Lĩnh vực Công nghệ thông tin
Phân hoạch của vành đa thức theo các phần tử liên hợp
và ứng dụng trong lý thuyết mã
PGS.TS Nguyễn Bình, KS. Đặng Hoài Bắc
Khoa Kỹ thuật điện tử 1
Tóm tắt: Mã xyclic cục bộ (XCB) tuy còn non trẻ nhng đã tỏ ra có nhiều u điểm thoả mãn đ-
ợc yêu cầu thực tế của hệ thống truyền tin. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ đề cập đến một
cách phân hoạch mới trên vành đa thức chẵn Z
2
[x]/x
2n
+1 (ký hiệu là Z
2n
) đó là phân hoạch
theo lớp các phần tử liên hợp và từ đây xây dựng mã XCB cụ thể trên phân hoạch này.
1. Phân hoạch của vành đa thức Z
2n
theo các phần tử liên hợp
1.1 Các thặng d bậc 2 và các căn bậc 2 của chúng.
Định nghĩa 1.1: Đa thức f(x) đợc gọi là thặng d bậc 2 (quadratic residue - QR) trong Z
2n
nếu
tồn tại đa thức g(x) sau:
g
2
(x)

f(x) mod x
2n+1
(1.1)
Nh vậy g(x) Z

n
0i
i
n
C
=
1 2 3 ( 1)
...
n n
n n n n n
C C C C C

+ + + + +
= 2
n

(1.2)
Ví dụ 1.1: Ta xét vành Z
2n
với n=3

ta có vành Z
6
( n = 3)
Tập các thặng d bậc hai Q
2n
trong vành Z
6
đợc xác định theo bổ đề 2.1 nh sau:
Q

t
+








(1.3)
Trong đó U là một tập gồm các tổ hợp tuỳ ý các giá trị trong tập s = {0, 1, 2,..., n-1}
Do vậy lực lợng của U sẽ bằng:U = 2
n
-1
Ví dụ 1.2: Trong tập Q
6
ở trên ta xét một QR bất kỳ để xác định căn bậc 2, chẳng hạn f(x)=x
2
áp dụng công thức (1.3) tính các căn bậc hai ở trên ta có
sqr(x
2
) = (1+x
3
)
xx
Ut
t
+


3
+x
4
Cứ nh vậy ta sẽ tìm đợc toàn bộ 2
2n
phần tử liên hợp của vành Z
6
.
Nhận xét:
- Trong vành Z
2n
có 2
n
thặng d bậc 2, mỗi thặng d bậc 2 có 2
n
căn bậc 2, vậy có tất cả 2
2n
căn bậc 2 trong vành, các căn bậc 2 này tạo nên toàn bộ vành Z
2n
.
Học viện Công nghệ BCVT
Hội nghị Khoa học lần thứ 5
- Ta sẽ gọi các căn bậc 2 của cùng một thặng d bậc 2 là các phần tử liên hợp (Conjugate
Elements ) tơng ứng với thặng d đó ký hiệu là CEs.
1.2 Phân hoạch vành Z
2
[x]/ x
2n
+1 theo các phần tử liên hợp
Để khảo sát sự phân hoạch theo các CE trên vành Z

Ta thấy rằng, đối với phép cộng các CEs ở hình 1 sẽ thoả mãn bảng 1 nh sau:

Sqr(1) Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqr(1)
Sqr(0) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2

Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(0) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(1) Sqr(x
2
) Sqr(1+x
2
) Sqr(x
4
)
Sqr(1+x
2
)
Sqr(x
2
) Sqr(1) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0) Sqr(x
2
+x
4

4
)
Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(x
4
) Sqr(x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(0) Sqr(1) Sqr(x
2
+x
4
)
Sqr(1+x
2
+x
4
)
Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
4

6
Ta kiểm tra một phép cộng modulo trong bảng trên chẳng hạn: Sqr(1)+Sqr(x
4
) = Sqr(1+x
4
)
Ta có: 1+x+x
4
sqr(1) x
5
Sqr(x
4
)
1+x+x
4

x
5
= 1+x+x
4
+x
5
Sqr(1+x
4
) ( thoả mãn)
Kiểm tra với các tổng khác trong bảng 1, chúng ta thấy chúng đều thỏa mãn do vậy rõ
ràng là lớp các phần tử liên hợp tạo nên một nhóm Aben cộng tính.
+ Đối với phép nhân, lớp các phần tử liên hợp trong vành Z
6
cũng thoả mãn bảng sau:

4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqr(x
2
)
Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqrh(x
4
)
Sqr(x

2
+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(0) Sqr(0)
Sqr(1+x
4
)
Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(0) Sqr(0)
Sqr(x
2
+x
4

2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqr(0)
Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) 0
Bảng 2. Phép nhân modulo với các phần tử liên hợp trong vành Z
6
Ta kiểm tra các kết quả trong bảng trên, chẳng hạn nh:
Học viện Công nghệ BCVT
Sqr(1)
Sqr(x
2
+x
4
)
Sqr(1+x
2
)
Sqr(1+x
4
)

