▲ý t❤✉②Õt ❍➭♠ s✉② ré♥❣ ✈➭ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈
➜➷♥❣ ❆♥❤ ❚✉✃♥
❍➭ ◆é✐✱ ♥❣➭② ✷✵✲ ✶✶✲ ✷✵✵✺
❈❤➢➡♥❣ ✶
❈➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤➭♠ ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ❤➭♠ s✉② ré♥❣
✶✳✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ s✉♥❣
✶✳✶✳✶ ▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉
N = {1, 2, . . .} ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥✱ Z
+
= {0, 1, 2, . . .} ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣
➞♠✱ R ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝✱ C ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè ♣❤ø❝✳ ➜➡♥ ✈Þ ➯♦
√
−1 = i.
❱í✐ ♠ç✐ sè tù ♥❤✐➟♥ n ∈ N✱ t❐♣ Z
n
+
= {α = (α
1
, . . . , α
n
)


α
j
∈ Z
+
, j = 1, . . . , n}, t❐♣
R
n

❦ý ❤✐Ö✉ ❝➳❝ t❐♣ ♥❤➢ s❛✉✿
C
k
(Ω) = {u : Ω → C


u ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ➤Õ♥ ❝✃♣ k}, C(Ω) = C
0
(Ω) = {u : Ω
❧✐➟♥ tô❝
−→ C},
C
k
0
(Ω) = {u : Ω → C


u ∈ C
k
(Ω), supp u ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t}, C
0
(Ω) = C
0
0
(Ω),
C
∞
(Ω) = ∩
∞
k=1

< +∞},
✈í✐ p = ∞, ❦ý ❤✐Ö✉
L
∞
(Ω) = {u : Ω
➤➤
−→
▲❡❜❡s❣✉❡
C


ess sup
x∈Ω
|u(x)| < +∞},

tr ó ess sup
x
|u(x)| = inf{M > 0


m{x


|u(x)| > M} = 0}.
ớ 1 p , ý ệ
L
p
loc
() = {u :


) Z
n
+
ý ệ
D

u = D

1
1
D

2
2
. . . D

n
n
u, D

j
j
=


j
x

j
j



=

n
j=1


j

j

,


j

j

=

j
!

j
!(
j

j
)!

, ợ ọ
ột ị ủ t ế tí t s ợ t
{
j
}

=1
ột ủ ở ủ , (

j=1

j
,
j
t ở
0
j
(x) 1,x , j = 1, 2, . . . ,

j
C

0
(R
n
), supp
j

j
, j = 1, 2, . . . ,

j=1
ị ột
ị ứ ớ ủ ở {U
j
}
N
j=1
ủ t K.
ể ứ ị ý t ột số ết q s
ừ trở ý ệ : R
n
R ợ ị s
(x) :=

Ce
1
||x||
2
1
, ế||x|| < 1,
0, ế ||x|| 1,
tr ó C số s

R
n
(x)dx = 1.
ể ý r ó tí t s
✸
✭✐✮ ρ ∈ C
∞


∈ C
∞
0
(R
n
), supp ρ

=
¯
B

(0) = {x ∈ R
n


||x|| ≤ 1}, ρ

(x) ≥ 0,∀x ∈ R
n
,
✭✐✐✮

R
n
ρ

(x)dx = 1, ρ

❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ||x||✭r❛❞✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥✮✳


¯
B

(0)
f(x − y)ρ

(y)dy.
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳ ❈❤♦ f ∈ L
1
loc
(R
n
). ❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ❝ã ❝➳❝ ❦Õt ❧✉❐♥ s❛✉✳
✭✐✮ f

∈ C
∞
(R
n
).
✭✐✐✮ ◆Õ✉ supp f = K ⊂⊂ R
n
t❤× f

∈ C
∞
0
(R
n

n
), ✈➭ f

L
p
−→ f ❦❤✐  → 0
+
.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ❉Ô ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tõ ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉
D
α
x
(

R
n
f(y)ρ

(x − y)dy) =

R
n
f(y)D
α
x
ρ

(x − y)dy.
✭✐✐✮❉♦ supp f = K ♥➟♥
f

⊂ K

.
✭✐✐✐✮ ❉Ô t❤✃②
f

(x) − f(x) =

R
n

f(x − y) − f(x)

ρ(y)dy =

¯
B
1
(0)

f(x − y) − f(x)

ρ(y)dy
♥➟♥ |f

(x) − f(x)| ≤ sup
y∈
¯
B


✭✐✐✮ supp ϕ ⊂ K

,
✭✐✐✐✮ ϕ(x) = 1,∀x ∈ K

2
.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ▲✃② ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ K
3
4
χ(x) :=

1, ♥Õ✉ x ∈ K
3
4
,
0, ♥Õ✉ x ∈ K
3
4
.
❈ã χ ∈ L
1
(R
n
) ⊂ L
1
loc
(R
n
), supp χ = K

¯
B

4
(0)
χ(x − y)ρ

4
(y)dy
♥➟♥
✭✐✮ (χ ∗ ρ

4
)(x) ≤

¯
B

4
(0)
ρ

4
(y)dy = 1,
✭✐✐✮ ◆Õ✉ x ∈ K

2
t❤× (x − y) ∈ K
3
4

j=2
U
j
) ⊂⊂ U
1
♥➟♥ tå♥ t➵✐ 
1
> 0 s❛♦ ❝❤♦
W
1
⊂ W
1
+ B

1
(0) ⊂ U
1
.
❚❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸ ❝ã ♠ét ❤➭♠ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ (0, 1) ❧➭ ψ
1
∈ C
∞
0
(R
n
) s❛♦ ❝❤♦
V
1
:= W
1

