Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự cố gắng của bản thân, đặc biệt
là sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh đã
giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành khóa luận.
Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành nhất
tới thầy Khuất Văn Ninh, cũng như sự quan tâm, chỉ bảo, góp ý kiến của thầy
giáo, cô giáo trong tổ hình học, các thầy cô giáo trong khoa Toán đã giúp đỡ em
hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Do điều kiện có hạn và kinh nghiệm cũng như kiến thức của bản thân em
còn nhiều hạn chế cho nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Kính
mong các thầy cô giáo cùng bạn đọc nhận xét và góp ý kiến để em rút kinh
nghiệm và có thể hoàn thiện, phát triển khóa luận về sau này.
Một lần nữa, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lời chúc sức khỏe đến
các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc.

Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả

Trần Thanh Khuê

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân, cùng với sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy giáo
PGS.TS Khuất Văn Ninh cũng như các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích

2.5.3. Về phép biến đổi hình hoc giữa phần tử tham chiếu và phần tử thực. ..... 29
2.6. Xây dựng các hàm

và

............................................................ 34

2.6.1. Phương pháp tổng quát ........................................................................... 34
2.6.2. Tính chất của các hàm

và

................................................... 38

Chương 3: Ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn vào bài toán kỹ thuật 40
3.1. Tính chất cơ học tổng quát của bài toán đàn nhớt. ..................................... 40
3.2. Về một phương pháp giải bài toán đàn nhớt tuvến tính đẳng nhiệt. ........... 44
3.2.1 Nguyên lý tương ứng ............................................................................... 44
3.2.2. Phát biểu bài toán biên đàn nhớt tuyến tính ............................................ 45
3.2.3. Bài toán đàn hồi kết hợp ......................................................................... 45
3.3. Giải bài toán đàn nhớt tuyến tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn....... 46
KẾT LUẬN...................................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 52

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU


Khóa luận tốt nghiệp

làm phát triển nhảy vọt các phương pháp tính rời rạc hóa khi ta thay thế các hệ
liên tục bằng các mô hình rời rạc, mà còn có thể tạo ra hiệu quả ngược lại, tức là
cho phép lập được các phương trình vi phân xuất phát từ việc khảo sát các hệ rời
rạc. Nhờ đó tạo ra khả năng cho ta đơn giản hóa các bài toán hai chiều, ba chiều
về các bài toán một chiều.
Với mong muốn được tìm hiểu những kiến thức cơ bản nhất về phương
pháp phần tử hữu hạn và những ứng dụng khác nhau của phương pháp để giải
quyết một số bài toán kỹ thuật như trên, tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu:
“Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng”.

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu: “Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng” trên
cơ sở đó nhằm nghiên cứu những vấn đề cơ bản nhất của phương pháp phần tử
hữu hạn, áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn.
- Cách giải một số bài toán kỹ thuật bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập, tìm kiếm tài liệu.
- Nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Thống kê toán học.

5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, kết luận thì luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau


(1.1)

Đây là dạng tổng quát của phương trình toán tử trong các không gian.
Theo khuôn khổ chung đó, những gì ta có thể nói về phương trình toán tử
(1.1) là nó có lời giải duy nhất khi và chỉ khi toán tử
trường hợp này lời giải duy nhất là

=

là khả nghịch và trong

. Ngược lại, phương trình (1.1) có

thể không có lời giải. Do đó, ta có một vài câu hỏi như với những điều kiện nào
thì phương trình này là giải được (điều kiện giải được) và nếu như vậy thì đó có
phải là lời giải duy nhất (điều kiện duy nhất) và hơn thế nữa, nếu không xét đến
tính duy nhất hay không thì làm thế nào tìm ra nghiệm (điều kiện tính toán). Rõ
ràng, để trả lời các câu hỏi như vậy, ta cần mô tả chính xác hơn về phương trình,
chẳng hạn như một số điều kiện bổ sung nếu cần.
Trong trường hợp đó, việc tìm cách giải cho phương trình (1.1) là rất khó
khăn hoặc thậm chí là không có lời giải, người ta nghĩ tới việc tìm lời giải gần
đúng (xấp xỉ) của nó. Điều này là có thể, tuy nhiên vấn đề đặt ra là tìm xấp xỉ tốt
nhất.
Xét phương trình (1.1), nếu cả hai không gian

và

đều là các không gian


:
:

tương ứng.
→

bởi:
(1.2)

1


Khóa luận tốt nghiệp

Giả sử toán tử bất kì
Kí hiệu: |

được xác định trong không gian tuyến tính

là hạn chế của

trên tập con
=

,

bất kì.

của . Cuối cùng, ta sử dụng


thì dãy nghiệm {

}

có hội tụ tới điểm đó hay không?
(3) Nếu dãy nghiệm {

} hội tụ tới một điểm cho trước thì giới hạn của nó

có là nghiệm (duy nhất) của phương trình (1.1) không?
Câu trả lời cho ba câu hỏi này dẫn đến lời giải xấp xỉ của phương trình toán tử
(1.1). Để chính xác hơn ta đưa ra các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1. Trong không gian tuyến tính , chuẩn của nó kí kiệu là: ∥. ∥ .
∈

Một dãy
giản là

được gọi là hội tụ mạnh tới

→

∈

→

∗

−


(hoặc yếu) theo thuật toán xấp xỉ Γ nếu tồn tại một số nguyên

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

> 0 sao cho

2


Khóa luận tốt nghiệp
∈

phương trình toán tử (1.3) có nghiệm duy nhất
{

} hội tụ mạnh (hoặc yếu) tới

với mỗi

∈ , trong đó

≥

, và dãy

là nghiệm duy nhất của

phương trình (1.1).
Định nghĩa 1.3. Phương trình toán tử (1.1) được gọi là xấp xỉ mạnh (hoặc yếu)
theo thuật toán xấp xỉ Γ nếu tồn tại một số nguyên

phải đáp ứng một số điều kiện nhất định. Ví dụ như một điều kiện cần thiết là:
(1.4)

=
Điều kiện này chứng tỏ rằng tập hợp các dãy {

} là trù mật trong .

Với thuật toán xấp xỉ tốt nhất, các toán tử
toán tử tuyến tính. Nếu

→

:

và

:

và
→

được nói đến ở trên là
là các toán tử chiếu tuyến

tính thì thuật toán xấp xỉ tương ứng sẽ đem lại một phương pháp chiếu được gọi
là thuật toán hình chiếu xấp xỉ.
Đặc biệt, theo các điều kiện khác của toán tử
thuật toán Γ = {
i.

Nếu
→

và

là không gian các hàm xác định trong Ω ⊂ ℝ và

:

là toán tử nội suy xác định bởi

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp

(
Trong đó ,

,…,

)( ) =

∈ Ω, ( ) ∈

( )
và {


Đây là phương pháp Collocation.
iv.

Nếu

là không gian Hilbert với tích vô hướng 〈∙, ∙〉 và

và

=

{

,…,

},

=

{

,…,

} tương ứng, và

và

đều là toán tử chiếu trực

giao, khi đó phương trình toán tử xấp xỉ (1.3) tương đương với:

→

là toán tử tuyến tính và

= 1,2, …, thì nó là phương pháp bình phương tối thiểu, ví dụ

trong trường hợp này các điều kiện trong (1.6) cùng tương đương với tối
thiểu
min ∥
∈

Hơn nữa, nếu

=

và

=

−

∥

, = 1,2, …, thì nó trở thành phương pháp

Bubnov-Galerkin.

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

4


+ ( , ) ( , )= ( , )

(2.1)

là miền phẳng với biên .

Điều kiện biên:
( , )= ( , )
được đặt trên khúc

của biên. Trên đoạn còn lại của biên,

(2.2)
, nghiệm ( , )

cần tìm thỏa mãn:

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

5


Khóa luận tốt nghiệp

( , )

( , ) cos

+ ( , )

Những bài toán vật lý trong các lĩnh vực cơ học vật rắn và tính đàn hồi có
liên quan đến những phương trình vi phân đạo hàm riêng tương tự như phương
trình (2.1). Nghiệm để bài toán loại này cực tiểu hóa một phiếm hàm nhất định
trên một lớp hàm được xác định bởi bài toán.
Giả sử , , và
riêng cấp một liên tục,

là những hàm liên tục trên
liên tục trên

,

và

rằng, ( , ) > 0, ( , ) > 0, ( , ) ≤ 0 và

∪ ,

và

liên tục trên

có đạo hàm
. Giả sử, thêm

( , ) > 0 thì nghiệm duy

nhất của phương trình (2.1) cực tiểu hóa phiếm hàm sau:

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

[ ] xác định trên tập tất cả các hàm khả vi cấp hai liên tục
trình (2.2) trên

(2.4)

thỏa mãn phương

. Phương pháp phần tử hữu hạn lấy xấp xỉ nghiệm này bằng

cách cực tiểu hóa phiếm hàm trên một lớp nhỏ hơn.
Bước đầu tiên là chia miền đã cho ra thành một số hữu hạn các miền nhỏ,
hay còn gọi là các phần tử, theo một quy định, hoặc là thành các hình chữ nhật
hoặc các tam giác. (xem hình 2.2)

Hình 2.2
Tập hợp các hàm dùng cho xấp xỉ là tập hợp các đa thức xác định trên các
miền con bậc cố định với

và . Phép xấp xỉ đòi hỏi những đa thức đó được

ghép lại với nhau thành một hình để kết quả hàm số là liên tục khả tích hoặc đạo
hàm bậc nhất hoặc bậc hai liên tục trên miền nguyên. Những đa thức kiểu tuyến
tính theo

và :
( , )=

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

+


,

, …,

, …,

( , )

là những mẩu đa thức tuyến tính độc lập tuyến tính và

là các hằng số. Một vài hằng số này như

,

để đảm bảo điều kiện biên, ( , ) = ( , ), thỏa mãn trên
còn lại

,

, …,

để cực tiểu hóa phiếm hàm [∑

, …,

dùng

, những hằng số


+ ( , )

+ ( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

(2.5)

8


Khóa luận tốt nghiệp

Để cực tiểu xảy ra, xét như một hàm của

,

, …,

, cần phải có:

= 0 , = 1,2, … ,

2

( , )

( , )

( , )

( , )

vì vậy
( , )

0=

( , )

− ( , ) ( , )

( , )+ ( , )

( , )

( , )

( , )

+

( , ) ( , )

=( ,

,…,

) được xác định

bởi:
Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp

=

( , )

( , )

− ( , )

( , )+ ( , )

( , )

( , )

với mỗi = 1,2, … , , = 1,2, … ,
=−

thể làm ma trận
thiết rằng

xác định dương. Trong bài toán cấp hai (2.1) chúng ta giả
=

là một đa giác, vì vậy

và

là tập hợp các đường thẳng tiếp

giáp nhau.
Để bắt đầu quá trình chúng ta chia nhỏ
,

,…,

ra thành tập hợp các tam giác

. Với tam giác thứ có 3 đỉnh, hay còn gọi là 3 điểm nút ta kí hiệu

là:
()

Để đơn giản ta viết

=

=( ,

0 ếế

( , )=

+

+

=
≠

Từ đây cho ta hệ phương trình tuyến tính có dạng:
1
1
1

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

0
= 1
0

10


Khóa luận tốt nghiệp
với phần tử 1 xuất hiện ở hàng thứ trong véc-tơ vế phải (ở đây = 2).
Cho
điểm nút
giá trị 1 ở


.
cho trong

hình 2.3.

V2(1)

-2

 1, 2 

V1(1)

-

T1
T2

V3(1)

1

1,1

V1(2)
V3(2)

1



( )

(2) = 0

và

Vì vậy

( )

=0,

( )

=

( )

+

( )

,

( )

=

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

( )

+

( )

(1) +

( )

(1) = 1

( )

+

( )

(0) +

( )

(0) = 0

( )

+

( )



( , )=

( )

( , ) = . Chú ý rằng

( , ) bởi vì

= .

Xem hình 2.4 là một đoạn phía trên bên trái của biên trong hình 2.2. Chúng
ta sẽ tạo ra những con số trong ma trận

tương ứng với những điểm nút trong

hình này. Để đơn giản, chúng ta giả thiết rằng
điểm nút trên

không phải là một trong các

.

E2
E1

T2

T1


( )

( )

=

đều khác không trên

và

( )

=

và

, các số

.
,

=

,

được tính bằng

công thức:
=



( )

+

( )

( , )=

( )

( , )=

( )

+

( )

+

( )

và

vì vậy với tất cả ( , ),
=
Tương tự, trên

( )

( )

+

( )

+

( )

( , )=

( )

( , )=

( )

+

( )

+

( )

và

vì vậy với tất cả ( , ),
=

=

( )

−

+

( ) ( )

+

+

( )

+

( )

+

( ) ( )

+

( )

( ) ( )


quy về những tích phân bội hai trên

các tam giác. Thủ tục thông thường để tính tất cả các tích phân có thể và gộp
chúng lại thành một số

trong . Tương tự, tích phân bội hai có dạng:
( , )

( , )

được tính toán trên những tam giác và sau đó gộp chúng lại thành số

của véc-

tơ .
Ví dụ, để xác định
−

Vì

chúng ta cần:

( , )

( , )

=

( , )


và phần còn lại được xác định bởi

đó, những điểm nút thuộc về
trong

và

được xác định bởi

hạn chế với

. Thêm vào

có tích phân đường được cộng thêm vào chúng

và .

