Số hóa bởi trung tâm học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM


PHẠM NGỌC HẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC
HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. VŨ NGỌC PHÁT

Thái Nguyên – 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu

i
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung
thực và chưa từng được ai công bố ở bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Phạm Ngọc Hải

Số hóa bởi trung tâm học liệu


R
: Tập các số thực không âm.

n
R
: Không gian véc tơ n- chiều với kí hiệu tích vô hướng là
.,.nr
R
: Không gian các ma trận
()nr
- chiều.

([ , ], )
n
C a b R
: Tập các hàm liên tục trên
[ , ]ab
và nhận giá trị trên
n
R
.

2
([ , ], )
m
L a b R
: Tập các hàm khả tích bậc hai trên Số hóa bởi trung tâm học liệu

1
LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học ứng
dụng quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Lý thuyết điều
khiển được khởi xướng bởi những ý tưởng và kết quả quan trọng của nhà toán
học R. Kalman từ những năm 60, trong đó đã chứng minh một điều kiện đại
số về tính điều khiển được hệ tuyến tính đơn giản.
Trải qua hơn một thế kỷ, lý thuyết điều khiển ngày càng phát triển mạnh
mẽ như một chuyên ngành độc lập của toán học ứng dụng với sự kết hợp của
toán học và điều khiển kỹ thuật. Hiện nay lý thuyết này được nhiều nhà toán
học trên thế giới và trong nước quan tâm nghiên cứu như: R. Kalman, RP
Agarwal, V. Korobov, Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Khoa Sơn,…và thu được nhiều
kết quả, tính chất quan trọng.
Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong các bài toán
điều khiển hệ thống là tính điều khiển được, tức là xác định điều khiển chấp
nhận được sao cho hệ thống chuyển từ vị trí này tới vị trí khác trong một thời
gian hữu hạn nào đó. Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài
toán khác như bài toán điều khiển tối ưu, bài toán ổn định và ổn định hóa, bài
toán quan sát được,…
Như chúng ta biết công cụ chính để nghiên cứu những vấn đề trong lý
thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp toán học
được ứng dụng để giải quyết những vấn đề định tính của các hệ thống điều
khiển. Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các mô hình động

khỏi những hạn chế và sai sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý và
những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn! Số hóa bởi trung tâm học liệu

3
Chƣơng 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm toán học cơ sở
về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm của
hệ phương trình vi phân tuyến tính, lý thuyết điều khiển được hệ phương trình
vi phân tuyến tính.

1.1. Hệ phƣơng trình vi phân
1.1.1. Hệ phƣơng trình vi phân
Xét hệ phương trình vi phân có dạng:

0
0 0 0
( ) ( , ( )), ,
(1.1.1)
( ) , 0,
x t f t x t t t
x t x t

t
t
x t x x f s x s ds

Các định lý sau đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình vi phân
(1.1.1)
(xem [2]).
Định lý 1.1.1. (Định lý Picard – Lindeloff)
Xét hệ phương trình vi phân
(1.1.1)
trong đó giả sử
:
n
f I D R

00
,I t t b
liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x:

1 2 1 2
0: ( , ) ( , ) , 0.K f t x f t x K x x tSố hóa bởi trung tâm học liệu

4
Khi đó, với mỗi
00
( , )t x DR


thì hệ
(1.1.1)
có nghiệm trên khoảng
00
,tt
nào đó.
Với một số giả thiết thêm trên của hàm
( , )f t x
thì nghiệm
0
( , )x t x
được
xác định trên
0,
(xem [2]) .
Đặc biệt, đối với các hệ phương trình vi phân tuyến tính

( ) ( ) ( ) ( ), 0,x t A t x t g t t


trong đó
( ) , , ( ):
n n n
A t t g tR R R
là các hàm liên tục thì luôn luôn tồn
tại nghiệm
0
( , )x t x
xác định trên toàn khoảng

A t t
A t s
t
x t x e x e g s ds t

1.1.3. Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính không ôtônôm
Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng:

Số hóa bởi trung tâm học liệu

5

0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ), ,
(1.1.3)
( ) , 0,
x t A t x t g t t
x t x t

R

trong đó
()At
là
nn
- ma trận các hàm số liên tục trên
R
,
:
n

dt
s s I

Định lý 1.1.3.[1]. Cho
( , )ts
là ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất
(1.1.4). Khi đó
i) Mọi nghiệm của hệ (1.1.2) với
00
()x t x
là

00
( ) ( , ) .x t t t x

ii) Nếu
0
( , )tt
là ma trận nghiệm cơ bản khác của hệ (1.1.2) thì

0 1 0 0
( , ) ( , ) , ,t t t t C t t

trong đó
C
là ma trận hằng số nào đó.
iii) Nếu
C
là ma trận nghiệm cơ bản thì
0

d d d
t t t t t
dt dt dt
.
Vì

11
( ) ( ) ( )
d
t A t t
dt
,

( ) ( ) ( )
d
t A t t
dt
,

1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d d d
t t t t t
dt dt dt1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )A t t A t t t

00
()
20
At
t
.
Ta có nghiệm cơ bản
( , )tsfSố hóa bởi trung tâm học liệu

7

22
10
( , )
1
ts
ts
.
Vậy nghiệm của hệ (1.1.4) xuất phát
0
(0)xx
là

00
( , ) ( ,0)x t x t x


(1.2.1)
(0) ,
x t f t x t u t t
xx


trong đó
()
n
xt R
,
( , , )f t x u
thỏa mãn các điều kiện cần thiết để hệ (1.2.1)
luôn có nghiệm. Một hàm véc tơ
2
( ) 0, , , 0
m
u t L s sR
được gọi là
điều khiển chấp nhận được của hệ (1.2.1). Lớp các hàm điều khiển chấp nhận
được ta sẽ ký hiệu là
U
. Khi đó nghiệm của hệ (1.2.1) được xác định bởi

0
0
( ) ( , ( ) ( ))
t
x t x f s x s u s ds
.

nghiệm
0
( , , )x t x u
tại thời điểm
t
được cho bởi

00
0
( , , ) ( ,0) ( , ) ( ) ( ) , 0
t
x t x u t x t s B s u s ds t
,
trong đó
( , )ts
là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất

( ) ( ) ( ), 0x t A t x t t

.
Định nghĩa 1.2.1. Cho hai trạng thái
01
,
n
xx R
, cặp
01
( , )xx
được gọi là
điều khiển được sau thời gian

(0)
n
V R
sao cho hệ (1.2.2) là
điều khiển được hoàn toàn trong
(0)V
, thì hệ được gọi là điều khiển được địa
phương (ĐKĐĐP).
Định nghĩa 1.2.3. Hệ điều khiển (1.2.2) được gọi là đạt được hoàn toàn
(ĐĐHT) nếu với bất kỳ trạng thái
1
n
x R
sẽ tìm được một thời gian
1
0t
sao
cho
1
(0, )x
là điều khiển được sau thời gian
1
t
.
Định nghĩa 1.2.4. Hệ điều khiển (1.2.2) được gọi là điều khiển được hoàn
toàn về 0 (ĐKĐHT 0) nếu với bất kỳ trạng thái
0
n
x R
,tồn tại một thời gian

00
( ) : ( ) , ( , , )
n
t
x x u t x t x u xRRU
.
Khi đó, ta có thể nói hệ (1.2.2) là:
+ ĐKĐHT nếu
00
: ( )
nn
xxRRR
.
+ ĐĐHT nếu
(0)
n
RR
.
+ ĐKĐHT 0 nếu
00
, 0 ( )
n
xxR R
,trong đó ký hiệu

00
0
( ) ( )
t
t

x f f x u u
x f f f x u u u

Xét hệ phương trình tuyến tính rời rạc

0
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ), 0,1,2
(1.2.3)
(0) ,
x k A k x k B k u k k
xx

trong đó
( ) , ( )
nm
x k u kRR
,
( ) , ( )
n n n m
A k B kRR
.Với dãy điều khiển
cho trước
( (0), (1), , ( 1)), ( )
n
u u u k u k R
, nghiệm của hệ phương trình
(1.2.3) được xác định bởi

0
0

F k k I

Trong trường hợp hệ (1.2.3) là hệ ôtônôm thì ma trận
( , )
ki
F k i A
và
nghiệm
()xk
được cho bởi

1
1
0
0
( ) ( )
k
k k i
i
x k A x A Bu i
.
Ta ký hiệu

( (0), (1), , ( 1))
k km
u u u u k R
.
+ Tập đạt được sau
k
bước:

n
RR =
, trong đó
0
k
k

RR
.
+ Điều khiển được về 0 địa phương (ĐKĐĐP 0), nếu
0 intC
.
+ Đạt được địa phương (ĐĐĐP), nếu
0 int R
.
Ví dụ 1.2.2. Xét hệ rời rạc

Số hóa bởi trung tâm học liệu

11

2
11
22
( 1) 2 ( ) ( ),
1
( 1) 4 ( ) ( ),
1
x k kx k k u k
x k kx k u k

2
(1) (0) (0) (0) (0)
(1) (0)
0 0 0
(0)
(1) 0 0 (0) 1
(1)
0
.
(1) (0)
x A x B u
xx
u
xx
x
xu1
2
1
2
(2) (1) (1) (1) (1)
(2)
2 0 0 1
(1)
(2) 0 4 (0) 1 2
(1)
(2)
.

khiển được của hệ phương trình vi phân tuyến tính thông qua các định lý chọn
lọc đối với các hệ động lực mô tả bởi phương trình điều khiển với thời gian
liên tục. Nội dung chương này là kết quả từ công trình [3,4].

2.1. Bài toán điều khiển đƣợc cho các hệ phƣơng trình vi phân
tuyến tính
Xét một hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính
ôtônôm dạng

0
( ) ( ) ( ), 0,
(2.1.1)
(0) ,
x t Ax t Bu t t
xx


trong đó
( ) , ( )
nm
x t u tRR
,
,AB
là các ma trận hằng số,
,
n n n m
ABRR
.
Đối với hệ (2.1.1), theo công thức nghiệm ta có ma trận nghiệm cơ bản là
( ,0)


Số hóa bởi trung tâm học liệu

13

0
: ( ) , (.)
t
n As
t
x x e Bu s ds uR UC
.
Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một kết quả cơ sở đầu tiên về tính điều khiển
được cho hệ điều khiển tuyến tính dừng.
Định lý sau đây sẽ cho ta điều kiện cần và đủ để hệ (2.1.1) là điều khiển
được hoàn toàn.
Định lý 2.1.1. (Tiêu chuẩn hạng Kalman): Hệ tuyến tính (2.1.1) là điều khiển
được hoàn toàn (ĐKĐHT) khi và chỉ khi

1
, , , . (2.1.3)
n
rank B AB A B n

Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử phản chứng rằng hệ (2.1.1) là ĐKĐHT
nhưng điều kiện hạng (2.1.3) không thỏa mãn, tức là

1
, , , .
n


1
10
nn
n
A a A a I
.
Nhân từ bên trái với
B
ta có

1
10
nn
n
A B a A B a B
.
Nhân vô hướng hai vế phương trình ma trận trên với véc tơ
,0
n
vvR

ta có
'0
n
v A B
. Lý luận tương tự, ta có

' 0, 0,1,2 (2.1.4)
nk

0t
và điều
khiển chấp nhận được
1
()
t
ut U
sao cho

1
As
0
()
t
x e B u s ds
.
Nhân vô hướng hai vế bất đẳng thức trên với véc tơ
v
và áp dụng (2.1.5)
ta có

,0vx
.
Vì
x
là véc tơ tùy ý nên
0v
, suy ra mâu thuẫn với điều kiện
0v
. Vậy

11
:
n
tt
L RU
xác định bởi
1
1
()
0
()
t
A t s
t
L u e B u s ds
qua một không gian
1
21
[0, ],
m
t
LtRU
nên
1
t
R
là một không gian con trong
n
R
.Vì

' ( ) 0, (.)
t
A t s
t
v e B u s ds u U
.
Vì hàm dưới dấu tích phân liên tục theo
1
[0, ]st
và tích phân triệt tiêu
với mọi
1
()
t
ut U
nên

1
()
1
' 0, [0, ]. (2.1.7)
A t s
v e B s t

Trong (2.1.7) đặt
1
st
ta được
'0vB
. Đạo hàm hai vế theo

1
' , , , 0
n
v B AB A B
.
Đẳng thức trên cho ta điều kiện

1
, , , ,
n
rank B AB A B n

vì
'0v
, điều mâu thuẫn với điều kiện (2.1.3) cho ta khẳng định (2.1.6). Bây
giờ việc chứng minh được hoàn thành như sau: Với bất kỳ hai trạng thái
01
,
n
xx R
, đặt véc tơ
1 1 0
a x at x
, trong đó
1
0t
được xác định từ điều
kiện (2.1.5). Vì hệ là ĐĐHT sau thời gian
1
t


Số hóa bởi trung tâm học liệu

16
Như vậy để xét tính điều khiển được của hệ tuyến tính dừng (2.1.1) ta
chỉ cần xác lập ma trận
1
[B,AB, ,A ] ( )
n
B n nm
-
-´
, sau đó kiểm tra hạng
của nó là đủ. Ma trận này được gọi là ma trận điều khiển được và ký hiệu tắt
[A/ B]
.
Ví dụ 2.1.1. Xét tính điều khiển được hệ

1 1 2
2 1 2
22x x x u
x x x



Ta có

22
22
11


33
1 0 0
1 2 0
034
A R
và
32
00
10
02
B R
.
Vì

0 0 0 0 0 0
[ / ] 1 0 2 0 4 0 2
0 2 3 8 18 32
rank A B rank
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
==
÷

định bởi

0
( , ) ( , )
t
t
L t s BB t s dsff
¢¢
=
ò
.
Định lý sau đây cho ta cách xác định cụ thể điều khiển chấp nhận được
()ut
mà nhờ đó hệ thống chuyển từ trạng thái này đến trạng thái khác.
Định lý 2.1.2. Hệ (2.1.8) là điều khiển được hoàn toàn sau thời gian
0T >

khi và chỉ khi ma trận
T
L
là không suy biến.
Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.1.8) là ĐKĐHT, nhưng
T
L
là
ma trận suy biến với
0T >
. Trước hết với véc tơ
n
x Î R

Lx=
.Từ (2.1.9) ta có

2
0
( , ) 0
T
t
x L x B T s x ds
.
Từ đó suy ra

( , ) 0B T s xf
¢¢
=
với mọi
[0, ]sTÎ
.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

18
Mặt khác vì hệ (2.1.8) là ĐKĐHT nên hệ là ĐĐHT sau thời gian
0T >
,
cho nên sẽ tồn tại một điều khiển chấp nhận được
()ut Î U
sao cho

0

L
-
.Với hai trạng thái tùy ý
0, 1
n
xx R
ta xác định được điều khiển chấp nhận được
()ut Î U
như sau

1
01
( ) ( , ) ( ( ,0) ). (2.1.10)
T
u t B T t L T x x

trong trường hợp
()ut
xác định theo (2.1.10) thì dễ kiểm tra được nó là điều
khiển chấp nhận được chuyển từ trạng thái
0
x
tới
1
x
.

1
0 0 0 1
0

t
và
1
()
0
Bt
.
Tìm ma trận nghiệm cơ bản
( , )tsf
của hệ

Số hóa bởi trung tâm học liệu

19

12
34
( , )ts
.
Ta có

12
3 4 1 2
0 0 0 0
( , )
2 0 2 2
( , )
d
ts
t t t

suy ra
1 1 2 2
,ccff==
.
Vì
11
22
( , ) 1 1
( , ) 0 0
s s c
s s c
f
f
ì
ï
= Þ =
ï
í
ï
= Þ =
ï
î

44
c
,
4
( , ) 1ss
suy ra
4

ts
ts
,
do đó ma trận tích phân điều khiển được
1
1
11
0
( , ) '( , )
t
t
L t s BB t s ds1
3
11
35
11
2
3
28
3 15
t
tt
L
tt
.
Nhận thấy rằng
1

1
5
1
45 1
3
4
tt
t

sẽ chuyển trạng thái
0
x
tới 0 sau thời gian
1
0t
.
Ví dụ 2.1.4. Xét hệ phương trình vi phân

1
21
3
xu
x tx



Ta có

00
()

L t s BB t s ds
là

1
3
11
35
11
6
5
t
tt
L
tt
.
Nhận thấy rằng
1
0t
,
1
t
L
là ma trận không suy biến.
Hệ đã cho là ĐKĐHT theo định lý 2.1.2. Với các trạng thái
01
(0,1), (0,0)xx
thì điều khiển chấp nhận được
()ut
được xác định