Lời cảm ơn!
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán đã giúp đỡ
em trong thời gian vừa qua. Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và xâu sắc nhất tới thầy giáo, Tiến sĩ. Bùi Kiên Cường đã tận tình
hướng dẫn, nghiêm khắc để em hoàn thành tốt khoá luận và trong suốt quá
trình học tập.
Cuối cùng em xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, đóng góp
những ý kiến hữu ích để em hoàn thành tốt luận văn này.

Phúc Yên, ngày 09 tháng 5 năm 2007
Tác giả
Mai Thị Thu Trang.


Khoá luận tốt nghiệp

Mục lục
Trang
Mục lục .............................................................................................................. 1
Mở đầu .............................................................................................................. 3
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 3
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................ 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu...................................................................... 3
5. Cấu trúc luận văn ................................................................................. 4
Kí hiệu ............................................................................................................... 5
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian định chuẩn, không gian banach ........................................ 6
1. Không gian định chuẩn, không gian Banach ....................................... 6
2. Toán tử tuyến tính ................................................................................ 7
3. Không gian liên hợp ............................................................................. 8


2.1. Phép biến đổi Fourier trong L1 (  ) ................................................ 27
1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 27
2. Các tính chất ....................................................................................... 28

  ................................................. 33

2.2. Phép biến đổi Fourier trong S 

n

1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 33
2. Các tính chất ....................................................................................... 34
3. Biến đổi Fourier ngược ...................................................................... 38

  ..................................... 43

2.3. Biến đổi Fourier trong không gian L2 

n

1. Định nghĩa .......................................................................................... 43
2. Các tính chất ....................................................................................... 43
Chương 3. Không gian các hàm suy rộng
3.1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 46
3.2. Toán tử trong không gian .................................................................... 50
các hàm suy rộng ......................................................................................... 50
3.3. Giá của hàm suy rộng......................................................................... 53

  ......................................................... 55

dụng lớn trong vật lý và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, nó phục vụ
cho việc nghiên cứu tính kì dị của hàm và hàm suy rộng trong giải tích vi địa
phương. Chính vì thế việc nghiên cứu các không gian hàm là cần thiết đối với
mỗi sinh viên.
Trong quá trình học tập em đã tiếp thu được một số kiến thức: mở đầu
là chuỗi Fourier, đẳng thức Parseval trong giải tích, tiếp đến là tích phân
Lebegeus, phương trinh đạo hàm riêng, giải tích hàm….Chính những kiến
thức này đã tạo điều kiện, động lực thôi thúc em tìm hiểu và quyết định chọn
đề tài: “Biến đổi Fourier, hàm suy rộng và giải tích vi địa phương”.

2. Mục đích nghiên cứu
- Rèn luyện tính nghiêm túc, tư duy logic, từ đó có phương pháp
nghiên cứu khoa học thích hợp thích hợp và đúng đắn.
- Khắc sâu và tìm hiểu những kiến thức về biến đổi Fourier và hàm suy
rộng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier trong một số không gian hàm:
không gian L1   n  ,S   n  ,L2   n  và không gian hàm suy rộng S    n  .
- Nghiên cứu về không gian các hàm suy rộng .
- Bước đầu làm quen và tìm hiểu về giải tích vi điạ phương.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp phân tích đánh giá tổng hợp.
- Phương pháp phân nhóm học tập.

Mai Thị Thu Trang
3



 Nếu  , là các đa chỉ số thì   1   2  ...   n

 !  1 ! 2 !...n ! .     1  1 , 2  2 ,..., n  n 
  n là kí hiệu của không gian Euclied n chiều và x   x1 ,x2 ,...,xn  ,

y   y1 , y2 ,..., yn  ,   1 ,2 ,...,n  là các phần tử trong  n .
 Nếu x   n và  là một da chỉ số thì:

x  x11 x22 ...xnn ,

 xk 


,
xk

x  x11 x22 ...xnn
Dx   i  x , i  1 .


Dxk  i xk ,

 C    n  là không gian tuyến tính của tất cả các hàm khả vi vô hạn trên

 n.
 C0   n  là không gian tuyến tính của tất cả các hàm khả vi vô hạn trên

 n với giá compact.
 Công thức Leibnitz


Định nghĩa 1.2. Dãy điểm  xn  của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ
xn  x  0 .
tới điểm x , nếu lim
n

kí hiệu: lim xn  x hay xn  x khi n   .
n
Định nghĩa 1.3. Dãy điểm  xn  của không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ

xn  xm  0 .
bản nếu lim
n
m

Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Mai Thị Thu Trang
6


Khoá luận tốt nghiệp

2. Toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1.5. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường k . ánh xạ
A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu A thoả mãn các
điều kiện:
1) x, x  X ta có A x  x  Ax  Ax .
2) x  X,   X thì A x   Ax .
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi A chỉ thoả mãn 1)

3. Không gian liên hợp
Định nghĩa 1.10. Cho không gian định chuẩn X trên trường k . Ta gọi không
gian I  X, k  các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp
(hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu là X* (thay cho kí hiệu

I  X, k  ).
Định nghĩa 1.11. KG định chuẩn X gọi là kg phản xạ nếu X  X** .
Định nghĩa 1.12.
nếu X  X * .

Không gian định chuẩn X gọi là không gian tự liên hợp

Mai Thị Thu Trang
8


Khoá luận tốt nghiệp

1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.13. Cho không gian tuyến tính X trên trường K ( K   hoặc
K   ) ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích

Descarts X  X vào trường k kí hiệu là (,) thoả mãn tiên đề:
1) x, y  X, thì

 x, y   x, y .

2) x, y, z X ta có

 x  y, z   x, z   y, z .

x H .

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không
gian Hilbert con của không gian Hilbert H .

Mai Thị Thu Trang
9


Khoá luận tốt nghiệp

Ví dụ 1.17. Kí hiệu 
x   xi    , y   yi   
n

n

là không gian vector thực n chiều. Với
n

n

ta đặt  x,y   xi yi .

(1.4)

i 1

Hệ thức (1.4) thoả mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô
hướng (1.4) là


f  a.

(1.5)

Chứng minh: (xem giải tích hàm - Nguyễn Phụ Hy).
Nhận xét: Nhờ định lý Riez mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không
gian Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử a trong H . Hiển nhiên
tương ứng đó vừa tuyến tính vừa đẳng cự. Vì vậy ta có thể đồng nhất mỗi
phiếm hàm f  H * với phần tử a  H nghĩa là H   H . Nói cách khác
không gian Hilbert là không gian tự liên hợp.

Mai Thị Thu Trang
10


Khoá luận tốt nghiệp

1.3. Không gian Lp    , 1  p   
1. Không gian L1   
Định nghĩa 1.19. Cho  là tập mở của 

n

trang bị độ đo Lebesgue. Ta kí

hiệu L1    là không gian các hàm khả tích trên  lấy giá trị trong  , và đặt
f

L1

hầu khắp nơi trên  .

Mai Thị Thu Trang
11

 fu  0,u C   thì
0

f =0


Khoá luận tốt nghiệp

Định lý 1.24. Không gian C0    các hàm khả vi liên tục có giá compact trù
mật trong L1    tức là f  L1   và   0,f1  C0    sao cho
f  f1

L1

 .

2. Không gian Lp    ( 1  p   )
Định nghĩa 1.25. Cho  là tập mở trong  n . Không gian L p    là tập hợp
tất cả các hàm f với luỹ thừa bậc p khả tích trên  nghĩa là



Lp      f /  f  x      cùng với chuẩn f
 


gL .
q

Định lý 1.27 (bất đẳng thức Minkovsky). Giả sử f  L p    g  L p    ,
p>1. Khi đó:

f gL  f
p

Lp

 gL

p

Định lý 1.28 (Tính trù mật)
Không gian C0    trù mật trong L p    với 1  p   .
Định lý 1.29. Kí hiệu

 L  



p

là không gian liên hợp của L p   

( 1  p   ). Khi đó  Lp     = Lq    trong đó q>1 thoả mãn




f








 inf c: f  x   c h.k.n /
 essup p f  x  .
x

Định lý1.34. L p    là không gian Banach  1  p    .
Hệ quả 1.35. Nếu  1  p    thì một dãy Cauchy trong L p    bao giờ cũng
có một dãy con hội tụ từng điểm hầu khắp nơi trên  .
Hệ quả 1.36
Lp     L1.loc    , 1  p   trong đó  là miền tuỳ ý trong  n .

4. Tích chập
Bổ đề 1.37

Mai Thị Thu Trang
13


Khoá luận tốt nghiệp

Nếu hàm f ,g L1  




n



f
x

y
g
y
dy




dx
n  n
 




=  g y   f  x  y  dx dy  f



L1


n



và g Lp  

n



với

.gL .
p

Chứng minh
+Xét với p = 1. Đặt h x  

 f  x  y g x dx . Theo bổ đề 1.36 thì h x khả



tích trên 

n

n

và h x  hữu hạn với hầu khắp x   n . Hơn nữa ta có

y
dy





dx
n n
 




g y    f  x  y  dx  dy  f
 n


Vậy định lý đúng với p = 1.

Mai Thị Thu Trang
14

L1

gL.
1


Khoá luận tốt nghiệp



   f  x  y 
 n


1
p

1
p

g y dy

n

1
p



p
.  f  x  y  g y  dx   f
 n


1
p
L1



p



n

1

p
 
p

     f  x  y  g x  dy  dx   f
 n   n





 f

1
p
L1

 f

1
p

p

1
p

L1

1

1
p
L1


p
h
x
dx


  p

n


1
p




Mai Thị Thu Trang
15

L

f

L1

.


Khoá luận tốt nghiệp

Như vậy tồn tại

 f  x  y g y dy,x  



Tổng quát:

n

.

n

Nếu f  Lp  


  1, p, n,q  1 đặt
p q

gL .
p

 sao cho    x dx  a,   0. Ta định


n

 x
nghĩa hàm:   x    n   , x   n khi đó với mỗi hàm f trong Lp  

, 1  p   ta có f    af trong Lp  

n

n



 khi   0 .

Chứng minh. Từ bất đẳng thức Minkovsky dạng tích phân và đẳng
thức

   x dx  a,  0. ta có:




p



n


 
n




f
x

y

f
x

y
dy
dx






p


Khoá luận tốt nghiệp





   f  x  y  f  x 

n

p

n

1
p


p
  y  dy  dx

1
p








fy  f

Lp

n

dy .

trong đó fy  x   f  x  y .
Do C0   n  trù mật trong Lp  

g C0   n  sao cho f  g Lp 

fy  f

Lp



nên với mỗi   0 tồn tại hàm


. Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
3

 fy  gy



do đó nếu x  supp( f  g) thì tồn tại

n

y supp(g) sao cho x - y  supp(f) hay x  supp(f)+supp(g).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.43. C0   n  trù mật trong Lp  

Mai Thị Thu Trang
17

n

,

1 p   .


Khoá luận tốt nghiệp

Chứng minh. Giả sử  C0   n  là một hàm không âm sao cho

   x  dx  1. Với   0, đặt   x  


 x
   , x   n . Khi đó theo mệnh




Theo (1.6), với h  C0   n  ta có thể tìm hàm   C0  
h 

Lp




2

n



sao cho

. Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
f 

Lp

 f  h L  h 
p

Lp





 sup p x x f  x    với mọi đa chỉ số  ,  .

Hiển nhiên S 

n

 là một không gian tuyến tính. Nếu

f  S 

n

 với mọi

đa chỉ số  và mọi số nguyên dương k ta có:

x f  x   c ,  1  x  .
k

trong đó c , là hằng số phụ thuộc vào  và  . Do đó hàm f  S 
gọi là hàm giảm nhanh. Dễ dàng ta thấy C0   n   S 

Mai Thị Thu Trang
18

n

.

n

2

3
f   x    8x3  4x  e x   2x   A3  x  e x


...
2

2

f    x    2x   A  x   e x ,   * .




2

trong đó A  x  là các hàm đa thức theo biến x và degA  x    . Với x đủ

 1
lớn ta có:  2x   A  x   2x .



Do đó x x f  x    2x  A  x e x





Thế vào (1.7) ta được:

2 1 x2m

x  x f  x 
 

m

x 

i 0

i!



2 i

ex  m!.2 1   khi x   .
2

   xm1 

Trong đó m =  +  + 1. Từ đó suy ra

x x f  x   , ,    hay f
Vậy f  S 

1


   1, 2 ,..., n 

và

x  x11 x22 ...xnn . Khi đó

thì

f  x   e x  e x1 e x2 ...e xn .
2

Đặt

2

2

2

fi  x   e xi , i  1,n ta có f  x  f1  x f2  x ...fn  x  . Mà theo chứng
2

  , i  1,n nên:

minh trên ta có fi  S 

n

xi xi fi  x   ,i  1,n,i , i  


f

 , 

      

Với mọi đa chỉ số  ,  , ,   .
Chứng minh
Cho f  S 

n

 khi đó theo định nghĩa không gian Schwartz ta có:
f

 ,

 sup x   f  x   c ,   .
x n

Với mọi đa chỉ số  ,  .

  
Ta lại có: x    x x f (x)   x      x     x f (x) 
     
  
  
    x    x       f ( x)   c.   f
     


n

f  x 


 x  y h  x  ,x  

 

n

.

(1.8)

m1

:

Chứng minh. Cho   C0  

n



và   1 trong một lân cận của điểm

y. Đặt f1   1    f , f2   f . Hiển nhiên hàm
h x   x  y

:

trơn vô hạn. nếu   C0  

n



là các hàm

m1

và   1 trên sup p thì nhân cả hai vế của

đẳng thức trên với  ta được sự mở rộng (1.8) cho f2 .
Định lý 1.48. S 

n

 trù mật trong L   
n

p

1 p   .

  S   nên cl  C     cl  S   .
Mặt khác theo định lý 1. 42 ta có L     cl  C     . Suy ra
S   trù mật trong L    . 
Mệnh đề 1.49. S   không trù mật trong L    .

21

n

n

n

n


Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.50. Ta nói rằng
không gian S 

n

 và viết

 fk   S  n 

S
fk 
 f nếu f  fk

hội tụ về f  S 
 ,

n

Mai Thị Thu Trang
22

f  g  ,



.


Khoá luận tốt nghiệp

1.5.

Đạo hàm suy rộng (Đ.h.s.r)

1. Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.51. Giả sử   1, 2 ,.., n  là một đa chỉ số. Hàm

f   x   L2,loc    được gọi là đạo hàm suy rộng cấp  trong miền   

n

của hàm f  x  L2,loc   , nếu đối với hàm tuỳ ý g C0    ta có:



 f  x D g x dx   1  f  x  g x dx .



=  1





 f  x g x  dx, g C   .
2

0



Từ đó suy ra:




 f  x g x  dx   f  x g x  dx  0, g  C   
1



2

0



   f1  x   f2  x  g x  dx  0, g  C0   .

1



2

2




 
=  1 c1  f1  x D  x  dx  c2  f2  x  D  x dx 
 


  1




 c f  x   c f  x D   x  dx
1 1

2 2



  1



 f  x






dx   f  x 
dx   f  x 
dx .
x1

x

x
1
1



trong đó    x  : x1  0,    x  : x1  0 , nên

 f  x