∪ (∪
N
j=3
U
j
)) ⊂⊂ U
2
.
✺
❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ 
2
> 0 s❛♦ ❝❤♦
W
2
⊂ W
2
+ B

2
(0) ⊂ U
2
.
❚❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✱ ❝ã ♠ét ❤➭♠ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ (0, 1) ❧➭ ψ
2
∈ C
∞
0
(R
n
) s❛♦ ❝❤♦

n
),
✭✐✐✮ V
j
:= W
j
+ B

j
2
(0) ⊂ supp ψ
j
⊂ W
j
+ B

j
⊂ U
j
,
✭✐✐✐✮

N
j=1
ψ
j
(x) > 0,∀x ∈ ∪
N
j=1
V

n
),
✭✐✐✮ K ⊂ K + B

2
(0) ⊂ supp φ ⊂ K + B

⊂ ∪
N
j=1
V
j
,
✭✐✐✐✮0 ≤ φ(x) ≤ 1,∀x ∈ R
n
, φ(x) = 1,∀x ∈ K + B

(0).
➜➷t
ϕ
j
(x) :=
ψ
j
(x)
φ(x)


N
k=1

✭✐✐✐✮

∞
j=1
ϕ
j
(x) = 1,∀x ∈ K.
❈❤ó ý✳ ➜Ó ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ❤➭♠ ϕ
j
tõ ψ
j
t❛ ❝ã t❤Ó ❞ï♥❣ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝➳❝❤ s❛✉✿
✭✐✮ t❤ø ♥❤✃t
ϕ
j
(x) :=

φ(x)ψ
j
(x)

N
k=1
ψ
k
(x)
, ♥Õ✉ x ∈ supp φ,
0, ♥Õ✉ x ∈ supp φ,
✭✐✐✮ t❤ø ❤❛✐
ϕ

ộ tụ s {
j
}

j=1
tr C

0
() ợ ọ ộ tụ ế C

0
() ế
ó ột t t K supp
j
K, j = 1, 2, . . . ,
lim
j
sup
x
|D


j
(x) D

(x)| = 0, Z
n
+
.
ó t ết = D

k
= tì D

lim
k
(
k
+ à
k
) = + à.
tế t ò ó tể ứ ế C

(), = D

lim
j

j
tì =
D

lim
j

j
. t ế
k
(x) = 0 tì (x)
k
(x) = 0 supp(

j
ĩ
ó ột t t K supp
k
K, k = 1, 2, . . . ,
lim
k
sup
x
|D


k
(x) D

(x)| = 0, Z
n
+
,
ó
supp(D


k
) K, k = 1, 2, . . . , Z
n
+

supp(
k

(x) D

(x)|

lim
k
sup
x
|D

(
k
)(x) D

()(x)| = 0, Z
n
+
.

ớ ỗ Z
n
+
, é t D

tế tí tụ tr D() ĩ
D

D(), supp D

supp ,


C

() t tử
tế tí tụ tr D() supp P u supp u,u D(). Ptr ứ
ợ r ế t tử tế tí P tr C

0
() t tí t supp P u supp u,u
C

0
() tì P t tử
{
j
}

j=1
ợ ọ ột tr D() ế
ó ột t t K R
n
supp
j
K, j = 1, 2, . . . ,
lim
j
k
sup
xK
|D

ệ ề D() ủ
ứ {
j
}

j=1
ột tr D() tì
ó ột t t K supp D


j
K, j = 1, 2, . . . ,,
lim
j
k
sup
xK
|D


j
(x) D


k
(x)| = 0, Z
n
+
ớ ỗ {D


0
C

0
()
supp D


0
K,
lim
j
sup
x
|D


j
(x) D


0
(x)| = lim
j
sup
xK
|D


j

tr K.

s rộ D

()
ị ĩ ó r f ột s rộ tr ế f ột ế tế
tí tụ tr D().
s rộ f D

() t ộ ỗ D() ợ ết f, . s
rộ f, g D

() ợ ọ ế
f, = g, , D().
tt s rộ tr t D

().
ú ý r D

() ó tể ự ột trú t tr C, ĩ t ó
tể ị ĩ é t tế tí s
é ộ ớ f, g D

() tổ f + g ợ ị s
f + g : f + g, = f, + g, , D(),
ó f + g D

(), ĩ f + g ế tế tí tụ tr D(),
é ớ số ứ ớ C, f D


k

k
= 0 t ứ lim
k
f,
k
=
lim
k
f,
k
= 0. ề ể ì f tụ D

lim
k

k
= 0.
í ụ ớ ỗ f L
1
loc
() ợ ột s rộ s
f : f, =


f(x)(x)dx, D().
ó tể L
1
loc


0
(R) ó

+

f

(x)(x)dx = f(x)(x)|
+



+

f(x)

(x)dx = (1)

+

f(x)

(x)dx.
t ó tể ị ĩ ủ ột ột s rộ r
ị ