TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI
BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO HỆ THỜI GIAN
TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
(THEORY OF FRACTIONAL CACULUS AND APPLICATIONS )
(TO DIFFERENTIAL FRACTIONAL EQUATIONS)
Họ tên sinh viên thực hiện : NGUYỄN THỊ HẰNG
Lớp : CN Toán-K35
Giảng viên hướng dẫn : TS. HÀ BÌNH MINH
HÀ NỘI - 2013
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Chương 1: Nghiên cứu cấu trúc nghiệm và hàm truyền
của hệ thời gian tuy rời rạc 1
1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc . . . . . . . . 1
1.1.1 Định nghĩa: hệ rời rạc có dạng . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hàm E
t
(u, a), C
t
(u, a), S
t
(u, a) . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Y (t) = AY ( t) + X(t) . . . . 47
3.2.4 So sánh phương trình vi phân phân thứ với
phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . 52
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Nguyễn Thị Hằng k3 5 CN Toán
ii
Lời nói đầu
Lý thuyết điều khiển được phát triển từ khoảng 150 năm trước
đây khi sự thực hiện điều khiển cơ học bắt đầu cần được mô tả và
phân tí ch một cách chính xác qua mô hình toán học. Hiện nay lý
thuyết điề u khiển tiếp tục được phát triển mạnh mẽ và được xem là
một lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Lý thuyết điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quan
trọng của lý thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về khái
niệm điều khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết
điều khiển tuyến tính.
Trong đồ án này em trình bày về bài toán điều khiể n của hệ thời
gian tuyến tính rời rạc.
Nội dung đồ án bao gồm các phần sau:
1. Chương 1:
Sau một số bước biến đổi ta được
T (h) =

h
0
f(y)
√
h − y
dy, (1)

Sinh viên
NGUYỄN THỊ HẰNG
Nguyễn Thị Hằng k3 5 CN Toán
iv
Chương 1
Nghiên cứu cấu trúc nghiệm và
hàm truyền của hệ thời gian tuy
rời rạc
1.1 nghiệm của h ệ thời gian tuyến tính rời r ạc
1.1.1 Định nghĩa: hệ rời rạc có dạng
Định nghĩa 1.1.1.
x(k) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x
0
(1.1)
y( k) = Cx(k) + Du(k) (1.2)
cấu trúc nghiệm:
x(k) = A
k
x
0
+ Bu(k), x(0 ) = x
0
(1.3)
x(k) = A
k
x
0
+ Bu(k), x(0) = x
0
Chú ý 1.1.2. Nếu x > 0 ta có thể biểu diễn hàm Gamma dưới dạng

t
4
e
−t
dt
= 4.

∞
0
t
3
e
−t
dt
= 4.3.

∞
0
t
2
e
−t
dt
= 4.3.2

∞
0
te
−t
dt

CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
Hình 1.2: Đồ thị hàm số Bêta
Vậy B( 1, 1) = 1.
Ví dụ 1.1.7. Tính B(2, 2).
B( 2, 2) =

1
0
t(1 − t)dt
=

t
2
2
−
t
3
3






1
0
=
1
6

=
1
12
.
Vậy B( 3, 2) =
1
12
.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
3
1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
1.1.2 Tính chất
Trong mục này, ta sẽ giới thiệu một số tính chất thường được dùng
của hàm Gamma và hàm Bêta.
(1) Γ(x + 1) = xΓ(x), x > 0.
(2) Hàm Gamma có thể coi là mở rộng của hàm giai thừa vì với
n ∈ N
∗
, Γ(n) = (n −1)!.
(3) Phần bù của hàm Gamma.
Nếu 0 < x < 1 thì
Γ(x)Γ( 1 − x) =
π
sin(πx)
.
(4) Tính giao hoán
B( x, y) = B(y, x).
(5) B(x, y) =

0
t
x−1
e
−t
dt. Sử dụng
phương pháp tích phân từng phần ta được
Γ(x + 1) =

∞
0
t
x
e
−t
dt
= −e
−t
t
x
+

∞
0
xt
x−1
e
−t
dt
= x

∗
thì Γ(n) = (n − 1)!.
• Tính chất (3)
:
• Tính chất (4): Từ định nghĩa của hàm Bêta có thể dễ dàng suy
ra tính chất này.
• Tính chất (5)
: Với Γ(x) =

∞
0
t
x−1
e
−t
dt thì
Γ(x)Γ( y) =

∞
0
u
x−1
e
−u
du

∞
0
v
y−1

y−1
zdzdt
=

∞
z=0
e
−z
z
x+y−1
dz

1
t=0
t
x−1
(1 − t)
y−1
dt
= Γ(x + y)B( x, y).
Vậy
B( x, y) =
Γ(x)Γ( y)
Γ(x + y)
.
• Tính chất (6)
: Đặt t = sin
2
θ. Khi đó, dt = 2 sin θ cos θdθ và
B( x, y) =

2x−1
θ cos
2y−1
θ dθ.
• Tính chất (7)
: Đặt t =
ξ
1 + ξ
. Khi đó, dt =
1
(1 + ξ)
2
dξ và
B( x, y) =

∞
0

ξ
1 + ξ

x−1

1
1 + ξ

y−1
l
1
(1 + ξ)

B( x, y).B(x + y, 1 − y) =
Γ(x)Γ( y)
Γ(x + y)
.
Γ(x + y)Γ(1 − y)
Γ(x + 1)
=
Γ(x)
Γ(x + 1)
. (Γ(y).Γ(1 − y))
=
1
x
.
π
sin(πy)
(Sử dụng tính chất (1), (3) ở trên).
Vậy B(x, y).B(x + y, 1 − y) =
π
x sin(πy)
, 0 < y < 1, x > 0.
Ví dụ 1.1.9. Tính Γ(
1
2
).
Theo tính chất (3) ở trên ta có
Γ

1
2

1
2
) =
√
π.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
6
1.2 Hàm E
t
(u, a), C
t
(u, a), S
t
(u, a)
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
Chú ý 1.1.10. Vì hàm Gamma có thể được coi là hàm mở rộng của
hàm gi ai thừa nên ta có thể mở rộng định nghĩa tổ hợp đại số như
sau

−x
ξ

=
Γ(1 − x)
Γ(ξ + 1)Γ(1 − x − ξ)
,
trong đó, x ∈ R\Z
+
và ξ ∈ R sao cho Γ(ξ + 1) và Γ(1 − x − ξ) tồn

t
(0, a) = t
0
∞

k=0
(at)
k
Γ(k + 1)
=
∞

k=0
(at)
k
k!
= 1 +
at
1
+
(at)
2
2!
+ ···
= e
at
.
Vậy E
t
(0, a) = e

TUY RỜI RẠC
E
t
(u, 0) =
1
Γ(u)

t
0
ξ
u−1
e
0(t−ξ)
dξ
=
1
Γ(u)

t
0
ξ
u−1
dξ.
=
1
Γ(u)

1
u
t

t
(u, iα) = t
u


∞

k chẵn
(−1)
k/2
(αt)
k
Γ(u + k + 1)
+ i
∞

k lẻ
(−1)
(k−1)/2
(αt)
k
Γ(u + k + 1)


.
Ta ký hiệu phần thực và phần ảo của E
t
(u, iα) tương ứng là C
t
(u, α)

t
(0, a) = t
0
∞

k=0
(−1)
k
(at)
2k
Γ(2k + 1)
=
∞

k=0
(−1)
k
(at)
2k
(2k)!
= 1 −
(at)
2
2!
+
(at)
4
4!
+ ···
= cos(at).

t
(u, a) với u, a ∈ R được định nghĩa như
sau
S
t
(u, a) :=
∞

k lẻ
(−1)
(k−1)/2
(at)
k
Γ(u + k + 1)
=
∞

k=0
(−1)
k
(at)
2k+1
Γ(u + 2k + 2)
.
Ví dụ 1.2.10. Với u = 0 thì
S
t
(0, a) = t
0
∞

t
(u, a) dưới
dạng tích phân sau
S
t
(u, a) :=
1
Γ(u)

t
0
ξ
u−1
sin a(t − ξ)dξ.
1.2.2 Tính chất
Định lý 1.2.12. Một số tính chất của hàm E
t
(u, a)
(1) E
t
(0, a) = e
at
.
(2) E
t
(−p, a) = a
p
e
at
, với p = 0, 1, 2, . . . .

Γ(u + k + 1)
, p = 0, 1, 2, . .
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
9
1.2 Hàm E
t
(u, a), C
t
(u, a), S
t
(u, a)
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
Chứng minh. (1) Tính chất này đã được chứng minh ở ví dụ trên.
(2) Ta có
E
t
(−p, a) = t
−p
∞

k=0
(at)
k
Γ(−p + k + 1)
= t
−p
∞

k=p+1

k=0
(at)
k
Γ(u + k + 1)
=
∞

k=0
a
k
Γ(u + k + 1)
t
u+k
.
Do vậy,
D
p
E
t
(u, a) = (u + k)(u + k − 1) ···(u + k − p + 1)
∞

k=0
a
k
Γ(u + k + 1)
t
u+k−p
=
∞

t
(u, a), C
t
(u, a), S
t
(u, a)
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
E
t
(u, a) − aE
t
(u + 1, a) = t
u
∞

k=0
(at)
k
Γ(u + k + 1)
− at
u+1
∞

k=0
(at)
k
Γ(u + k + 2)
= t
u

E
t
(u, a) − a
p
E
t
(u + p, a)
= t
u
∞

k=0
(at)
k
Γ(u + k + 1)
− a
p
t
u+p
∞

k=0
(at)
k
Γ(u + k + p + 1)
= t
u
∞

k=0


k=0
a
k
t
u+k
Γ(u + k + 1)
, p = 0, 1, 2, . . .
Định lý 1.2.13. Một số tính chất của hàm C
t
(u, a)
(1) C
t
(0, a) = co s(at);
(2) C
t
(−p, a) = (− 1)
p/2
a
p
cos(at), với p = 0 , 2, 4, . . .,
C
t
(−p, a) = (− 1)
(p+1)/2
a
p
sin(at), với p = 1, 3, 5, . . .
(3) D
p

Chứng minh. Chứng minh tương tự như đối với hàm E
t
(u, a).
Định lý 1.2.14. Một số tính chất của hàm S
t
(u, a)
(1) S
t
(0, a) = sin (at);
(2) S
t
(−p, a) = (− 1)
p/2
a
p
sin(at), với p = 0, 2, 4, . . . ,
S
t
(−p, a) = (− 1)
(p−1)/2
a
p
sin(at), với p = 1, 3, 5, . . .
(3) D
p
S
t
(ν, a) = S
t
(ν − p, a), p = 0, 1, 2, . . . .

L{f}(s) :=

∞
0
f(t)e
−st
dt, s ∈ R,
với điều kiện tích phân ở vế phải tồn tại.
1.3.2 Tính chất
Một số tính chất của biến đổi Laplace.
Mệnh đề 1.3.2. Giả sử F, G là các biến đổi Laplace tương ứng của
hai hàm f, g. Khi đó,
1. Tính tuyến tính của biến đổi Laplace
L{af + bg}(s) = aF (s) + bG(s), s ∈ R.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
12
1.3 Biến đổi Laplace
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
2. Biến đổi Laplace của đ ạo hàm
Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp n, ký hiệu là f
(n)
(t). Khi
đó,
L{f
(n)
}(s) = s
n
F (s) −
n−1


t
0
ξ
u−1
e
a(t−ξ)
dξ
=

1
Γ(u)
t
u−1

∗ e
at
,
chính là một tích chập hai hàm
1
Γ(u)
t
u−1
và hàm e
at
. Do đó, biến đổi
Laplace của hàm E
t
(u, a), u > 0 sẽ là
L{E

s
u
(s − a)
.
Vậy biến đổi Laplace của hàm E
t
(u, a), u > 0 là
L{E
t
(u, a), u > 0} =
1
s
u
(s − a)
.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
13
1.3 Biến đổi Laplace
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
Ví dụ 1.3.4. Tương tự như hàm E
t
(u, a), u > 0 thì các hàm
C
t
(u, a), u > 0 và S
t
(u, a), u > 0 chính là tích chập của hàm
1
Γ(u)

s
u
(s
2
+ a
2
)
,
và
L{S
t
(u, a), u > 0} = L

1
Γ(u)
t
u−1

· L{si n(at)}
=
1
s
u
·
a
s
2
+ a
2
=

s
u
(s
2
+ a
2
)
.
Sau đây là biến đổi Laplace của một số hàm số cơ bản
Định lý 1.3.5. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản.
1. L{t
µ
} =
Γ(µ + 1)
s
µ+1
, µ > −1.
2. L{e
at
} =
1
s − a
.
3. L{t
µ−1
e
at
} =
Γ(µ)
(s − a)

1
(s
ν
− a)
n
trong đó, e(t)
n∗
= e(t) ∗ e ∗ ···∗ e(t)

 
n lần e(t)
và
e(t) =
q−1

k=0
α
q−k−1
E
t
(−kν, α
q
), q =
1
ν
.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
15
Chương 2
Lý thuyết về giải tích phân thứ

Γ(n)

t
0
(t − ξ)
n−1
f(ξ)dξ
=
1
(n − 1)!

t
0
(t − ξ)
n−1
f(ξ)dξ
=

t
0
dx
1

x
1
0
dx
2
···


t
0
(t − ξ)
ν−1
Kdξ
=
K
Γ(ν)

t
0
(t − ξ)
ν−1
dξ
=
K
Γ(ν)

1
ν
t
ν

=
K
Γ(ν + 1)
t
ν
.
Vậy D

ν−1
ξ
µ
dξ.
Đặt x =
ξ
t
. Khi đó, ξ = tx và dξ = tdx. Do đó,
D
−ν
t
µ
=
1
Γ(ν)

1
0
(t − tx)
ν−1
(tx)
µ
tdx
= t
ν+µ
1
Γ(ν)

1
0

ν+µ
.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
17
2.1 Tích phân Riemann-Lio uv ille
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT VỀ GIẢI TÍCH PHÂN THỨ
(THEORY OF FRACTIONAL CACULUS)
Ví dụ 2.1.5. Cho hàm f(t) = e
at
. Khi đó,
D
−ν
f(t) = D
−ν
e
at
=
1
Γ(ν)

t
0
(t − ξ)
ν−1
e
aξ
dξ
= E
t
(ν, a).

− νD
−ν−1
e
at
= tE
t
(ν, a) − νE
t
(ν + 1, a).
Vậy D
−ν
[te
at
] = tE
t
(ν, a) − νE
t
(ν + 1, a).
Tương tự, ta có D
−ν
[t cos(at)] = tC
t
(ν, a) − νC
t
(ν + 1, a) và
D
−ν
[t sin(at)] = tS
t
(ν, a) − νS

(y − a)
λ−1
dy

t
y
(t − x)
ν−1
(x − y)
µ−1
F (x, y)dx.
Chứng minh. Chúng ta đã biết, nế u G(x, y) là hàm s ố liên tục
đều trên [a, b] × [a, b] thì

b
a
dx

x
a
G(x, y)dy =

b
a
dy

b
y
G(x, y)dx.
Áp dụng với G(x, y) = (t − x)

−ν
f(t)

.
Chứng minh. Theo định nghĩa về tích phân phân thứ
D
−µ
f(t) =
1
Γ(µ)

t
0
(t − ξ)
µ−1
f(ξ)dξ.
Do vậy
D
−ν

D
−µ
f(t)

= D
−ν

1
Γ(µ)


ν−1


x
0
(x − ξ)
µ−1
f(ξ)dξ

dx
=

t
0
f(ξ)dξ

t
ξ
(t − x)
ν−1
(x − ξ)
µ−1
dx.
Đặt
x − ξ
t − ξ
= y. Khi đó, dx = (t −ξ)dy và t −x = (t −ξ)(1 −y) .
Thay vào công thức trên ta được

t


1
0
(1 − y)
ν−1
y
µ−1
dy
= B(ν, µ)

t
0
(t − ξ)
ν+µ−1
f(ξ)dξ
= B(ν, µ)Γ(ν + µ)D
−(ν+µ)
f(t)
= Γ(ν)Γ(µ)D
−(ν+µ)
f(t).
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
19
2.1 Tích phân Riemann-Lio uv ille
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT VỀ GIẢI TÍCH PHÂN THỨ
(THEORY OF FRACTIONAL CACULUS)
Thay vào công thức (∗) ta được
D
−ν


−ν
f(t)

= D
−(ν+µ)
f(t).
Ví dụ 2.1.9. Tính tích phân D
−ν
E
t
(u, a), u > 0.
Theo định nghĩa ở phần trên
E
t
(u, a) =
1
Γ(u)

t
0
ξ
u−1
e
a(t−ξ)
dξ, u > 0
=
1
Γ(u)

t

(Vì hàm e
at
liên tục trên J).
Vậy
D
−ν
E
t
(u, a) = E
t
(u + ν, a), u > 0.
Ví dụ 2.1.10. Tính tích phân D
−
1
2
[D
−2
]t
2
.
Ta có
D
−2
t
2
=
Γ(3)
Γ(5)
t
4