SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ THI THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y  x 3  3mx 2  ( m  1) x  2 (1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .
b) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có
hoành độ dương.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2 cos 2 x(tan 2 x  tan x)  sin x  cos x .
1

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I  x ln(1  x 2 )dx .


0

Câu 4 (1,0 điểm).
8

2

a) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  x 2   .
x


.c
om


Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 tâm I

w

và điểm M (3; 2) . Viết phương trình đường thẳng  đi qua M ,  cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
 x4  2x  y 4  y

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình  2
( x, y   )
3
2
 x  y  3





Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số a, b, c không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng

a
b
c
9 ab  bc  ca



6.
bc

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT =-2.
- Giới hạn: lim y  , lim y  

0,25

x

x 

Bảng biến thiên:


x
y'
y

0
0

+



2
0

-

+


-2

2

.V

-8

x
4

6

0,25

8

w

w

w

-5

b Ta có y '  3 x 2  6 mx  m  1 .

0,25

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT y'=0 có hai nghiệm phân biệt


4

 k

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của PT là
x

3


4

 k ; x 


6

 k 2 ; x 


2
0
0

0,25

1

I  ln 2 

x2
1
 ln 2 
2 0
2

0,25

1
Vậy I  ln 2  .
2

1,0 điểm
a

8

8
2



H

Hệ số của x 4 là C8k   2  với 16  3k  4  k  4 .

0,25

b Số phần tử của không gian mẫu là: C 2  36
9
Gọi A là biến cố: "kết quả nhận được là số chẵn".

0,25

1,0 điểm

26 13
 .
36 18



( P1 ) có véc tơ pháp tuyến là n1  (1; 2;3) ; ( P2 ) có véc tơ pháp tuyến là n2  (3; 2; 1)

 
( P) có véc tơ pháp tuyến là n   n1 , n2   (8;10; 4)  2(4; 5; 2) .
Phương trình của ( P) : 4( x  1)  5( y  2)  2( z  1)  0
Hay ( P) : 4 x  5 y  2 z  8  0 .

6


H'

I

B

I'

A' H' K

C

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25



Đặt P 

a
b
c
9 ab  bc  ca





Đặt t  b  c thì P 

a
t 9 at
.


t
a at

.c
om

73 5

(a; b; c)  
;1; 0  (HS có thể không cần nêu bước này).
 2


.V

N

M
AT

H


9

 3 3  1 3 3  1   2 1 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( x; y )  
;
;
 ,
.
 2
2   3 3 3 3 

1,0 điểm

0,25