Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
Lời cảm ơn
Sau một thời gian say mê nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân đặc
biệt là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của Thầy Nguyễn Văn Vạn đã giúp đỡ
em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận.
Qua đây em xin bày lòng biết ơn tới Thầy cũng như sự chỉ bảo quan
tâm, đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô giáo trong tổ Hình học, các Thấy, Cô
giáo trong khoa Toán đã giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của
mình.
Do điều kiện thời gian và khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên
luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các Thầy, Cô cùng
các bạn nhận xét và góp ý kiến để em rút đựơc kinh nghiệm và có hướng hoàn
thiện phát triển khoá luận sau này.
Một lần nữa em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc và lời chúc
sức khoẻ đến các Thầy, Cô và toàn thể các bạn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2007
Sinh viên
Dương Trọng Luyện
Dương Trọng Luyện K29b toán
1
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
4
Phần 1. Các hệ tiên đề của hình học Euclid
6
Phần 2. Vấn đề định hướng trong mặt phẳng
9
A. Định hướng trên đường thẳng
9
1. Định nghĩa
9
2. Độ dài đại số của đoạn thẳng
10
3. Hệ thức Sa- lơ
10
4. Các ví dụ minh hoạ
11
58
2. Định hướng cho một nhị diện, một tam diện
58
3. Phân loại phép dời hình loại I và loại II
61
4. Ví dụ
62
Kết luận
64
Tài liệu tham khảo
Dương Trọng Luyện K29b toán
65
3
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp
Nghiên cứu các sách giáo khoa, các sách chuyên khảo, các sách tham
khảo và các bài giảng có đề cập đến phép biến hình.
5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài.
5.1. ý nghĩa khoa học
Tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của định hướng trong giải toán
5.2. ý nghĩa thực tiễn.
Là tài liệu tham khảo hữu ích cho các Thầy, Cô giáo và các bạn yêu
thích toán
PHần 1. Các hệ tiên đề của hình học Euclid
Dương Trọng Luyện K29b toán
5
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
1. Một số yêu cầu cơ bản của việc xây dựng hình học bằng phương pháp
tiên đề
Khi xây dựng một số lý thuyết hình học người ta cần phải có các khái niệm
cơ bản (là những khái niệm đầu tiên không định nghĩa) và các tiên đề (là
những mệnh đề xuất phát được thừa nhận là đúng).Tuy nhiên hệ thống các
tiên đề cần phải đựơc đảm bảo các điều kiện sau:
1.1. Điều kiện phi mâu thuận: Điều kiện này có nghĩa là những điều nói ở
trong các tiên đề và những kết quả suy ra từ chúng không có hai cái nào trái
2.1.1. Với hai điểm bất kỳ tồn tại đường thẳng đi qua.
2.1.2. Với hai điểm phân biệt có không quá một đường thẳng đi qua.
2.1.3. Mỗi đường thẳng có ít nhất hai điểm. Có ít nhất ba điểm không cùng
thuộc một đường thẳng.
2.1.4. Cho bất kỳ ba điểm A, B, C nào không thuộc một đường thẳng, không
bao giờ có quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó.
2.1.5. Cho bất kỳ ba điểm A, B, C nào không cùng thuộc một đường thẳng,
không bao giờ có quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó.
2.1.6. Nếu hai điểm A, B cùng thuộc một đường thẳng a, đồng thời cùng
thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm nào khác thuộc đường thẳng a cũng sẽ
thuộc mặt phẳng
2.1.7. Nếu hai mặt phẳng cùng thuộc một điểm A thì chúng sẽ cùng thuộc ít
nhất một điểm thứ hai B.
2.1.8. Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
2.2. Nhóm II- Các tiên đề về thứ tự.
ở đây có thêm khái niệm tương quan cơ bản “ở giữa”.
Các tiên đề trong nhóm này là:
2.2.1. Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm C thì A, B, C là ba điểm khac nhau
cùng thuộc một đường thẳng và điểm B cũng ở giữa C và A
2.2.2. Cho bất kỳ hai điểm A, C nào bao giữa cũng có ít nhất một điểm B trên
đường thẳng AC sao cho C ở giữa A cà B.
2.2.3. Trong bất cứ ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng không bao giờ
có quá một điểm ở giữa hai điểm kia.
2.2.4. Tiên đề Pát.
Cho ba điểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng và một đường
thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng không thuộc bất cứ điểm nào trong ba
điểm A, B, C cả. Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn AB thì nó
còn một điểm chung nữa hoặc với AC hoặc với đoạn BC.
2.3. Nhóm III - Các tiên đề bằng nhau.
Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan “bằng” của một
ABC =
ACB =
và BAC
2.4. Nhóm IV – tiên đề liên tục.
2.4.1. Tiên đề Đơ đơ kin hay tiên đề IV
Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lớp
không rỗng sao cho:
- Mỗi điểm của đường thẳng đều thuộc một lớp và chỉ một mà thôi.
- Mỗi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai.
Khi đó có một điểm luôn luôn ở giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai lớp có
thể coi điểm này là điểm cuồi cùng của lớp thứ nhất hoặc điểm đầu của lớp
thứ hai.
2.4.2. Tiên đề Acsimét
Cho hai đoạn thẳng AB và CD bất kỳ. Khi đó có một số hữu hạn các
điểm A1 , A2 ,..., An thuộc đường thẳng AB sắp xếp sao cho A1 ở giữa A và A2 , A2
ở giữa A1 , và A3 , …., An1 ở giữa A n2 và A n , B ở giữa An1 và A n và sao cho
các đoạn AA1 , A1 A2 ,..., A n1 A n đều bằng đoạn CD.
2.5. Nhóm V – các tiên đề về song song.
Định nghĩa: Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trên một mặt phẳng
và không có điểm chung gọi là hai đường thẳng song song với nhau. Nếu a và
b là hai đường thẳng song song với nhau ký hiệu là: a // b.
Nội dung tiên đề: Cho một đường thẳng a bất kỳ và một điểm A không
thuộc đường thẳng a. Khi đó trong mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường
thẳng a có nhiều nhất một đường thẳng đi qua A và không cắt a.
2.6. Đo độ dài, diện tích, thể tích.
2.6.1. Độ dài
Dương Trọng Luyện K29b toán
8
3. Nếu P, P1 , P2 là các đa giác mà P P1 P2 thì
f ( P) f ( P1 ) f ( P2 )
4. ứng với hình vuông có các cạnh bằng đơn vị đo độ dài đoạn thẳng thì
giá trị của hàm f bằng 1
Khi đó giá trị của hàm f ở mỗi đa giác (đơn) P, tức là số f(P) được gọi là
diện tích của P theo đơn vị diện tích là hình vuông nói trong điều kiện 4.
2.6.3. Thể tích của các hình đa diện đơn
Theo sơ đồ như xây dựng lí thuyết về diện tích của các đa giác đơn
trong mặt phẳng, người ta xây dựng lí thuyết về thể tích của các hình đa diện
đơn trong không gian.
Dương Trọng Luyện K29b toán
9
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
Phần 2: Vấn đề định hướng trong mặt phẳng
A. Định hướng trên đường thẳng
1. Định nghĩa.
Trên đường thẳng , cho một điểm 0, gọi là gốc và một vectơ đơn vị e
( AB AB.e ,AB gọi là độ dài đại số của AB trên trục ). Hay cho đoạn thẳng
AB trên đường thẳng định hướng . Ta có độ dài đại số của đoạn thẳng AB là
số có giá trị tuyệt đối là độ dài của đoạn thẳng AB, kí hiệu: AB
Nếu AB cùng hướng với e thì AB mang dấu dương
Nếu AB ngược hướng với e thì AB mang dấu âm
Nếu A, B có toạ độ lần lượt là a, b thì ta có: AB = (b- a) e và AB = b-a
Dương Trọng Luyện K29b toán
10
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
2
2
2
Bài làm
Ta định hướng trên đường thẳng và chọn A là điểm gốc trên đường
thẳng đó.
Giả sử B, C, D có toạ độ lần lượt là b, c, d. Khi đó ta có:
Dương Trọng Luyện K29b toán
11
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
AB b, AC c, AD d
CD AD AC d c
DB AB AD b d
BC AC AB c b
Nên ta có:
a)
AB CD AC DB ADBC b(d c) c(b d ) d (c b)
= bd-bc+bc-cd+cd-db
=0
2
AB CD AC DB AD BC CDDBBC 0
Bài làm:
Kẻ AH vuông góc với BC, chọn hệ trục Hxy với gốc toạ độ là điểm H như
hình vẽ ta có: A = (0; a) C=(c; 0) B= ( b; 0) D=( d; 0)
Khi đó ta có:
CD d c, DB b d , BC c b
2
2
2
AB a 2 b2 , AC a 2 c 2 , AD a 2 d 2
Do đó ta suy ra
Dương Trọng Luyện K29b toán
12
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
2
2
Khoá luận tốt nghiệp
2
2
b a c2
mc2
2
4
2
a
Thật vậy: Nếu D là trung điểm của đoạn thẳng BC với hướng dương theo
hướng BC , Với D là gốc khi đó ta có :
2
2
a
a
CD , BC a, DB , AB c 2 , AC b 2
2
2
Dương Trọng Luyện K29b toán
13
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
b c a
AD 2
2
4
hay ma2
b2 c 2 a 2
2
4
Chứng minh tương tự ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Qua điểm A của hình bình hành ABCD. Dựng cát tuyến đi qua A cắt
BD ở E, BC ở F và CD ở G. CMR:
1
1
1
AE AF AG
Bài làm: Do AB song song với DG nên ta có:
AE BE
AG BD
(1)
Do BF song song với AD nên :
AE
AF. AG
AF AG
1
1
1
.
AE AF AG
Dương Trọng Luyện K29b toán
15
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
B. Định hướng trong mặt phẳng
B0. Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch
Trong không gian E2 ,cho hệ toạ độ trực chuẩn 0, e1 , e2 (I) và hệ toạ
( hay rad),…
Cho hai tia Ou và Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ
theo chiều âm ) xuất phát từ tia 0u đến trùng với tia Ov thì ta nói: tia Om quét
một góc lượng giác tia đầu là Ou, tia cuối Ov.
Cho hai vectơ chung gốc 0 A, 0B (đều khác vectơ không), trong mặt
phẳng (OAB). Cho tia Ox quay quanh điểm O theo một hướng nhất định từ tia
0A đến tia 0B, ta nói tia 0x quét một góc định hướng, kí hiệu là (0 A,0B) , với
0A là vectơ đầu(hoặc là vectơ gốc) 0B là vectơ cuối (hoặc vectơ ngọn).
Như vậy góc định hướng của vectơ 0A và vectơ 0B chình là góc lượng
giác của tia 0A và tia 0B.
1.1.2. Quy ước: Thông thường, ta quy ước hướng quay của tia 0x nói trên
quanh điểm O là dương nếu hướng quay này là ngược chiều quay của kim
đồng hồ, và là âm nếu hướng quay này theo hướng kim đồng hồ
1.1.3. Cách xác định góc
Khi xác đinh góc định hướng ở trên ta không quan tâm đến độ dài vectơ
nên để thuận tiện, ta có thể xét các vectơ 0A và 0B có độ dài bằng nhau:
Sđ AB . k.2
1.1.4. Ta gọi số đo góc định hướng (0 A, 0B) là sđ (0A,0B)= 0 k 3600 trong đó
0
AOB
(00 0 3600 ), (
A0 B là số đo góc không định hướng, tương ứng
với số đo cung không định hướng AB ), k là số vòng quay của tia 0x từ tia
đầu 0A đến tia cuối 0B, k 0 nếu quay theo chiều dương, k < 0 nếu quay theo
chiều âm. Nếu dùng đơn vị đo rađian ta có công thức: sđ (0A,0B)= k 2 .
Như vậy mỗi góc định hướng (0A,0B ) được xác định bởi vectơ đầu 0A ,
vectơ cuối 0B (do đó 0 AOB xác định) và một số nguyên k. Mỗi góc định
vectơ 0A MN , 0B PQ (h.3) với mỗi véc tơ đầu MN , và vectơ cuối PQ và
số nguyên k, ta xác định một góc định hướng, ký hiệu ( MN, PQ) , với số đo
(MN, PQ) sd ( 0A, 0B) 0 k.3600 , trong đó 0
AOB và k là số vòng
quay từ tia 0A đến tia 0B. k > 0 nếu quay theo hướng dương và k < 0 nếu
quay theo hướng âm.
h.3
1.2.2. Tính chất
Cách xác định góc định hướng ( MN, PQ) , như trên không phụ thuộc
vào vị trí của điểm gốc O.
Thật vậy, giả sử với hai điểm gốc bất kì O và O‟ ta dựng các vectơ
0 A MN 0' C, 0B PQ 0' D (h.3) thì A0 B C 0 ' D ( hai góc có cạnh
tương ứng song song cùng hướng ) đồng thời số vòng quay k là như nhau nên
của chúng cùng hướng.
Quan hệ bằng nhau của hai góc định hướng có tính chất phản xạ, đối
xứng, bắng cầu, nghĩa là các tính chất của quan hệ tương đương.
2. Các hệ thức cơ bản về số đo góc định hướng
Sự xác định góc định hướng như trên không phụ thuộc vào độ dài và
điểm gốc các vectơ nên để thuận tiện, ta chỉ cần xét các vectơ có độ dài bằng
nhau và có chung điểm gốc, nghĩa là các bán kính vectơ của một đường tròn
với điểm gốc là tâm đường tròn.
Từ các hệ thức về số đo cung định hướng trên cùng một đường tròn có
tâm O, bán kính 0A = 0B = r ta suy ra được các hệ thức của số đo các góc
định hướng chung gốc O, từ đó suy ra hệ thức của góc định hướng không
chung gốc. Người ta thường xét số đo góc định hướng theo môđun 2 để
không phải quan tâm đến số k, cuối cùng khi chỉ xét những góc định hướng
có số đo từ 0 đến 2 thì số đo góc đó xác định duy nhất. Xét các hệ thức về
số đo góc theo môđun 2 (hoặc ) ta sẽ nhận được nhiều đồng dư thức đẹp và
trong thực tế sử dụng những đống dư thức này rất thuận lợi khi giải toán.
Dưới đây là một số hệ thức cơ bản đối với các góc định hướng chung gốc và
không chung gốc, trong đó:
0 A MN , 0B PQ (h.1)
Chú ý rằng: XY YX
1) Góc không: (0 A,0 A) 0 (mod2 )
2) Góc bẹt : (0 A, 0 A) (mod2 )
3) Hai góc ngược hướng
Dương Trọng Luyện K29b toán
5) Hai góc ngược hướng bù nhau hoặc hai góc định hướng có cạnh tương
ứng song song bù nhau:
(0 A, 0 B) (0 A, 0 B) (mod2 )
( MN , PQ) ( MN , PQ) (mod2 )
(5)
(0 A, 0 B) (0C , 0 B) (mod2 )
( MN , PQ) ( MN , PQ) (mod2 )
6) Hai góc định hướng đối đỉnh
(0 A,0 B) (0 A, 0 B) (mod2 )
(6)
( MN , PQ) (MN , PQ) (mod2 )
7) Hiệu hai góc định hướng chung tia đầu
Dương Trọng Luyện K29b toán
21
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
Hệ thức (8) được phát biểu như sau: Tổng ba góc cùng hướng trong
một tam giác bằng (theo (mod 2 ) )
Nếu xét các góc dương nhỏ hơn ta có: Tổng các góc cùng hướng
trong một tam giác bằng .
1.3.2. Góc ngoài của một tam giác
Từ hệ thức (8) ta có:
( AB, AC ) ( BC , BA) (CA, CB) (mod 2 )
( AB, AC ) ( BC , BA) -(CA, CB) (mod 2 )
( AB, AC ) ( BC , BA) (CA, CB) (mod 2 )
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
H.4
Theo hệ thức Sa-lơ (4) ta có:
(0 A,0 B) (0 A, AC )+(AC,BC)+(BC,0 B) (mod 2 )
+( A0, AC ) ( AC, BC ) ( BC, B0) (mod 2 )
Mặt khác tam giác OAC và tam giác OBC đều cân ở O nên:
( A0, AC ) (CA, C 0) (mod 2 )
(C 0, CB) ( BC , B0) (mod 2 )
2 +(- AC , BC ) (CA, CB) (mod 2 )
Vậy
trên đường tròn đi qua A và B, nhưng với góc không định hướng thì ta có
Dương Trọng Luyện K29b toán
23
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
A0 B = 2
ACB , khi C, O cùng phía đối với đường thẳng AB, còn
A0 B
2(
ADB ) khi D, O nằm khác phía đối với đường thẳng AB
1.3.4. Bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn
Giả sử bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm 0 (h.4)
a) Khi Cvà D nằm cùng phía đối với đường thẳng AB thì:
(CA, CB) ( DA, DB) (mod 2 )
b) Khi Cvà D nằm khác phía đối với đường thẳng AB thì:
(CA, CB) ( DA, DB) (mod 2 )
Chứng minh
( , ) nếu Cvà D nằm cùng phía đối với đường thẳng AB thì (CA, CB) và
( DA, DB) cùng hướng nên xảy ra a), còn nếu C và D nằm khác phía đối với
đường thẳng AB thì chúng ngược hướng nên xảy ra b)
1.3.5. Cung chứa góc
Cho tam giác ABC. Từ các hệ thức về bốn điểm nằm trên đường tròn
suy ra: Tập hợp điểm M sao cho (MA, MB) (CA, CB) (mod 2 ) là cung tròn đi
qua điểm C và dây chắn AB.
Dương Trọng Luyện K29b toán
24
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Khoá luận tốt nghiệp
Trên hình 4, tập hợp điểm M thoả mãn (MA, MB) (CA, CB) (mod 2 )
là cung ACB, còn tập hợp điểm N thoả mãn
Copyright: Tài liệu đại học ©