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp

Thuật toán 2.1 thực hiên phương pháp phần tử hữu hạn trên một phương
trình vi phân elip bậc hai. Thuật toán thiết lập tất cả các giá trị của ma trận
vecto

và



là biên của

và

( , ) cos
,

+

( , ) ( , )=

( , )

là các góc định hướng của pháp tuyến

với biên:
Bước 0: Chia miền
,…,

thành những tam giác

sao cho:

là những tam giác không có cạnh nằm trên

(Chú ý:

hoặc


Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

,…,

)

là:
,

()

Gắn nhãn các điểm nút (các đỉnh) là
nằm trong

;

nghĩa là tất cả các tam giác có cạnh nằm trên

Gắn nhãn 3 đỉnh của tam giác
,

;

= 0 nghĩa là không có tam giác nào nằm trong )

,…,

(Chú ý:

()


OUTPUT các hằng số
1, … ,

, ,

các số nguyên

()

;

,

()

,

,

()

()

,

,

với mỗi = 1, … ,


=( ,

))

Bước 2 For = 1, … ,
= 0;

Đặt

For = 1, … ,
Bước 3 For

đặt

,

= 0.

= 1, … ,
1

()

()

Đặt ∆ = det 1

()

()

() ()

−
∆

() ()

()

;

()

;

()

;

()

=
()

=
()

=

−


=
()

=

−
∆

()

−
∆

()

−
∆

()

;
;
;

for = 1, 2, 3
định nghĩa
Bước 4 For

()


Khóa luận tốt nghiệp

đặt
()
,

=

() ()

Bước 5 For

=

()

( , )

∬
()

đặt

( , )

∬

+ 1, … ,


for = 1, 2, 3
= 1, … ,

for
đặt
đặt
Bước 6 For

=

()
,

=∫

( , )

()

( , )

()

()

=∫

( , )

()

> then for = 1, … , − 1 do Các bước 10, 11.
=(

Bước 10 Tìm sao cho
Bước 11 If ≤

()

,

()

).

then
if ≤

then đặt

else đặt

=

+

()
, ;

=



Bước 12 If ≤

=

then đặt

=
Bước 13 For =

+ 1, … ,

()
, ;

+

()

+

.

thực hiện các bước 14-19. (ghép các tích phân

đường thành hệ tuyến tính.)
= 1, 2, 3 thực hiện các bước 15-19

Bước 14 For


then
if ≤

then đặt

=

+

()
, ;

=

+

()
,

=

else đặt

−

()
, ;

else
if ≤

,

= ( ), = ( ),

và 1 ≤ ≤ .

Bước 21 OUTPUT ( , … ,
(với mỗi

=

then đặt

= 1, … ,

).
cho

Sau đó ( , ) = ∑

=

()

( , ) xấp xỉ ( , ) trên

∪

=


.

Bước 23 STOP (Thủ tục hoàn thành)

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

18


Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ 2: Nhiệt độ ( , ) nằm trong miền

hai chiều thỏa mãn phương trình

Laplace:
( , )+
Xét miền

( , )=0

ê

cho trong hình 2.5 với điều kiện biên cho như sau:
( , ) = 4,

( , )∈

,

( , )∈

/

của miền

tại điểm ( , ).

+
√2

,

là đạo hàm theo hướng trong hướng của pháp tuyến với biên

 0, 0.4 
L1
L7

_

 0.2, 0.2 

 0.4, 0.2 

L2
L3

D

 0.5,1
L4


và

∪

∪

∪

∪

. Kí hiệu của

những tam giác được cho trong hình 2.6.

E6

T3

T7
T1

T8
E8

E2
E2

E1



có nghĩa là

= 4 khi =

với = 1,2, … ,5 ta áp dụng những

bước còn lại của thuật toán. Từ đó cho ta ma trận
2.5
0
−1
⎡ 0
1.5 −1
⎢
= ⎢ −1 −1 4
⎢ 0 −0.5 0
⎣ 0
0
0

0
0
−0.5
0 ⎤
⎥
0
0 ⎥
2.5 −0.5⎥
−0.5
1 ⎦