BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
ĐỖ MINH TRÍ
VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA VÀ CÁC
ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CHO BÀI TOÁN CAUCHY
KHÔNG THUẦN NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
ĐỖ MINH TRÍ
VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA VÀ CÁC
ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CHO BÀI TOÁN CAUCHY
KHÔNG THUẦN NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC
Nghệ An - 2014
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và các ví dụ minh họa. . . .4
1.2 Khái niệm chỉnh hóa các bài toá n đặt không chỉnh và ví dụ minh
họa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Chương 2. Chỉnh hoá bài toán Cauchy không thuần nhất ngược
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

gian Hilbert H bằng bài toán

u
t
+ Au = f
α
, 0 < t < T
u(T ) = g
α
(ABCP )
2
trong đó
f
α
=

k≥1
e
−λ
k
T
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
f
k

đánh giá sai số của phương pháp cho bài toán Cauchy không thuần nhất
trong bài báo [4].
Luận vă n được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Đức. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơ n sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân
thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, quý thầy cô trong tổ Giải tích
khoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh, phòng tổ chức Trường
Đại học Sài Gòn và đặc biệt là các anh chị học viên cao học khóa 20
Toán giải tích tại Trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuận lợi
giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập. Mặc
dù có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn không tránh khỏi những
hạn chế thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, năm 2014
Tác giả
Đỗ Minh Trí
3
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và các ví
dụ minh họa
Các kết quả trong phần này được chúng tôi tham khảo trong tài liệu [1].
1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Xét ánh xạ
d : X × X −→ R thỏa mãn các tính chất sau đây:
i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X.
ii) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X.
iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó d được gọi là một mêtric trên X và không gian (X, d) được
gọi là một không gian mêtric

X
(R(f
1
), R(f
2
)) ≤ ε.
1.1.5 Định nghĩa. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y
được gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian mêtric (X, Y ) nếu
i) Với mỗi f ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X;
ii) Nghiệm x đó là duy nhất;
iii) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X , Y ).
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn bài toán tìm
nghiệm đượ c gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài
toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn.
1.1.6 Ví dụ.
1) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
b

a
K(t, s)ϕ(s)ds = f
0
(t), t ∈ [c, d],
ở đây nghiệm là một hàm ϕ(s), vế phải f
0
(t) là một hàm số cho trước
và hạch K(t, s) của tích phân cùng với
∂K
∂t
được giả thiết là các hàm liên
tục. Ta giả thiết ng hiệm ϕ(s) thuộc lớp các hàm liên tục trên [a, b] với

d
L
2
[c,d]
(f
1
, f
2
) =



d

c
|f
1
(t) −f
2
(t)|
2
dt



1
2
.
Giả sử phương trình có nghiệm là ϕ
0

, f
1
) = |N|



d

c
[
b

a
K(t, s) sin(ωs)ds]
2
dt



1
2
.
có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt
K
max
= max
s∈[a,b],t∈[c,d]
|K(t, s)|,
ta tính được
d

|N|K
max
c
0
ω
,
ở đây c
0
là một hằng số dương. Ta chọn N và ω lớn tùy ý nhưng
N
ω
lại
nhỏ. Khi đó,
d
C[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) = max
s∈[a,b]
|ϕ
0
(s) −ϕ
1
(s)| = |N|
6
có thể lớn bất kỳ.
Khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ
0


1
2
= |N|



b

a
sin
2
(ωs)ds



1
2
= |N|

b −a
2
−
1
2ω
sin(ω(b −a)) cos(ω(b + a)).
Dễ dàng nhậ n thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho d
L
2
[c,d]

n
, ) ∈ l
2
được cho xấp xỉ bởi c
n
= a
n
+
ε
n
, n ≥ 1
và c
0
= a
0
. Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng
f
2
(t) =
∞

n=0
c
n
cos(nt),
cũng có hệ số (c
0
, c
1
, , c

2
= ε

π
2
6
.
Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε có
thể lấy nhỏ tùy ý. Trong khi đó,
f
2
(t) −f
1
(t) = ε
∞

n=1
1
n
cos(nt)
7
có thể làm cho lớn bao nhiêu cũng được. Ví dụ tại t = 0 chuỗi phân kỳ.
Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f
1
và f
2
được xét
trong không gian các hàm với độ đo đều thì bài toá n tính tổng của chuỗi
Fourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. Tuy
nhiên nếu xét trong không gian L

n=0
(c
n
− a
n
) cos(nt)|
2
dt



1
2
=

∞

n=0
π
2
(c
n
− a
n
)
2

1
2
= ε



y=0
= ϕ(x), −∞ < x < ∞,
ở đây f (x) và ϕ(x) là các hàm cho trước. Nếu lấy f (x) = f
1
(x) ≡ 0 và
ϕ(x) = ϕ
1
(x) =
1
a
sin(ax), thì nghiệm của bài toán trên là
u
1
(x, y) =
1
a
2
sin(ax)sh(ay), a > 0.
Nếu lấy f(x) = f
2
(x) = ϕ(x) = ϕ
2
(x) ≡ 0, thì nghiệm của bài toán là
u
2
(x, y) ≡ 0. Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được
xét trong độ đo đều ta có
d

1
và ϕ
2
lại khá nhỏ. Trong
khi đó, khoảng cách giữa các nghiệm
d
C
(u
1
, u
2
) = sup
x,y
|u
1
(x, y)−u
2
(x, y)| = sup
x,y
|
1
a
2
sin(ax)sh(ay)| =
1
a
2
sh(ay),
với y > 0 cố định lại lớn bất kỳ. Chính vì vậy, đây cũng là bài toán không
ổn định.

);
ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ
1
:
∀f ∈ Y, d
Y
(f, f
0
) ≤ δ ≤ δ
1
, d
X
(x
α
, x
0
) ≤ ε, ở đây x
α
∈ R(f, α(f, δ)).
Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn không phụ thuộc f thì ta gọi
là cách chọn tiên nghiệm. Nếu α được chọn phụ thuộc cả f và δ thì ta
gọi là cách chọn hậu nghiệm.
1.2.2 Nhận xét.
Trong định nghĩa 1.2.1 không đòi hỏi tính đơn trị của toán tử R(f, α).
Phần tử xấp xỉ x
α
∈ R(f
δ
, α) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương
trình A(x) = f

(t) = f(t) + g(t), ở đây
|g(t)| ≤ δ với mọi t, khi đó,
R(f
δ
, α) =
f(t + α) −f(t)
α
+
g(t + α) −g(t)
α
.
Cho α → 0,
f(t + α) −f(t)
α
→ z.
Số hạng thứ hai được đánh giá bởi




g(t + α) −g(t)
α




≤
2δ
α
.

1
, a
2
, ) của hàm
f(t) =
∞

k=1
a
k
ϕ
k
(t)
được cho xấp xỉ bởi c = (c
1
, c
2
, ) sao cho
∞

k=1
(a
k
− c
k
)
2
≤ δ
2
.

)(α =
1
n
), trong đó n = n(δ) = [
η(δ)
δ
2
] là phần nguyên
của
η(δ)
δ
2
, ở đây δ, η(δ) → 0, còn n(δ) → ∞ Thật vậy,
|f(t
0
) −
n(δ)

k=1
c
k
ϕ
k
(t
0
)| ≤ |
n(δ)

k=1
(a





∞

k=n(δ)+1
a
k
ϕ
k
(t
0
)





→ 0, khi
n(δ) → ∞. Ngoài ra,






n(δ)

k=1



n(δ)

k=1
|a
k
− c
k
|
2
n(δ)

k=1
|ϕ
k
(t
0
)|
2



1
2
≤ C
0




1.2.4 Nhận xét. Trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh
có dạng đơn giản sau:
Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh,
nếu:
i) Tồn tại một số dương δ
1
sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi
0 ≤ δ ≤ δ
1
và với mọi f ∈ Y sao cho d
Y
(f, f
0
) ≤ δ;
ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ
0
= δ
0
(ε, f
δ
) ≤ δ
1
sao cho từ d
Y
(f
δ
, f
0
) ≤
δ ≤ δ

Trong luận văn này, ta xét bài toán Cauchy không thuần nhất ngược
thời gian có dạng

u
t
+ Au = f, 0 < t < T
u(T ) = g
(BCP )
trong đó A là một toán tử dương, tự liên hợp không bị chặn trên không
gian Hilbert H với tích vô hướng ., . và chuẩn . sao cho H có một cơ
sở trực chuẩn gồm các hàm riêng {ϕ
k
}
k∈N
∗
trong H tương ứng với dãy
số dương tăng không bị chặn các giá trị riêng {λ
k
}
k∈N
∗
của toán tử A.
Dữ kiện g ∈ H và f thuộc không gian L
2
((0, T ), H). Bài toán (BCP) đặt
không chỉnh, nghiệm của bài toán không phải khi nào cũng tồn tại. Hơn
13
nữa, khi nghiệm của bài toán tồn tại, nó cũng không phụ thuộc liên tục
vào dữ kiện của bài toán.
2.2 Phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số

ϕ
k
,
g
α
=

k≥1
e
−λ
k
T
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
g
k
ϕ
k
và 0 < α < 1.
2.2.1 Định nghĩa. ([4]) Một nghiệm cổ điển của bài toán (BCP) là một
hàm u : [0, T ] → Hthỏa mãn u(t) ∈ D(A) với mọi t ∈ (0, T ), u ∈ C
1
((0, T ), H)
và thỏa mãn phương trình u
t

< +∞. (2.1)
Chứng minh. Giả sử rằng bài toán (BCP) có nghiệm cổ điển. Khi đó ta có
u(t) =

k≥1
u
k
(t)ϕ
k
, u(t) ∈ D (A) với mọi t ∈ (0, T ) và u ∈ C
1
((0, T ), H).
Từ phương trình và điều kiện giá trị cuố i trong bài toán (BCP), ta đạt
14
được
u(t) =

k≥1


g
k
e
λ
k
(T −t)
−
T

t

T

t
e
λ
k
(s−t)
f
k
(s)ds)
2
< +∞.
Đặc biệt với t = 0 ta có
u(0)
2
=

k≥1
(g
k
e
λ
k
T
−
T

0
e
λ

k
(s)ds)
2
+ 2T f 
2
L
2
((0,T ),H)
.
Vì
Au(t)
2
=

k≥1
λ
k
2
e
−2λ
k
t
(g
k
e
λ
k
T
−
T

f
k
(s)ds)
2
+ 2T f 
2
L
2
((0,T ),H)
.
Do đó u(t) ∈ D (A) với mọi t ∈ (0, T ). Vì
u

(t) =

k≥1
[f
k
(t) −λ
k
e
−λ
k
t
(g
k
e
λ
k
T

tục vào dữ kiện g ∈ H và f ∈ L
2
((0, T ), H). Hơn nữa, với mọi t ∈ [0, T ]
và p ∈ R
∗
+
ta có đánh giá
u
α
(t)
H

1
α

T
log
T
pα

p

g
H
+
√
T f 
L
2
((0,T ),H)

e
λ
k
(s−T )
f
k
(s)ds


ϕ
k
. (2.4)
Chúng ta có
u
α
(t) ≤






k≥1
e
−λ
k
t
αλ
p
k

−λ
k
T
T

t
e
λ
k
(s−T )
f
k
(s)dsϕ
k






. (2.5)
Xét hàm số
h(λ) =
1
αλ
p
+ e
−λT
.
Ta thấy tồn tại λ

h(λ
0
) =
1
αλ
p
0

1 +
p
T λ
0

≤
1
α

T
log
T
pα

p
.
16
Kết hợp đánh giá này với đánh giá (2.5) và bất đẳng thức Cauchy-Schwat,
ta đạt được đánh giá sau với mọi p ∈ R
∗
+
u

Tính ổn định nghiệm của bài toán theo dữ kiện g ∈ H có thể được
viết lại như hệ quả dưới đây
2.2.5 Hệ quả. ([4]) Nếu g
1
và g
2
là các dữ kiện đã cho thuộc H tương
ứng với các nghiệm u
1α
(t) và u
2α
(t) thì
u
1α
(t) −u
2α
(t) ≤
1
α

T
log
T
pα

p
g
1
− g
2

(g
1k
− g
2k
)
2
≤
1
α
2

T
log
T
pα

2p
g
1
− g
2

2
.
2.2.6 Nhận xét. ([4]) Với bài toán Ca uchy ngược thời gian (BCP),
theo Định lý 2.2.4, nếu ta chọn f = 0 ta sẽ đạt được một sự mở rộng của
phương pháp tựa biên (quasi-boundary method) đã được trình bày trong
các bài báo [3, 5] với đánh giá ổn định tốt hơn và có bậc là
1
α

2.2.7 Định lý. Cho g ∈ H và f ∈ L
2
((0, T ), H). Giả thiết rằng bài toán
(BCP) có nghiệm cổ điển u(t). Khi đó nghiệm cổ điển u
α
(t) của bài toá n
(ABCP) thỏa mãn:
u
α
(t) ≤
u(t)
αλ
p
1
e
λ
1
T
+ 1
, ∀t ∈ [0, T ], ∀α > 0
Chứng minh. Ta có:
u
α
(t) =

k≥1
e
−λ
k
t

k
+ e
−λ
k
T
(g
k
e
λ
k
T
−

T
t
e
λ
k
s
f
k
(s)ds)ϕ
k
.
Suy ra
u
α
(t) =

k≥1

Do đó ta có :
u
α
(t)
2
=

k≥1
(
e
−λ
k
T
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
2
(g
k
e
λ
k
(T −t)
−


e
λ
k
(T −t)
−

T
t
e
λ
k
(s−t)
f
k
(s)ds)
2
= sup
k≥1
(
1
αλ
p
k
e
λ
k
T
+ 1
)
2

)
2

k≥1
(g
k
e
λ
k
(T −t)
−

T
t
e
λ
k
(s−t)
f
k
(s)ds)
2
18
= (
1
αλ
p
1
e
λ

((0, T ), H). Khi đó với mọi
p ∈ R
∗
+
, 0 < α < 1 và t ∈ [0, T ], ta có
u
α
(t) ≤
1
α
1−
t
T

T
log
T
pα

p(1−
t
T
)
(g
H
+
√
T −tf
L
2

T
(αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
1−
t
T
]
2
≤
1
(αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
2(1−
t
T
)
và đánh giá cận trên như trong Định lý 2.2.4, ta đạt được


t
T

T
log
T
pα

p(1−
t
T
)
g
H
.
Mặt khác, ta có







k≥1
e
−λ
k
t
αλ
p



T
log
T
pα




p(1−
t
T
)
×

(T −t)f
L
2
((0,T ),H)
.
Kết hợp các đánh giá trên với bất đẳng thức (2.5), ta đạt được kết quả
mong muốn.
19
2.2.9 Định lý. ([4])Với mọi g ∈ H, dãy u
α
(T ) hội tụ tới g trong H khi
α tiến tới 0.
Chứng minh. Với mọi α ∈ (0, 1) và p ∈ R
∗

2
k
≤
ε
2
. Ta có
u
α
(T ) −g
2
=
N

k=1

αλ
p
k
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T

2
g
2
k

λ
2p
k
e
2λ
k
T
g
2
k
+
ε
2
.
Do đó, nếu ta chọn α thỏa mãn α <

ε
2

N

k=1
λ
2p
k
e
2λ
k
T
g

α
(T ) −g hội tụ tới 0 với bậc ε
−1
α
ε
2
.
Chứng minh. Từ (2.4) ta có đẳng thức sau với β ∈ (0, 2)
u
α
(T ) −g
2
=

k≥1
[
αλ
p
k
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
]
2
g
2

p
k
+ e
−λ
k
T
)
2
.
Hàm số trên có cực đại tại
α
0
=
β
2 −β
1
λ
p
k
e
−λ
k
T
, ∀p ∈ R
∗
+
.
20
Do đó nếu chọn β = 2 −ε, ta có đánh giá
u

k
T
)
2
g
2
k
=

β
2 −β

β
α
2−β

k≥1
λ
(2−β)p
k
e
(2−β)λ
k
T
(α
0
λ
p
k
+ 1)

k
e
ελ
k
T
g
2
k
< +∞ ta kết luận rằng
u
α
(T ) −g ≤
c
ε
α
ε
2
.
Định lý được chứng minh.
Hai định lý tiếp theo sẽ chứng tỏ rằng với các điều kiện yếu hơn áp
đặt lên dữ kiện g cũng có thể đưa ra đánh giá sai số về tốc độ hội tụ của
dãy u
α
(T ) tới g trong không gian Hilbert H.
2.2.11 Định lý. ([4]) Giả sử rằng g ∈ D(A
s
), ∀s ∈ (0, 1]. Khi đó tồn tại
một hằng số c > 0 phụ thuộc vào g ∈ H sao cho
u
α

g
2
k
=

k≥1
α
2
λ
2p−2s
k
(αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
2
λ
2s
k
g
2
k
.
Hàm số
h(λ) =
λ

sup
λ>0
h(λ) = h(λ
0
) =
1
α
λ
−s
0
1 +
s
λ
0
T +(p−s)
≤
1
α
λ
−s
0
.
Do đó, ta khẳng định rằng
u
α
(T ) −g ≤
c
log
s
(

k
< +∞ với s > 0. Khi đó
tồn tại một hằng số c > 0 phụ thuộc và o dữ kiện g ∈ D(log
s
A) sao cho
u
α
(T ) −g ≤
c
log
s
(
1
T
log
T
sα
)
.
Chứng minh. Ta viết
u
α
(T ) −g
2
=

k≥1
α
2
λ

−λ
k
T
)
2
log
2s
λ
k
g
2
k
.
Hàm số
h(λ) =
λ
p
log
s
λ(αλ
p
+ e
−λT
)
, λ ≥ e, s > 0,
thỏa mãn
h(λ) ≤ h
1
(λ), trong đó h
1

log log λ +
1
λ
log

1 +
p
λT


.
22
Với α đủ nhỏ ta có thể chọn λ
0
≈
1
T
log
T
sα
. Khi đó ta có
sup
λ≥e
h
1
(λ) = h
1
(λ
0
) ≤


k≥1
log
2s
λ
k
g
2
k
< +∞ ta khẳng định rằng tồn tại hằng số c sao cho
u
α
(T ) −g ≤
c
(log(
1
T
log(
T
sα
)))
s
.
Định lý được chứng minh.
Các định lý tiếp theo sẽ khẳng định sự hội tụ cũng như đánh giá tốc
độ hội tụ của phương pháp với mọi t ∈ [0, T ].
2.2.13 Định lý. ([4]) Giả sử g ∈ H và f ∈ L
2
((0, T ), H). Khi đó, bài
toán không thuần nhất (BCP) có nghiệm u(t) nếu và chỉ nếu dãy u



e
−λ
k
t
ϕ
k
,
trong đó
u
0
=

k≥1
u
0k
ϕ
k
.
Lấy t ∈ [0, T ], ta có
23