1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 Không gian lồi địa phương và định lý Tikhonov-Schauder 4
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Định lý Tikhonov-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trên
không gian lồi địa phương

18

2.1. Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co suy rộng
trên không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
´ dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Ưng
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


co suy rộng trên không gian lồi địa phương và ứng dụng.
Nội dung chính của luận văn là trình bày những vấn đề cơ bản về


3

không gian lồi địa phương, định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder
đối với ánh xạ liên tục trên tập con lồi và compact của không gian lồi
địa phương, và một số kết quả của Hadzic về sự tồn tại điểm bất động
đối với các ánh xạ co suy rộng trong không gian lồi địa phương. Các nội
dung trên được trình bày trong hai chương:
Chương 1. Không gian lồi địa phương và định lý Tikhonov-Schauder
Chương này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian lồi địa
phương cần dùng về sau và chứng minh chi tiết định lý điểm bất động
Tikhonov-Schauder.
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trên
không gian lồi địa phương
Chương này trình bày các định lý điểm bất động đối với một số lớp
ánh xạ co suy rộng trên không gian lồi địa phương và ứng dụng trong
chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình vi phân.
Các nội dung được trình bày trong luận văn là không mới, nó được
chúng tôi tổng hợp trình bày theo một lôgic riêng, trong đó rất nhiều
kết quả trong các tài liệu được chứng minh vắn tắt hoặc không chứng
minh đã được chúng tôi chứng minh chi tiết. Luận văn được thực hiện tại
trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS. Kiều Phương
Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy. Tác giả
xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán học, Trường Đại
học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian
học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi
những hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến


1, thì λx + (1 − λ)y ∈ U .


5

1.1.4 Định nghĩa. Tập con U của không gian véctơ tôpô E được gọi
là bị chặn nếu với mọi lân cận V của 0 tồn tại s > 0 tương ứng sao cho
U ⊂ tV với mọi t > s.
1.1.5 Định lý. Trong mỗi không gian véctơ:
1) Bao đóng của tập bị chặn là tập bị chặn;
2) Bội vô hướng của tập bị chặn là tập bị chặn;
3) Hợp hoặc tổng hữu hạn các tập bị chặn là tập bị chặn.
1.1.6 Định nghĩa. Cho E là không gian véctơ tôpô. Tập con A ⊂ E
được gọi là hoàn toàn bị chặn hay tiền compact nếu với mỗi lân cận U
của 0 tồn tại tập con hữu hạn B sao cho A ⊂ B + U .
1.1.7 Định nghĩa. Cho E là không gian véctơ tôpô với cơ sở lân cận U
của 0. Dãy suy rộng {xi }i∈I được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi U ∈ U
tồn tại i0 ∈ I sao cho xi − xj ∈ U với mọi i, j

i0 .

Tập con A ⊂ E được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy suy rộng Cauchy là
hội tụ trong A.
1.1.8 Định lý. Cho E là không gian véctơ tôpô. Tập con A của E là
compact khi và chỉ khi A đầy đủ và hoàn toàn bị chặn.
1.1.9 Định nghĩa. Cho E là không gian tuyến tính trên trường R. Hàm
. : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện
sau:
1) x

gian lồi địa phương và sự xác định của tôpô lồi địa phương sinh bởi họ
các nửa chuẩn. Các kết quả căn bản được tổng hợp và trích ra từ [1].
1.1.12 Định nghĩa. Không gian véctơ tôpô được gọi là lồi địa phương
nếu nó cơ sở lân cận U của 0 gồm các tập lồi.
1.1.13 Mệnh đề. Giả sử X là không gian lồi địa phương. Khi đó 0 ∈ X
có cơ sở lân cận U thoả mãn:
1) U, V ∈ U thì có W ∈ U sao cho W ⊂ U ∩ V ;
2) αU ∈ U với mọi α ∈ K, α = 0 và với mọi U ∈ U;
3) Mọi U ∈ U là lồi, cân và hút.
Hơn nữa, nếu không gian tuyến tính tôpô X có họ các tập con U thoả
mãn 1), 2) và 3) thì nó là không gian lồi địa phương.
1.1.14 Mệnh đề. Nếu không gian véctơ E có họ U gồm các tập con lồi,
cân và hút thì trên E tồn tại tôpô yếu nhất sao cho hai phép toán trên E


7

liên tục và E trở thành không gian lồi địa phương. Hơn nữa, cơ sở của 0
trong E là họ các tập
n

Vi , ε > 0, Vi ∈ U, 1

U =ε

i

n.

i=1

p(λx) + p((1 − λ)y)
= |λ|p(x) + |1 − λ|p(y)
< λα + (1 − λ)α = α.


8

Do đó λx + (1 − λ)y ∈ A. Vậy A là tập lồi.
Với mỗi x ∈ A với mọi r ∈ K sao cho |r|
p(rx) = |r|p(x)

1 ta có

|r|α < α.

Suy ra rx ∈ A. Vậy A cân.
Với mỗi x ∈ X. Nếu p(x) = 0 thì x ∈ A. Nếu p(x) = 0 thì lấy δ =

α
.
p(x)

Khi đó, với mọi λ ∈ K sao cho |λ| < δ ta có
p(λx) = |λ|p(x)

xác định bởi họ đếm được các nửa chuẩn thì E khả mêtric, tức là trên
E tồn tại một mêtric sinh ra tôpô trùng với tôpô lồi địa phương ban đầu
của nó.
Chứng minh. Giả sử {pn } là họ các nửa chuẩn sinh ra tôpô lồi địa phương
trên E. Với mỗi x, y ∈ E ta đặt
∞

d(x, y) =
n=1

1 pn (x − y)
.
2n 1 + pn (x − y)

Khi đó, rõ ràng d(x, y) xác định và hơn nữa d là mêtric trên E. Ta chứng
minh tôpô sinh bởi d trùng với tôpô lồi địa phương sinh bởi {pn }.
Với ε > 0 ta xét
Bd (0, ε) = {x ∈ E : d(x, 0) < ε}
là hình cầu trong tôpô do mêtric d sinh ra. Chọn n0 đủ lớn sao cho

n>n0

ε
1



n>n0

1 pn (x)
2n 1 + pn (x)

1
2n

1ε ε
+
2i 2 2
i=1
ε ε
< + .
2 2


0 sao cho
2i ε 1

ε
, i ∈ I.
1+ε

Khi đó
Bd (0, ε1 ) ⊂ V.

F -không gian, nếu nó đầy đủ thì gọi là không gian Frechet.
1.1.26 Ví dụ. Giả sử

R∞ := {x = {xn } : xn ∈ R, n

1}

với phép cộng và nhân vô hướng thông thường theo từng số hạng. Xét
họ Q = {pn } là họ đếm được các nửa chuẩn trên R∞ xác định bởi
Pn (x) = |xn |; x = {xn }, n = 1, 2, ...
Khi đó R∞ là không gian lồi địa phương. Do họ các nửa chuẩn là đếm
được nên R∞ còn khả mêtric
∞

d(x, y) =
n=1

1 |xn − yn |
2n 1 + |xn − yn |

với mọi x, y ∈ R∞ . Tuy nhiên, R∞ không phải là không gian bị chặn địa
phương. Thật vậy, nếu ngược lại thì nó là không gian định chuẩn. Khi
đó, tồn tại chuẩn trên R∞ sao cho tôpô sinh ra bởi chuẩn trùng với tôpô
sinh ra bởi {pn }. Xét B(0, 1) = {x ∈ R∞ : x < 1}. Khi đó, tồn tại
V = {x ∈ R∞ : pi (x) = |xi | < δ, i ∈ I}
trong đó I là tập hữu hạn sao cho V ⊂ B(0, 1). Lấy x0 = {x0n } ∈ R∞
sao cho x0n = 0 nếu n ∈ I và x0n = 0 với n ∈
/ I. Khi đó, x0 = 0 và suy ra
x0 = r > 0. Với mọi số tự nhiên k do cách xác định của x0 và V ta có
kx0 ∈ V . Do đó kx0 ∈ B(0, 1) với mọi k. Suy ra kx0 = kr < 1 với mọi


λi ai : ai ∈ A, λi > 0,

convA =
i=1

λi = 1 .
i=1

1.1.29 Mệnh đề. Trong không gian lồi địa phương:
1) Bao lồi của tập bị chặn là bị chặn.
2) Bao lồi của tập hoàn toàn bị chặn là hoàn toàn bị chặn.
3) Bao lồi của tập compact là tập compact.
1.2. Định lý Tikhonov-Schauder
Mục này nghiên cứu định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder trên
không gian lồi địa phương. Đây là sự mở rộng của định lý Schauder về
sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục giữa các tập lồi compact
trong không gian định chuẩn.
Trước hết ta trình bày một kết quả bổ trợ sau:


13

1.2.1 Định lý. Cho E là không gian lồi địa phương Hausdorff, A là một
tập con compact của E và C là tập con lồi của E chứa A. Khi đó, nếu
U là lân cận mở của 0 thì tồn tại một ánh xạ liên tục x → PU (x) từ A
vào E thỏa mãn:
i) PU (x) ∈ L ∩ C với x ∈ A;
ii) PU (x) − x ∈ U với x ∈ A, trong đó L là một không gian con hữu
hạn chiều của E.


µi (x)ai
PU (x) =

i=1
n

với x ∈ A.
µi (x)

i=1


14

Ta thấy PU xác định, bởi vì nếu x ∈ A thì x ∈ U (ai ) với i nào đó thuộc
vào {1, 2, ..., n} và vì thế
n

µi (x) = 0.
i=1

Hơn nữa PU là liên tục trên A và tập giá trị của nó nằm trong không
gian con tuyến tính L sinh bởi {ai : i = 1, 2, ..., n}. Mặt khác A ⊆ C và
C là một tập lồi nên
PU (x) ∈ C với mỗi x ∈ A
Do đó
PU (x) ∈ L ∩ C với x ∈ A.
Mặt khác
n

1 hoặc

µi (x) > 0 và µU (ai − x)U < 1.
Khi đó PU (x) − x ∈ U với x ∈ A. Định lý đã được chứng minh.
Bây giờ, ta trình bày định lý Tikhonov-Schauder.
1.2.2 Định lý. ([1],[2]) Cho E là không gian lồi địa phương Hausdorff,
C là tập con lồi của E và F : C −→ E là ánh xạ liên tục sao cho:
F (C) ⊆ A ⊆ C,


15

trong đó A là tập compact. Khi đó F có ít nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử U là lân cận mở, lồi, cân của 0 và PU được xác định
như trong Định lý 1.2.1. Bây giờ ta định nghĩa FU bởi:
FU (x) := PU (F (x)) với x ∈ C.
Khi đó PU nhận giá trị trong không gian hữu hạn chiều L xác định
như trong chứng minh Định lý 1.2.1. Cũng từ Định lý 1.2.1 ta có nếu
x ∈ L ∩ C thì F (x) ∈ A và do vậy
FU (x) = PU (F (x)) ⊆ L ∩ C.
Suy ra
FU (L ∩ C) ⊆ PU (A) ⊆ L ∩ C.

(1.1)

Giả sử K là bao lồi của tập compact PU (A) trong L. Chú ý rằng K
cũng là tập compact.Từ (1.1) và PU (A) ⊆ K ⊆ L ∩ C suy ra
FU (K ) ⊆ K .

áp dụng định lý điểm bất động của Brouwer suy ra tồn tại x ∈ K với x =

i=1

Ta khẳng định rằng với bất kỳ x ∈ C,tồn tại j ∈ {1, ..., n} sao cho
x − F (x) ⊆ Uαj

(1.4)

không thể xẩy ra. Thật vậy, cố định x ∈ C. Vì y = F (x) ∈ A nên tồn tại
j ∈ {1, ..., n} với y ∈ Uαj (αj ). Ta có y = u + aj với u nào đó thuộc Uαj .
Do đó nếu ω ∈ Uαj (y) thì tồn tại ω ∈ Uαj với
z = ω + y = ω + u + aj ,
và vì vậy
z ∈ 2Uαj + aj ⊆ Vαj (αj ).
Ta thu được
Uαj (y) ⊆ Vαj (αj ).

(1.5)

Giả sử rằng khẳng định (1.4) không đúng. Khi đó với bất kỳ x ∈ C ta
có x ∈ Vαj (y); với y = F (x) và từ (1.5) ta thấy rằng x ∈ Vαj (αj ). Mặt
khác, từ (1.3)ta có
y = F (x) ∈ Wαj (F (aj )).
Tuy nhiên, từ y ∈ Wαj (F (aj )) và (1.3) suy ra y ∈
/ Vαj (αj ). Điều này mâu
thuẫn với (1.5). Do đó với bất kỳ x ∈ C,tồn tại j ∈ {1, ..., n} sao cho
x − F (x) ⊆ Uαj

(1.6)



Trong cả mục này, ta xét không gian lồi địa phương, Hausdorff E với
tôpô lồi địa phương sinh bởi họ các nửa chuẩn P = {pi : i ∈ I}.
2.1.1 Định lý. ([3]) Cho E là không gian lồi địa phương đầy đủ dãy và
f là ánh xạ từ I vào I. Giả sử M là tập con đóng trong E và T là ánh
xạ từ M vào M thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Với mỗi i ∈ I, tồn tại q(i)
pi (T x − T y)

0 sao cho với mọi x, y ∈ M ta có
q(i)pf (i) (x − y);

2) Tồn tại x0 ∈ M sao cho với mọi i ∈ I, chuỗi
∞

n−2

q[f k (i)] pf n−1 (i) (T x0 − x0 )
n=1

k=0

hội tụ và có tổng ký hiệu là S(i), trong đó q[f −1 (i)] = 1, q[f 0 (i)] = q(i),
f n (i) = f [f n−1 (i)].


19

Khi đó, T có duy nhất điểm bất động x ∈ M thỏa mãn
n−2


q(i)pf (i) (x1 − x0 )

pi (x3 − x2 )

q(i)q[f (i)]pf 2 (i) (x1 − x0 )

····································
····································
n−1

q[f r (i)] pf (n+1) (i) (x1 − x0 )

pi (xn+1 − xn )
r=0

····································
Suy ra
n

pi (T x0 − x0 ) + q(i)pf (i) (T x0 − x0 ) + · · · +

pi (dr )
r=1

(2.2)

n−2

q[f r (i)] pf n−1 (i) (T x0 − x0 ),



Vì chuỗi

q[f r (i)] pf n−1 (i) (T x0 −x0 ) hội tụ nên pi (yn+r −yn ) → 0

khi n → ∞ với mọi r. Do đó, (yn ) là dãy Cauchy trong không gian đầy đủ
n

dãy E và vì thế {yn } hội tụ tới y trong E. Từ xn = x0 +

dr = x0 + yn
r=1

suy ra (xn ) hội tụ trong E. Vì (xn ) ⊂ M và M đóng nên x = lim xn =
n→∞

lim T n x0 ∈ M. Với mọi i ∈ I ta có

n→∞

pi (T x − T xn )

pf (i) p(x − xn ) → 0

khi n → ∞. Suy ra xn+1 = T xn → T x khi n → ∞. Vì E là Hausdorff
nên x = T x.
Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng:
n−2

q[f k (i)] pf n−1 (i) (x − x0 ) = 0.

Vì

k−1

q[f r (i)] pf k (i) (T x0 − x0 )+

S(i) − Sk (i) =
r=0
k

(2.4)
q[f r (i)] pf k+1 (i) (T x0 − x0 ) + · · ·

+
r=0


21
k−1

q[f r (i)] × [pf k (i) (T x0 − x0 ) + qf k (i) pf k+1 (i) (T x0 − x0 ) + · · · ] =

=
r=0

k−1

q[f r (i)] Ak (i),

=

T x = x. Khi đó,
pi (x − y) = pi (T x − T y)

q(i)pf (i) (x − y)

n

q[f r (i)] pf n+1 (i) (x − y)
r=0
n

q[f r (i)] [pf n+1 (i) (x − x0 ) + pf n+1 (i) (y − x0 )]
r=0

và khi n → ∞ ta thu được pi (x − y) = 0 với mọi i ∈ I. Suy ra x = y
Ta nhận được hệ quả sau:
2.1.2 Hệ quả. ([3]) Cho E là không gian lồi địa phương đầy đủ dãy và
f là ánh xạ từ I vào I. Giả sử M là tập con đóng trong E và T là ánh
xạ từ M vào M thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Với mọi i ∈ I tồn tại q(i)
pi (T x − T y)

0 sao cho:

q(i)pf (i) (x − y) ∀x, y ∈ M


22

2) Với mọi i ∈ I tồn tại n(i) ∈ N sao cho với mọi n


q[f (i)] pf n (i) (T x0 − x0 )
n=0

n=0

k=0
∞

n−1

an (i), trong đó an (i) =

Xét chuỗi số
n=0

k=0

q[f k (i)]. Ta có

k=0
n

an+1 (i)
=
an (i)

q[f n (i)]

k=0

0 và g(i) ∈ I sao cho với

N thì bất đẳng thức sau đúng pf n (i) (x)

∞

n−2

n=0

k=0

c) Chuỗi

q[f k (i)] an−1 (i) là hội tụ

an (i)pg(i) (x).


23

3. Ánh xạ S là liên tục và S(G) là tập compact tương đối.
Khi đó, tồn tại một điểm x0 ∈ G sao cho Sx0 + T x0 = x0 .
Chứng minh. Với mỗi x ∈ G cố định, ta xét ánh xạ y → T y + Sx. Từ
điều kiện 2) của định lý ta dễ dàng suy ra ánh xạ y → T y + Sx thỏa
mãn tất cả các điều kiện của Định lý 2.1.1, và do đó tồn tại duy nhất
Rx ∈ G sao cho Rx = T Rx + Sx. Sử dụng bất đẳng thức
∞

pi (Rx − Rx0 )


sao cho:
a) pfλn (i) (x)
b) q[fλn (i)]

0 sao cho:

an (i)pg(i) (x) với mọi λ ∈ Λ và x ∈ M
Qn (i) với mọi λ ∈ Λ

0 và g(i) ∈ I


24
∞

n−2

n=1

k=0

Qk (i) an−1 (i) hội tụ.

c) Chuỗi

Khi đó nghiệm x(λ) của phương trình x(λ) = Φ[x(λ), λ] là liên tục
theo biến λ ∈ Λ.
Chứng minh. Từ các điều kiện a) của định lý, với mỗi λ ∈ Λ ánh xạ
Φλ : M → M xác định bởi Φλ (x) = Φ(x, λ) thỏa mãn các điều kiện


Vì ánh xạ λ → Φ(x, λ) liên tục nên tồn tại một lân cận V (λ0 ) ⊂ Λ sao
cho:
∞

pg(i) (Φλ [x(λ0 ), λ] − Φλ0 [x(λ0 ), λ0 ])

ε

−1

Qk (i) an−1 (i)
n=1

và suy ra pi (x(λ) − x(λ0 ))

n−2

k=0

ε với mọi λ ∈ V (λ0 ). Do đó, x(λ) liên

tục.
2.1.5 Định lý. ([5]) Cho E là không gian lồi địa phương đầy đủ dãy và
M là tập con đóng trong E. T là ánh xạ từ M vào E
1) Với mọi (α, i) ∈ I × {1; 2; . . . ; k} tồn tại q(α, i)
ϕi : I → I thỏa mãn bất đẳng thức:
k

pα (T x − T y)


n→∞

n

∗

max

i1 i2 ...in ∈V (n,k)

{pϕi1 ϕi2 ...ϕin (α) (x − x0 )}

Q(α, i) = 0

(2.5)

i=0

với mọi α ∈ I và
pα (x∗ − T m x0 )

S(α, x0 ) − Sm (α, x0 )

(2.6)

với mọi m = 1, 2, . . . , α ∈ I. Hơn nữa, với mọi nghiệm x∗ của phương
trình T x = x thỏa mãn điều kiện (2.5) thì x∗ = lim T m x0 .
m→∞



p(α, n − 1, x)

n=2

Q(α, i);
i=0

và Sm (α, x) là tổng riêng thứ m của chuỗi S(α, x)
Chứng minh. Đầu tiên, ta sẽ chứng tỏ rằng: Với mọi n ∈ N và ∀x, y ∈ M
ta có bất đẳng thức sau

pα (T n x − T n y)

q(α, in )q(ϕin (α); in−1 )q(ϕin−1 ϕin (α),
i1 i2 ...in ∈V (n,k)