TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

ĐẶNG THỊ THU

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CỦA HỆ
TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI - 2013


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người đã
tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thức nền tảng để
em hoàn thành bài khóa luận này. Thầy cũng là người đã giúp em ngày càng
tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng
Thầy.
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới anh Phạm Văn Duẩn, người đã rất nhiệt tình
giúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình gõ Tex và hoàn thành khóa
luận. Anh cũng là người cung cấp thêm tư liệu và kiến thức giúp em giải đáp
được những điều chưa hiểu và băn khoăn.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy, các Cô công tác tại Khoa Toán
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Thầy Cô đã trực tiếp giảng dạy,
truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh
nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.


1
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tục . . .
2.2.1 Các tiêu chuẩn cho tính quan sát được của hệ tuyến
tính thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 3: Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục

1
3
4
4
6
8

.

8

. 8
. 13
. 16
. 17
. 20
22

3.1 Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục . . . . . . . . 22
3.1.1 Tính ổn định Lyapunov của hệ tuyến tính thời gian liên
tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22


Luận văn này em trình bày về bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời
gian liên tục.
Nội dung bao gồm các phần sau:

• Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục.
• Chương 2: Tính điều khiển được và quan sát được của hệ tuyến tính
thời gian liên tục.
• Chương 3: Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục.
i
Đặng Thị Thu - Toán K35-CN


MỤC LỤC

3. Mục đích- Yêu cầu

• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướng của
giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái niệm,
các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng dụng, ...)
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình
4. Đối tượng nghiên cứu
Bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục và các kiến thức
liên quan.
5. Phạm vi

• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm
• Thời gian thực hiện khóa luận
• Nơi thực hiện khóa luận (những khó khăn và thuận lợi tại nơi nghiên
cứu khoa học)

iii
Đặng Thị Thu - Toán K35-CN


Chương 1

Hệ tuyến tính thời gian liên tục
Chương này giới thiệu về hệ động lực tuyến tính nói chung và hệ tuyến
tính thời gian liên tục nói riêng. Đây là những mô hình toán học tổng quát
của rất nhiều vấn đề thực tế trong lý thuyết điều khiển.

1.1

Hệ tuyến tính thời gian liên tục

Hệ động lực, có thể hiểu một cách tổng quát là một hệ thống mà các đặc
trưng của nó thay đổi theo thời gian, trạng thái tại mỗi thời điểm phụ thuộc
vào trạng thái của chính nó trong quá khứ và tác động bên ngoài lên hệ
thống. Những ví dụ thực tế của hệ động lực rất phong phú như máy bơm
nước, máy điều hòa nhiệt độ, mạch điện, . . .
Định nghĩa 1.1.1. Một hệ tuyến tính thời gian liên tục với tham số bất biến
biểu diễn qua hệ phương trình sau:

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0

.

(1.1)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

2
Đặng Thị Thu - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC

u = ir + il + ic , ic = C

diL
deC
, eC = L
= RiR .
dt
dt

Định nghĩa các biến trạng thái x1 := iL , x2 := eC thì mạch điện được mô
tả bởi hệ tuyến tính:
.

x = Ax + Bu,
y = Cx + D,
trong đó: x = [x1, x2 ]T ,

A=
1.2

0
1/L
0
0

x0 +

(1.4)

t0

Nhận xét 1.2.2. Nếu u(t)=0 thì x(t) = eA(t−t0 ) x(t1 ), với t ≥ t0 , t1 ≥ t0 .
Định nghĩa 1.2.3. Ma trận eA(t−t1 ) được gọi là ma trận chuyển trạng thái.
Do trạng thái tại thời điểm bất kỳ có thể xác định từ trạng thái tại một
thời điểm khác qua ma trận chuyển trạng thái nên không làm mất tính tổng
quát, giả sử rằng t0 = 0. Khi đó các phương trình (1.3) và (1.4) được viết lại

3
Đặng Thị Thu - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC

như sau:
t

eA(t−s) Bu(s)ds,

At

x(t) = e x0 +

(1.5)

0


x(t) = AeAt x0 + Bu(t) +
0

d A(t−s)
e
Bu(s)ds
dt
t

eA(t−s) Bu(s)ds

At

= Ae x0 + Bu(t) + A
0
t

eA(t−s) Bu(s)ds] + Bu(t).

= A[eAtx0 +
0

= Ax(t) + Bu(t).
Cũng lưu ý rằng tại t = 0 thì x(0) = x0 . Do đó nghiệm x(t) thỏa mãn
các điều kện ban đầu. Thay biểu thức x(t) từ (1.5) vào (1.6) ta được: y(t) =
Cx(t) + Du(t).

1.3
1.3.1


L{

df
}(s) = sF (s) − f (0), s ∈ C.
dt

Định nghĩa 1.3.3. Xét:

.
x(t)
= Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0
y(t) = Cx(t) + Du(t)

(1.7)

Cho X(s), Y (s), U (s) tương ứng biểu thị cho các phép biến đổi Laplace
của x(t), y(t), u(t).
Thực hiện phép biến đổi Laplace cho hệ (1.7) với x(0) = x0 ta được:

sX(s) − x = AX(s) + BU (s)
0
(1.8)
Y (s) = CX(s) + DU (s)

Từ (1.8) ta có:


X(s) = R(s)x(0) + R(s)BU (s)
Y (s) = CR(s)x0 + G(s)U (s)

2

y(t) =

2
x(t)
1

.

Với

A=

2 1
−1
,B =
,C = 1 2 ,D = 0
0 3
2

Khi đó Hàm truyền G(s) của hệ được xác định bởi công thức:

G(s) = C(sI − A)−1B + D =
1.3.2

6
s2 − 5s + 6

Các phép toán với ma trận Hàm truyền


A1 0
B1


=  0 A2
B2

C1 C2 D1 + D2

(2) Tích của 2 hàm truyền là hàm truyền khi tác động nối tiếp vào S1 và S2 (
tức là, một hệ thống với đầu ra của hệ thống thứ 2 như là đầu vào của
hệ động lực).

G1 (s)G2(s) =

A 1 B1
C1 D1

A 2 B2
C2 D2




A2
0
B1



Đặng Thị Thu - Toán K35-CN


Chương 2

Tính điều khiển được và quan sát
được của hệ tuyến tính thời gian liên
tục
2.1

Tính điều khiển được của hệ tuyến tính thời gian liên tục

Định nghĩa 2.1.1. Hệ tuyến tính thời gian liên tục :

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0

.

(2.1)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

(2.2)

được gọi là điều khiển được (controllable) nếu với bất kỳ trạng thái khởi tạo
x(0) = x0 và trạng thái kết thúc x1, t1 > 0 đều tồn tại đầu vào u(t) sao cho
x(t1) = x1.
Hệ điều khiển được khi ma trận điều khiển

CO = [B AB A2 B . . . An−1B ]


với x0 cho trước có nghiệm u(t) thì phương trình:
t

CeA(t−t0 ) Bu(s)ds

y(t) = CeA(t−t0 ) x0 +
0

cũng có nghiệm u(t) và ngược lại. Do đó để chứng minh định lý ta sẽ chỉ ra
rằng:
rank(λI − A, B) = n, ∀λ
là điều kiện cần và đủ để mọi điểm x0 trong không gian trạng thái đạt tới
được.
Gọi X(s) là ảnh Laplace của x(t) và U (s) là ảnh của u(t). Chuyển hai vế
của (2.1), (2.2) sang miền phức với toán tử Laplace, trong đó giá trị đầu của
x(t) được giả thiết là bằng 0 và giá trị cuối x0 là tùy ý, ta được:

(λI − A)X(s) = BU (s)

(2.3)

Vì x0 là tùy ý nên X(s) cũng là tùy ý. Xem các ma trận (λI − A) và B
như những ánh xạ tuyến tính thì rõ ràng (2.3) có nghiệm U khi và chỉ khi:

Im(λI − A) ⊇ Im(B)
và để điều đó không phụ thuộc λ thì ta phải có:

rank(λI − A, B) = n, ∀λ
Vậy ta có điều phải chứng minh.

nên hệ sẽ điều khiển được khi và chỉ khi phương trình trên với x0 tùy ý cho
trước luôn có ít nhất một nghiệm u(t).
Từ định lý Cayley-Hamilton ta có:

e−At B = [a0 (−t)I + a1 (−t)A + · · · + an−1An−1]B


a0 (−t)


..
= (B, AB, . . . , An−1B) 
.

an−1 (−t)

(2.5)

Thay (2.5) vào (2.4) ta có:




−x0 = (B, AB, . . . , An−1B) 

t
0 a0 (−t)u(t)dt




Lấy A ∈ Rn×n và B ∈ Rn×m (m ≤ n). Các mệnh đề sau là

(i) Hệ (2.1), (2.2) là điều khiển được.
(ii) Ma trận kích thước n × nm: CM = (B, AB, A2B, . . . , An−1 B) có hạng
bằng n.
(iii) Ma trận
t1

T

eAt BB T eA t dt

WC =
0

là ma trận không suy biến với mọi t1 > 0
(iv) Nếu(λ, x) là cặp giá trị của AT thì khi đó xT A = λxT , xT = 0.
(v) rank(A − λI) = n với mọi giá trị riêng λ của A.
Chứng minh. Chúng ta có thể giả sử t0 = 0, x(0) = 0.

(i) ⇒ (ii).
Đã chứng minh cụ thể ở định lý 2.1.4.

(ii) ⇒ (iii).
t

T

Giả sử rank CM = n nhưng WC = 0 1 eAt BB T eA t dt là ma trận suy biến.
Lấy vector v = 0 thì WC v = 0 nên v T WC v = 0. Nghĩa là:

A11 A12
B1
,B = TB =
0 A22
0

trong đó A22 có kích thước n − k và k = rank(CM ).
Lấy v2 là giá trị vector của (A)T tương ứng với một giá trị riêng của λ.
Khi đó:
−T

(A)T

A11
0
0
=
−T
−T
v2
A12 A22

0
0
0
=
=λ
−T
v2
v2

và

vT = 0
tức là v là một giá trị vector của AT tương ứng với giá trị riêng λ và nó vuông
góc với các vector cột của B . Theo (iv) hệ (A, B) không là điều khiển được.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
(v) ⇒ (ii).
Nếu (v) sai thì từ (iv) ta đã có:

xT (A, AB, . . . , An−1B) = 0
Tức là rank(CM ) < n. Điều này chứng tỏ (ii) sai. Vậy (v) đúng thì (ii)
cũng đúng. Ta có điều phải chứng minh.

2.1.2

Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1.6. Xét hệ tuyến tính thời gian liên tục với các tham số

A=

−1 3
1
,B =
.
0 −2
−1

Ta xác định được


.
 x + 6 u.
x(t) = 
0
6
3
5
2

 


 

8 1 2 5 1
2
0 0 7 8 4
3
Hãy kiểm tra tính điều khiển được của hệ?
Dùng Matlab để tính toán
A=
1 2 3 4 5
6 7 5 4 1
0 6 3 5 2
8 1 2 5 1
0 0 7 8 4
B=[1 5 6 2 3]’
I=eyes(5)
%Tính các giá trị riêng của A
Eig(A)=

 


1
1 2 3 4 5
 


5
6 7 5 4 1
 


 , B = 6 ,
A = 
0
6
3
5
2
 


 


2
8 1 2 5 1
3
0 0 7 8 4


−3.3914
  

 = 0.0793 + 4.2573i .
EigA = 
λ
3
  

  

λ4  0.0793 − 4.2573i
5.4987
λ5

15
Đặng Thị Thu - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI
GIAN LIÊN TỤC



17.7341
0
0
0
0



16.7341 −2.0000 −3.0000 −4.0000 −5.0000


−6.0000 10.7341 −5.0000 −4.0000 −1.0000



• Tính λ1 I − A = 
0
−6.0000
14.7341
−5.0000
−2.0000




−8.0000 −1.0000 −2.0000 12.7341 −1.0000
0
0
−7.0000 −8.0000 13.7341

• Tính hạng của ma trận: rank(λ1I − A, B) = 4 < 5.
Vậy hệ đã cho là hệ không điều khiển được.

2.2

Tính quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tục

 .. 
 . 

CAn−1

16
Đặng Thị Thu - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI
GIAN LIÊN TỤC

có hạng bằng n.
Ví dụ 2.2.2. Hệ dạng (2.7), (2.8)có các tham số A =

−1 3
,
0 −2

C= 1 1 .
Ta tính được

1 1
;
−1 1

• Ma trận quan sát OB =

• Hạng của ma trận quan sát rank (OB) = 2,
nên hệ là quan sát được. Hệ quan sát được khi ma trận quan sát

suy ra

rank(λI − AT , C T )T = rank

17
Đặng Thị Thu - Toán K35-CN

λI − A
= n.
C