4
) Sqr(1+x
2
) và (1+x
2
+x
3
) Sqr(1+x+x
2
)
Ta có: (x
3
+x
4
)x(1+x
2
+x
3
) = (x
3
+x
4
+x
6
+x
5
+x
6
+x
7

2
+x
4
)
Khi thực hiện phép nhân: (x+x
3
) x (1+x
2
+x
4
) = (x+x
3
+x
3
+x
5
+x
5
+x
7
) mod (x
6
+1) = x+x = 0.
Vậy, các phần tử liên hợp của các thặng d bậc 2 trong vành Z
6
tạo nên một nửa nhóm nhân.
Nhận xét:
- Lớp các CE của các thặng d bậc 2 trong vành Z
6
là một nhóm đầy đủ đối với phép cộng

đợc gọi là luỹ đẳng nuốt. Tơng
tự nh vậy, trong vành Z
2n
, ta cũng xác định đợc một lũy đẳng nuốt là
)x(e
2
0
với :


=
=
1n
0i
i22
0
x)x(e

(2.1)
Phép nhân một đa thức bất kỳ với luỹ đẳng nuốt giúp ta kiểm tra đợc tính chẵn lẻ.
Luỹ đẳng nuốt có những tính chất đặc biệt để xây dựng mã XCB.
Trong vành
1x]x[Z
10
2
+
, tức vành Z
2n
với n = 5 ta thấy rằng có tất cả 32 (2
n

+x
6
, x
2
+x
8
, x
4
+x
6
, x
4
+x
8
, x
6
+x
8
, 1+x
2
+x
4
,
1+x
2
+x
6
, 1+x
2
+x

8
, x
4
+x
6
+x
8
, 1+x
2
+x
4
+x
6
,
1+x
2
+x
4
+x
8
, 1+x
2
+x
6
+x
8
, 1+x
4
+x
6

8

Ta xác định CEs của luỹ đẳng nuốt e
0
(x
2
)=1+x
2
+x
4
+x
6
+x
8
trong tập Q
10
trên theo biểu thức:
Sqr(e
0
(x
2
)) = (1+x
n
)







n-1
)
Đây là mã tối u thoả mãn giới hạn Griesmer nghĩa là độ dài từ mã n thoả mãn:
1
0
0
2
k
i
i
d
n

=


(2.2)
Nhận xét:
- Để trực giao hóa hệ tổng kiểm tra
n
x1)x(b)x(a
+=+
, ta có thể chọn trớc giá trị của n
dấu thông tin. Để thuận tiện, bắt đầu từ đây khi lập mã ta sẽ chọn
0xxx
1n21nn
====

hoặc C
2
hoặc C
3
tuỳ theo chọn bit. Sau 5 nhịp dịch vòng xác
định đợc 5 dấu thông tin từ x
0
đến x
4
. Sau đây là sơ đồ giải mã.
Học viện Công nghệ BCVT
qr(e
0
(x
2
)) =
{1+x+x
2
+x
3
+x
4
,+x
2
+x
3
+x
4
+x
6

5
+x
7
,
x+x
3
+x
5
+x
7
+x
9
, x+x
4
+x
5
+x
7
+x
8
, x
2
+x
3
+x
4
+x
5
+x
6

7
,
x
3
+x
5
+x
6
+x
7
+x
9
, 1+x
3
+x
6
+x
7
+x
9
, x
4
+x
5
+x
6
+x
7
+x
8

+x
8
+x
9
, x+x
2
+x
5
+x
8
+x
9
, 1+x
6
+x
7
+x
8
+x
9
,
1+x
2
+x
6
+x
8
+x
9
, 1+x

+x
8
+x
9
,
1+x+x
2
+x
4
+x
8
, x+x
2
+x
4
+x
5
+x
8
, 1+x+x
2
+x
3
+x
9
,
N
0
C
1

x
2
x
3
x
4
00000
+ + + +
C
1
+
+
++
C
2
C
3
Lĩnh vực Công nghệ thông tin
Bộ giải mã ngỡng của mã này đợc thể hiện ở hình 3. Tại xung clock thứ nhất, đầu ra
của thiết bị giải mã M là x
0
. Tại xung clock thứ hai, đầu ra của M là x. Tại xung clock thứ ba,
đầu ra cuả M là x
2
. Tại xung clock thứ t, đầu ra là x
3
. Tại xung clock thứ 5, đầu ra là x
4
. Ng-
ỡng chính của thiết bị giải mã ngỡng M sẽ là 8. Bộ mã có khả năng sửa đợc 6 bit sai.

=
phần tử của luỹ đẳng
)x(e
2
0
đợc phân hoạch theo hai lớp kề nh sau:
}30,1b,b{}29,0i),x(a)x(e{B
ii
01
====

Học viện Công nghệ BCVT
+
1
3
C
2
3
C
3
3
C
4
3
C
5
3
C
6
3

C
7
2
C
8
2
C
9
2
C
10
2
C
1
1
C
2
1
C
3
1
C
4
1
C
5
1
C
6
1