Lời cảm ơn

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng sự giúp đỡ của các thầy cô giáo
và các bạn sinh viên đến nay khóa luận đã được hoàn thành.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thạc Sỹ Phùng Đức
Thắng đã hướng dẫn và giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và
hoàn thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho
em có cơ hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học. Đồng thời em xin
chân thành cám ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong tổ giải tích, sư
động viên giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trong quá
trình học tập và hoàn thành khóa luận.
Vì đây là lần đầu tiên em được làm quen với công việc nghiên cứu và kiến
thức của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên
để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Phạm Thị Tuyết


Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng em.
Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các
nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình
nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013



1.4.2 Sự hội tụ của chuỗi trong không gian định chuẩn Mat n n, K .. ......... 22
1.5 Ma trận mũ .............23
1.5.1 Định nghĩa ma trận mũ ..............23
1.5.2 Một số tính chất ma trận mũ .......................... .28
1.6 Ma trận logarit ................ .30
Chương 2 : Giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương
trình vi phân tuyến tính .....................34
2.1 Lý thuyết tổng quát về hệ phương trình vi phân tuyến tính. ............ .34
2.1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất .................. ..34
2.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất .................37
2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng ...................... 40
2.2.1 Cấu trúc của ma trận cơ bản . ......................... 40
2.2.2 Công thức biến thiên hằng số ....................... ..42
2.2.3. công thức biến thiên hằng số
2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn ................ .45
2.3.1 Định nghĩa ............................... .45
2.3.2 Ma trận cơ bản ..................................46
2.3.3 Cấu trúc nghiệm của hệ tuần hoàn ................................... ..48
2.4 Các hệ khả quy ................................... .50
2.4.1 Ma trận Liapunop ..................................... .50
2.4.2 Cấu trúc nghiệm của hệ khả quy .................................. 51
Kết luận ....................................................................... 53
Tài liệu tham khảo ........................................................... ..54


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hệ phương trình vi phân là một trong những công cụ của toán

Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học.
Nghiên cứu các sách tham khảo, các tài liệu liên quan.
Nghiên cứu lý luận tổng hơp đánh giá.
6. Cấu trúc khóa luận
Gồm 3 phần:
Phần I: Mở đầu
Phần II: Nội dung
Gồm 2 chương
Chương 1 : Giải tích ma trận
Chương 2 : Giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương
trình vi phân tuyến tính.
Phần III: Kết luận.

2


CHƯƠNG 1
GIảI TíCH MA TRậN
1.1. Không gian vectơ
1.1.1. Định nghĩa không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1. Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử của nó ta ký


hiệu là , , .và K là một trường. Giả sử V được trang bị hai phép toán
gồm:
a) Phép cộng : V*V V












, , K
5





T6 , K , , V



T7 . , , K , V

T8 1. , V


















i i = 11 + 2 2 ++ n n trong đó 1 , 2 , 3 , K
n

i 1







b) Với mọi V, nếu = 11 + 2 2 ++ n n thì ta nói vectơ


được biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ ( 1 , 2 ,, n ) và đẳng thức





= 11 + 2 2 ++ n n được gọi là một biểu thị tuyến tính của qua








11 + 2 2 ++ n n = 0


Tính chất 2. Hệ gồm một vectơ ( ) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi




=0



Tính chất 3. Với n >1, hệ vectơ ( 1 , 2 ,, n ) ( n *, n >1) được gọi

là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một vectơ nào đó của hệ biểu thị
tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ.
Tính chất 4. Mỗi hệ vectơ con của một hệ vectơ độc lập tuyến tính cũng là
một hệ vectơ độc lập tuyến tính.
Tính chất 5. Mỗi hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính cũng là
một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính .

Nói riêng, mỗi hệ vectơ chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính.



b) Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là
không gian vectơ vô hạn chiều.
1.2. Ma trận ,định thức của ma trận và toán tử tuyến tính
1.2.1. Ma trận
Định nghĩa 1.2.1. Cho K là một trường tùy ý. Một bảng gồm m.n phần tử
aij thuộc trường K có dạng

a11

a21
...

a m1


a12 a13 .... a1n

a 22 a 23 .... a2 n
... ... .... ...

am 2 a m 3 .... amn

i 1, m, j 1, n được gọi là một
a a ... a i 1, m

được gọi là ma trận kiểu (m.n) . Mỗi
thành phần của ma trận. Vectơ dòng

(1.1)


cột.
Khi m n thì ma trận A =( aij ) nn được gọi la ma trận vuông cấp n và ký
hiệu đơn giản là A =( aij ) nn .
Tập hợp tất cả các ma trận kiểu m, n với các phần tử thuộc trường K được
kí hiệu là Mat m n, K
Định nghĩa 1.2.2. Cho A = ( aij ) mn , B =( bij ) mn là hai ma trận cùng thuộc
Mat m n, K và

K .
Ta gọi là tổng hai ma trận A và B một ma trận C = ( c ij ) mn xác định bởi
cij = aij + bij

i 1, m, j 1, n

và kí hiệu là C A B
Ta gọi là tích của ma trận A với vô hướng là một ma trận D =( dij ) mn
xác định bởi

7


i 1, m, j 1, n

dij = . aij

và kí hiệu là D = A
Như vậy A B = aij bij

, A = ( aij ) mn .


Định nghĩa 1.2.3. Cho ma trận A =( aij ) Mat m n, K và ma trận
B = ( bij ) Mat n p, K

Ta gọi là tích của ma trận A với ma trận B một ma trận
C =( cik ) Mat n p, K

mà phần tử được xác định bởi
n

cij = aij.b jk i 1, m, k 1, p
j 1

và kí hiệu là C A.B .
Mệnh đề 1.2.2. Với mọi ma trận A, B, C và với K , các đẳng thức sau là
đúng theo nghĩa: nếu một vế được xác định vế kia cũng vậy và hai vế bằng
nhau:

8


C A B CA CB
AB C A BC ;
A B C AC BC; AB A B

Mệnh đề 1.2.3. Tập hợp Mat m n, K các ma trận vuông cấp n cùng với
hai phép toán cộng và nhân ma trận lập thành một vành có đơn vị. Vành này
không giao hoán khi n 1 .
Phần tử đơn vị của vành Mat m n, K là ma trận
1
0


mn

a

Ma trận

ij nm

a12
...
a1n
a11


a21 a22
...
a2 n


... ...
...
...


am1 am 2 ...

a
mn


Ta gọi mỗi song ánh từ tập 1, 2..., n lên chính nó là một phép thế bậc n .
Tập hợp tất cả các phép thế bậc n với phép lấy tích ánh xạ lập thành một
nhóm kí hiệu là Sn . Ta gọi nhóm này là nhóm đối xứng bậc n . Nó có n!
phần tử.
Với mọi n ta thường viết

1


(1)

2 ...
(2) ...

n
(n) .

Định nghĩa 1.2.8 ( Dấu của phép thế )
Với n 1 , ta gọi cặp số i, j 1, 2,..., n là một nghich thế của phép thế
nếu (i) ( j ) trái dấu với i j , nghĩa là

10

(i ) ( j )
i j

0 .


Ta bảo phép thế là phép thế chẵn hay lẻ tùy theo số nghịch thế của nó là


a12 ...

a1n

a 21

a 22 ...

a2 n

...
a n1

... ...
a n 2 ...

...
a nn

Định lý 1.2.1. ( Định thức của ma trận chuyển vị )
Ta có det A t = det A với mọi A Mat m n, K

11


Định nghĩa 1.2.10. ( Định thức con và phần bù đại số )
Cho A =( aij ) Mat m n, K . Nếu chọn k dòng và k cột của A ( 1 k n )
thì định thức M của ma trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở giao
của k dòng và k cột này được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A.


Định lý 1.2.4. Giả sử A, B Mat (n n, K ) . Khi đó:

12


a) det(A.B)=detA.det B
b) A khả nghịch khi và chỉ khi detA 0. Hơn nữa, ta còn có
det A1

1
det A

1.2.3. Toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1.2.11 . ( Định nghĩa toán tử tuyến tính)
Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P ( P , P

). ánh

xạ A từ không gian X vào không Y gian gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A
thỏa mãn các điều kiện :
1) ( x, x ' X ) A( x x ') Ax Ax ' .
2) x X P A x Ax .
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử chỉ thỏa
mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y P thì toán tử tuyến
tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.12. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính
A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C
sao cho Ax C x , x X



n

n

y f ( x) j h j với j a jk k
k 1

( j 1, 2,..., n)

k 1

Định lý 1.2.5. Đối với bất kỳ phép biến đổi f trong R n tồn tại một cơ sở sao
cho ma trận A của phép biến đổi f có dạng
K1
0

A ....

0

0

....

0
K 2 .... 0
.... .... ....

0 0 K p


14


Chú ý
1. Với bất kỳ ma trận vuông B nào cũng tồn tại ma trận vuông S
không suy biến sao cho SBS 1 A trong đó A là ma trận dạng
chính tắc Jordan.
2. Ma trận A đồng dạng với ma trận J dạng
J0
0
J
...

0

0

...

J1 ...
...

...

0

...

0

0
Ji
...

0

1

0 ...

q 1 1 ...
...

... ...

0

...

0

0



0
...

q 1




Trong đó J i là ma trận vuông cấp ri và
0 1
0 0

Z i ... ...

0 0
0 0

0
1
...
0
0

0
... 0
0


... 0

...
... ... , Z i2

0
... 1
0


, kí hiệu . ( đọc là chuẩn),

thỏa mãn các tiên đề sau :
1) x X x 0, x 0 x ( kí hiệu phần tử không là ).
2) x X P x x .
3) ( x, y X ) x y x y .
Số x gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn
là X.
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.

16

)


Định lý 1.3.1. Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai vectơ bất kỳ x, y
ta đặt
d ( x, y ) d ( x, y ) = x y

Khi đó d là một metric trên X.
1.3.2. Không gian định chuẩn của ma trận vuông cấp n.
Định nghĩa ( Không gian định chuẩn các ma trận vuông cấp n)
Định nghĩa 1.3.2. ( Chuẩn của ma trận A)
Trong Mat (n n, K )( K , K ) . Ta xác định chuẩn của ma trận
A (aij ) nn Mat (n n, K ) bởi công thức
n

A aij


a

ij

i , j 1



hay A

a

ij



. Vậy ánh xạ . được hoàn toàn xác

i , j 1

định.

17


+ Kiểm tra các tiên đề chuẩn
Tiên đề 1. ( A Mat n n, K
n

* A


n

n

A aij aij
i , j 1

i , j 1

a

ij

A

i , j 1

Tiên đề 3. ( A, B Mat n n, K , A (aij ), B (bij ) )
n

n





n

n

+ Tính chất (2)
n



Đặt C AB c nn . Trong đó cik aij.b jk i 1, n, k 1, n



j 1

n

n

C cik
i ,k 1

n

n

a b

i , k 1 j 1

ij jk

n


n





Do đó Ax là một vectơ n hàng, 1 cột Ax di : d i aij.x j i 1, n .
j 1

19


Vậy
n

n

n

n

n

n
n

Ax aij x j aij.x j aij . x j aij x j A . x
i 1 j 1
i 1 j 1
i , j 1

n

. Mỗi phần tử xn gọi là số hạng thức n của

n 1

chuỗi (1.5). Biểu thức
k

Sn xn (k 1,2,...)
n 1

gọi là tổng riêng thứ k của chuỗi (1.5).

20


Nếu tồn tại lim S n S trong không gian định chuẩn X , thì chuỗi (1.5) gọi là
k

hội tụ và S gọi là tổng của chuỗi này.
Khi đó ta viết


S xn
n 1

Nếu chuỗi (1.5) hội tụ và có tổng là S, thì biểu thức rk S S k gọi là tổng
dư thứ k của chuỗi (1.5)
Chuỗi (1.5) gọi là hội tụ tuyệt đối, nếu chuỗi sau hội tụ

21



thif Am A .