xác định ở trên là một đại số Lie.
Mặt khác, ánh xạ

 : G  R3

là ánh xạ tuyến tính

(0, 0, x3 , x4 , x5 )  ( x3 , x4 , x5 )

bởi vì :với
y  (0, 0, y3 , y4 , y5 )  G ;  ,   K ,

tacó:  ( x   y )  ( x 3   y 3 ; x 4   y 4 ; x   y 5 )
5

=  ( x)   ( y )
Lại có  x, y  = ( 0; 0 ; x 4 y 5  x5 y 4 ; x5 y 3  x3 y 5 ; x3 y 4  x 4 y 3 ) nên
  x, y   ( x4 y5  x5 y4 ; x5 y3  x3 y5 ; x3 y4  x4 y3 )

Mặt khác  ( x )  ( x3 , x4 , x5 ) ;
 ( y )  ( y3 , y4 , y5 ) ;

10


Suy ra

 ( x),

ii)  a, b, c  Ker    (a) =  (b) = 0;
  ,   K ta có:  (  a +  b) =   (a) +   (b) = 0.

  a +  b  Ker   Ker  là không gian vectơ con của L.

Bây giờ ta chứng minh: [G, Ker  ]  Ker  .
Thật vậy,  a  G,  b  Ker    [a, b] = [  (a),  (b)] = [  (a), 0] =0.
 [a, b]  Ker   [G, Ker  ]  Ker  .
 Ker  là Iđêan của G.

1.3.4. Chú ý
i)  được gọi là đẳng cấu Lie nếu và chỉ nếu  song ánh và  là đồng cấu Lie.

11


ii)

Hai đại số Lie G, G’ được gọi là đẳng cấu nếu có đẳng cấu Lie

 : G  G’. Kí hiệu: G  G’.

iii) Quan hệ đẳng cấu giữa các đại số Lie là quan hệ tương đương
Chứng minh:
+) Giả sử G là đại số Lie trên K. Khi đó
:G  G

a  a  là đ¼ng cấu Lie.  G  G.
+) Giả sử G  g’ nªn  đẳng cấu Lie  : G  G’.
Xét 

1

1

1

1

(a),  

1

[a, b] = [ 

(b)] = [a, b] =  ( 

1

(a), 

1

1

[a, b]).

(b)]

là đồng cấu Lie.
là đẳng cấu Lie. Tøc lµ G’  2G.

Với a, b  G , ta lại có  ( 1  a, b)   a, b và
 [  1 (a), 

1

(b)] = [  (  1 (a),  (  1 (b)]
= [a, b]

Do đó  ( 1  a, b ) =  [  1 (a),  1 (b)].
Lại do  là song ánh nên  1  a, b  = [  1 (a),  1 (b)].
Từ đó ta có  1 là đồng cấu Lie. Do đó  1 là đẳng cấu Lie. Vậy L lập thành một
nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường.
1.4.ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ LIE G.
1.4.1. Định nghĩa. (Xem [4])
Ánh xạ D: G  G
a  D(a)
được gọi là đạo hàm trên G nếu và chỉ nếu:
i) D là ánh xạ tuyến tính
ii) D[a, b] = [D(a), b] + [a, D(b)].
1.4.2. Mệnh đề.
Giả sử D 1 , D 2 là các ánh xạ đạo hàm trên G. Khi đó ta có:

13


i)  D 1 +  D 2 là ánh xạ đạo hàm trên G.   ,   K.
ii) D = D 1  D 2 - D 2  D 1 cũng là một ánh xạ đạo hàm trên G.
Chứng minh:
Việc chứng minh mệnh đề i tương đối đơn giản, ta chỉ kiểm tra điều kiện ii)
trong định nghĩa, của ánh xạ D 1  D 2 - D 2  D 1 .


= D 3 (D 1 (D 1 (a))) - D 1 (D 3 (D 2 (a))) - D 2 (D 3 (D 1 (a))) + D 2 (D 1 (D 3 (a))).
 [[D 1 , D 2 ], D 3 ] + [[D 2 , D 3 ], D 1 ] + [[D 3 , D 1 ], D 2 ] = 0.

1.4.4. Định nghĩa.
Giả sử G là một đại số Lie trên trường K, với mỗi x  G ta định nghĩa ánh xạ
ad x : G  G
y  ad x (y) = [x, y].
1.4.5. Ví dụ.
3
Ta biết rằng: Không gian véc tơ Euclid R cùng với tích Lie  x, y   x  y là đại

số Lie . Với mỗi x  R 3 , xét ánh xạ:
ad x : R 3  R 3

y  ad x ( y )  x  y .

Khi đó ad x là một ánh xạ đạo hàm trên không gian các đại số Lie.
Thật vậy, dễ thấy ad x là một ánh xạ tuyến tính.
3
Mặt khác, với mọi y, z thuộc R , ta có:

ad x  y , z  =  x,  y , z 

= x   y, z 
= x  (y  z)
= (z  x)  y + (x  y)  z
=  z, x  , y    x, y  , z 
=  x, y  , z    y,  x, z 
=  ad x ( y ), z    y,  ad x ( z ) .

Vì vậy

ad x là một ánh xạ đạo hàm.

1.4.7. Mệnh đề.
Nếu D thuộc DerG thì  D, ad x   ad

D(x)

; x  G .

Chứng minh:
Với mọi t thuộc G, ta có:

D,

ad x  (t )  ( D  ad x  ad x  D )(t )

= D (ad x (t ))  ad x ( D (t ))

`

= D(  x, t  )   x, D (t ) 
=  D( x), t    x, D(t )    x, D(t )
= [ D ( x ), t ] = ad D ( x ) (t )
Vậy  D, ad x   ad

D ( x)

với  x  G .


=  (a)(  (b)(y)) -  (b)(  (a)(y)) = [  (a),  (b)](y) ;  y  G
  [a, b] = [  (a),  (b)].

VËy  là đồng cấu Lie.
ii) Giả sử x  Ker  , y  G; ta có: [x, y] = ad x (y) = 0,  y  G  x  T. (T là
tâm của G).
Ngược lại, x  T  [x, y] = 0,  y  G  ad x (y) = 0,  y  G.
 ad x = 0   (x) = 0  x  Ker  .
 Ker  = T.

1.4.10. Nhận xét. Cho G là một đại số Lie trên trường K. Nếu  là một tự đẳng
cấu bất kỳ của G thì với mọi x thuộc G ta luôn có ad ( x )    ad x   1 .
17


Chứng minh:
Ta chú ý tới sơ đồ sau:


G 
G

Ga

x   ( x )  ad  ( x )

Với mọi y thuộc G, ta có

(  ad x  1 )( y )  (  ad x )( 1 ( y ))

vì: C 1 = G , C2=[G,C1]=[ G,G]= x, y  \ x, y  G = 0.
(do G là đại số Lie giao hoán).
b) G là đại số Lie có chiều bằng 3 với cơ sở là e1 , e2 , e3  cùng với tích Lie

được xác định bởi:

e1 , e2   e3 ; e1 , e3   0 ; e

2

, e3   0

Khi đó G là đại số Lie lũy linh.
Thật vậy: Với x , y, z G mà
x = x 1 e 1 + x2e2 + x3e3 ; y = yxex + y2e2 + y3e3 ; z = z1e1 + z2e2 + z3e3
Có: [y,z] = [y1 e1+y2e2 +y3e3, z1e1+ z2e2 +z3e3]
= y 1 z 1 [e 1 , e 1 ] + y 1 z 2 [e l , e 2 ] + y 1 z 3 [e 1 , e ì ] + y 2 z 1 [e 2 , e l ]
+ y 2 z 2 [e 2 , e 2 ]+ y 2 z 3 [ e 2 , e 3 ]+ y 3 z 1 [e 3 , e 1 ]+ y 3 z 2 [e 3 , e 2 ]
+ y 3 z 3 [e 3 , e 3 ]= ( y 1 z 2 - y 2 z 1 )e 3 .
[ x, [ y, z ]]= [ x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 , ( y 1 z 2 - y 2 z 1 )e 3 ] = x 1 ( y 1 z 2 - y 2 z 1 ) [e 1 , e 3 ]
19


+ x 2 ( y 1 z 2 - y 2 z 1 )[ e 2 , e 3 ]+ x 3 ( y 1 z 2 - y 2 z 1 ) [e 3 , e 3 ] = 0
Suy ra trong G có dãy Iđêan hữu hạn
C1  C 2  C 3 trong đó C1 = G ; C2=[G,C1] =

[G,G]= x, y  \ x, y  G
C3=[G,C2]=[G,[G,G]]= x y, z  \ x, y , z  G  0 .
2.1.3 Bổ đề:

Lấy A = Cn => G  A1  A2  ...  An  0
Với x  G,y  Ci, i = l,2,...,n và tích Lie trong đại số thương G/Ai+1 ta có:
[y + Ci+1,x+ Ci+1] = [[x+y] + Ci+1], [x+y]  Ci+1 = [Ci+1] = [0]
tức là có Ai/Ai+1  T(G/Ai+1 ). (Ở đây T(G/Ai+1) là tâm của G/Ai+1).
• (c)=>(a):

Giả sử có dãy Iđêan thỏa mãn (c), ta chứng minh Ci  Ai ;i= 1,2,...,n và An =0
Dùng bổ đề 2.1.3. ta chứng minh Ci  Ai ;i= 1,2,...,n bằng quy nạp .
Với i = l có C1 = G = A1 suy ra C1  A1 .Giả sử Ci-1  Ai-1 đúng thì có
Ci = [G,Ci-1] = [G,Ai-1]  Ai i= 1,2,3...,n
Mà An = 0 suy ra Cn = 0. Vậy G lũy linh.
2.1.5. Định lý:
Giả sử G là đại số Lie lũy linh còn G ' là đại số Lie,  : G  G ' là đồng cấu Lie thì
Im cũng là đại Lie lũy linh.

Chứng minh:
Vì G lũy linh nên có n  N sao cho  x1, x2,...,xn  G có
[x1,[x2,[...,[xn-1,xn]...] = 0 Lấy y1,y2,...,yn tùy ý thuộc Im  thì tồn tại
a1,a2,...,an  G sao cho  ai   y i ; i=1,2,3,...,n
Do điều kiện ở trên suy ra có [a1,[a2,[...,[an-1,an]...]= 0. Hơn nữa vì  là đồng

21


cấu Lie nên  0  0 , suy ra có  [a1 , [a 2 , [...,[a n1 , a n ]...]  0
 [ a1 , [ a 2 , [...,[ a n 1 ,  a n ]...]  0  [ y1 , [ y 2 , [...,[ y n1 , y n ]...]  0

Vậy Im  là một đại số Lie lũy linh.
2.1.6. Định lý:


 a 0 b 



a, Đại số Lie G   0 a c  / a, b, c  R  là đại số Lie giải được.
 0 0 0 




 a1

Thật vậy: Xét G  G, G  khi đó, với  X   0
0

1

 a2

Y  0
0


0
a1
0

b1 

c1   G ,


 0 0 b1 
 0 0 b2 




1
Ta xét G  G ,G , với X   0 0 c1   G , Y   0 0 c 2   G 1 .
0 0 0 
0 0 0 




2



1

1



Ta có [X,Y]=XY-YX=0 từ đó suy ra G 2 là đại số Lie giải được.
b, Mọi đại số Lie giao hoán, đại số Lie lũy linh đều là các đại số Lie giải được vì
chúng đều có dãy giải được hữu hạn.
c, Giả sử V không gian vectơ hữu hạn chiều trên K
n


.

.

. . .

.

0

.

. . .

.

0 . . .

.

.

.

. . .

.

an2

.

0

.

. . .

.

0 . . .

.

.

.

. . .

.

bn 2

.

. . . bnn1

b32


.........................................
An-1  Dn
An  Dn+1 suy ra Dn+1=0, vậy D1  D2  ...  Dn+1=0
 (b)  (a): Hiển nhiên vì ta lấy Ai=Di

Ta cần chứng minh {Di} giải được.
Ta có Di là idean
Di

Di 1

giao hoán : Di D  x  Di 1 / x  Di  ta xét
i 1

x  Di 1 , y  Di 1   x, y  Di1  Di1  0; x, y  Di
Suy ra Di D giao hoán, vậy {Di} giải được.
i 1
2.2.4. Mệnh đề :
Giả sử G là một đại số Lie , A là một Idean của G. Nếu A và G/A là các đại số
Lie giải được thì G giải được.
Chứng minh:
Từ G/A là đại số Lie giải được , DGn  0  A
A

n 1

Ta chứng minh DGn  A .Thật vậy , ta có DGn   DGn1 , DGn 1  với a,b thuộc DG
a+A , b+B thuộc D Gn / 1A
  a, b   A   a  A, b  A   DGn / 1A , DGn/ 1A   DGn / A  A
  a, b   A