TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HẰNG

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CỦA HỆ
THỜI GIAN TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI - 2013


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người
đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thức nền
tảng để em hoàn thành bài khóa luận này. Thầy cũng là người đã giúp
em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian
được làm việc cùng Thầy. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh
Phạm Văn Duẩn, người đã rất nhiệt tình giúp đỡ, chỉ bảo và hướng dẫn
em trong quá trình gõ Tex và hoàn thành khóa luận. Anh cũng là người
cung cấp thêm tư liệu, kiến thức giúp em giải đáp được những điều chưa
hiểu và băn khoăn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công
tác tại Khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô
khác đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu
về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời
gian qua. Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người


1
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

2.2 Tính quan sát được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Định lý các điều kiện tương đương . . . . . . . .
2.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Biểu diễn tối thiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Định lý Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.

9
9

.
.
.
.
.
.
.
.
.

10
15
17
17
17
18

29
29
36


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Điều khiển là bài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong đời
sống, đặc biệt là trong lĩnh vực điện tử, viễn thông và xử lý tín hiệu
nói riêng. Các vấn đề trong các lĩnh vực này thường được mô hình
hóa bởi một mô hình toán học. Có rất nhiều vấn đề cơ bản cần
nghiên cứu trong lĩnh vực điều khiển. Một trong số những vấn đề
có tính chất kinh điển là bài toán điều khiển. Nó có ứng dụng rộng
rãi trong ngành toán ứng dụng, nên từ trước đến nay, nó vẫn luôn
là đề tài mà các nhà khoa học rất quan tâm và nghiên cứu. Để có
thể hiểu rõ hơn về bài toán này em đã chọn đề tài “Bài toán điều
khiển của hệ thời gian tuyến tính rời rạc” để làm đề tài nghiên cứu
cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu
Bài toán điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quan
trọng của lý thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về khái
niệm điều khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết
điều khiển tuyến tính.
Khóa luận này em trình bày về bài toán điều khiển của hệ thời gian
tuyến tính rời rạc.
Nội dung bao gồm phần sau:

• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
Chương này trình bày khái niệm về hệ động lực tuyến tính rời
rạc, xây dựng ma trận hàm truyền và các phép toán đối với ma

• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm.
• Thời gian thực hiện khóa luận.
• Nơi nghiên cứu (những khó khăn và thuận lợi tại nơi nghiên cứu).


Nội dung chính
1. Tên đề tài
Bài toán điều khiển của hệ thời gian tuyến tính rời rạc.
2. Kết cấu của nội dung
Gồm 3 chương:

• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Khái niệm hàm truyền.
- Một số phép toán về hàm truyền.

• Chương 2: Tính điều khiển được và quan sát được và biểu diễn
tối thiểu của hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Tính điều khiển được.
- Tính quan sát được.
- Biểu diễn tối thiểu.

• Chương 3: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Định nghĩa tính ổn định.
- Điều kiện hệ ổn định.
3. Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu.
• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển.
• Phương pháp quan sát, đọc sách.

Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

1.1.2

Nghiệm của hệ động lực tuyến tính rời rạc

Định lý 1.1.2. Nghiệm của hệ động lực (1.1), (1.2) xác định như sau:
k−1
k

Ak−1−iBu(k), x(0) = x0,

x(k) = A x0 +

(1.3)

i=0
k−1
k

CAk−i−1Bu(i)

y(k) = CA x0 +

+ Du(k).

(1.4)


x(k) = A x0 +
i=0

vào (1.2) ta có (1.4).
Ví dụ 1.1.3. Cho hệ động lực tuyến tính rời rạc:

x(k + 1) = 5x(k) + 2u(k),
y(k) = x(k) + 3u(k)
Tính x(3), y(3).
2
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

x(0) = 1

(1.6)
(1.7)


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Ta có:

x(3) = 5[5x(1) + 2u(1)] + 2u(2)
= 52x(1) + 5.2u(1) + 2u(2)
= 52[5x0 + 2u(0)] + 5.2u(0) + 2u(2)
2
3

52−iu(i)

∞

x(n)z −n

X(z) =
n=0

Vùng hội tụ của biến đổi z là tập hợp những giá trị của z làm cho
X(z) có giá trị hữu hạn. Ký hiệu bởi toán tử:
ZT [x(n)] = X(z)
x(n) −→ X(z)
3
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Vùng hội tụ của biến đổi z kí hiệu là (ROC)

ROC = {z ∈ C|X(z) = ∞}
Tính chất 1.2.3. Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi z
(1) Tuyến tính:

x1n ↔ X1 (z)
x2n ↔ X2 (z)
⇒ a1 x1(n) + a2 x2(n) ↔ a1 X1 (z) + a2 X2(z), ∀a1 , a2
(2) Dịch chuyển trong miền thời gian rời rạc:
x(n) ↔ X(n) ⇒

x(n − n0) ↔ z −n0 X1 (z)


a u(n)z
n=−∞

+∞
n −n

=

a z
n=0

4
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

−n

(az −1 )n

=
n=0


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Nếu az −1 < 1 → |z| > |a| thì:

X(z) =
1.2.2


Tượng tự ta áp dụng tính chất của biến đổi z vào
y(k) = Cx(k) + Du(k) ta có:

Y (k) = CX(k) + DU (k)

5
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

(1.13)


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Thay X(k) = (zI − A)−1 BU (k) vào (1.13) ta có:

Y (k) = C(zI − A)−1BU (k) + DU (k)

(1.14)

= (C(zI − A)−1B + D)U (k)

(1.15)

= G(z)U (k)

(1.16)

Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.5. Ma trận G(z) = C(zI − A)−1B + D được gọi là
hàm truyền của hệ động lực (1.1), (1.2).

ta có:
6
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

(1) Tổng của 2 hàm truyền G1 (z) + G2 (z) biểu diễn hàm truyền của các
kết nối song song S1 và S2 .


A1 0
B1
A 1 B1
A 2 B2


G1 (z)+G2 (z) =
+
=  0 A2
B2

C1 D1
C2 D2
C1 C2 D1 + D2

(2) Tích của 2 hàm truyền là hàm truyền khi tác động nối tiếp vào S1
và S2 ( tức là, một hệ thống với đầu ra của hệ thống thứ 2 như là
đầu vào của hệ động lực).


−B T −DT

(5) Nghịch đảo của ma trận hàm truyền G(z) kí hiệu là G(z).
Ta có G(z)G(z) = G(z)G(z) = I nếu G(z) là ma trận vuông và D
là khả nghịch khi đó:

7
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

−1

G(z) ≡ G (z) =

A − BD−1 C −BD−1
D−1 C
D−1

8
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

.


Chương 2

Tính điều khiển được, quan sát
được và biểu diễn tối thiểu của hệ

Để tránh bất kỳ sự nhầm lẫn, không mất tính tổng quát ta giả sử
rằng x0 = 0.

2.1.2

Tiêu chuẩn điều khiển được của hệ động lực tuyến tính rời rạc

Định lý 2.1.2. Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc (2.1) và (2.2), khi đó
các mệnh đề sau đây là tương đương:
(i) Hệ (2.1) và (2.2) là điều khiển được.
(ii) (Tiêu chuẩn Kalman)
Ma trận điều kiển n × nm : CM = (B, AB, A2B, ..., An−1B) có hạng
bằng n.
(iii) Ma trận
N

Ak BB T (AT )k

WC =
k=1

không suy biến với mọi N > 1.
(iv) Nếu (λ, x) là một cặp trị riêng, véc tơ riêng của AT , tức xT A = λxT ,
thì xT B = 0.
(v) (Tiêu chuẩn Hautus)
rank(A − λI, B) = n với mọi giá trị riêng λ của A.
Chứng minh.
(i) → (ii).
Chứng minh bằng phản chứng, giả sử rằng rank (CM ) = n. Ta có:
k−1


Như vậy,
véc tơ x(k) là một tổ hợp tuyến tính của các cột B, AB, ..., An−1B .
Khi rank (CM ) = n các véc tơ cột không thể tạo thành một cơ sở của
không gian trạng thái và chọn x(k) = x1 bất kỳ thuộc không gian trạng
thái thì không tồn tại (2.5). Vậy điều giả sử là sai ta có điều phải chứng
minh.
(ii) → (iii). Giả sử rank (CM ) = n, nhưng ma trận
N

Ak BB T (AT )k

WC =
k=1

là suy biến với mọi N > 1.
Khi đó tồn tại v là một véc tơ khác 0 sao cho

11
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

(2.6)


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA
HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

WC v = 0
⇒ v T WC v = 0
N


cT (t)c(t) = 0
k=1

thì c(t) = 0 tức

BAk v T = 0, k = 1, 2, ..., n − 1
Khi đó v trực giao với tất cả các cột của ma trận CM . Mà ta giả sử
rank (CM ) = n nên v = 0. Điều này là vô lý nên điều giả sử là sai.
(iii) → (i).
Do B, AB, ..., An−1B sinh ra Rn nên với mọi x0 , x1 cho trước, luôn tồn
tại dãy {u0 , u1 , ..., un} sao cho:

x1 − Anx0 = Bun−1 + ABun−2 + ... + Ak−1Bu0
x1 = Anx0 + Bun−1 + ABun−2 + ... + Ak−1Bu0
= xn
12
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA
HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Vậy hệ (2.1), (2.2) là điều khiển được.
(ii) → (iv).
Cho x = 0 là một véc tơ riêng của AT tương ứng với giá trị riêng λ. Khi
đó
xT A = λxT
Giả sử rằng xT B = 0. Ta có


0
v2

=

A¯T11 0
A¯T12 A¯T22

0
v2

Hơn nữa

¯ = (0, v2)T
(0, v2T )B

=

¯1
B
0

0
A¯T22v2

=λ

0
v2


vuông góc với véc tơ cột B . Theo (iv) hệ (A, B) không là điều khiển
được. Vậy ta có điều phải chứng minh.
(v) ⇒ (ii).
Nếu (v) sai thì từ (iv) ta đã có:

xT (A, AB, ..., An−1B) = 0
Tức là rank (CM ) < n. Điều này chứng tỏ (ii) sai. Vậy (v) đúng thì
(ii) cũng đúng. Ta có điều phải chứng minh.
(vi) ⇒ (i).
Giả sử đã có (vi) nhưng không có (i). Khi đó hệ có thể được phân
tích thành:

A = T AT −1 =

A11 A12
,B = TB =
0 A22

B1
0

Đó là một hệ tương đương với A22 là không điều khiển được. Do đó
những giá trị riêng của nó không thể tùy chọn thông qua sự điều khiển.
Điều này mâu thuẫn với điều giả sử. Như vậy từ (vi) có thể suy ra (i).

14
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA

1
2 0 1



0 −1 2
2
 x(k) +   u(k).
3
5 3 1
4
2 1 3
 
1
2 
 
B= 
3 
4

• Dùng Matlab để tính toán:
A=
1 2
3 0
2 5
1 2

0 1
-1 2
3 1

rank(B,C,D,E)=
4
Sử dụng kết quả tính toán của Matlab ở trên để kiểm tra tính điều
khiển được của hệ, nghĩa là cần kiểm tra rank B, AB, A2B, A3 B =
4 hay không.
   

9
1
1 2 0 1
3 0 −1 2 2  8 
   

• Tính AB = 
  =  
2 5 3 1 3 25
20
4
1 2 1 3

  

45
1
8 4 −1 8
 3 5 −1 8  2  42 

  

2

4
74 74 14 87




1 9 45 239
B
2 8 42 202
 AB 




• Tính rank(CM ) =  2  = rank 
 = 4.
3 25 153 869
A B 
4 20 110 612
A3 B
Vậy hệ đã cho là hệ điều khiển được.


2.2
2.2.1

Tính quan sát được
Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1. Hệ động lực tuyến tính rời rạc (2.1) và (2.2) được


Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN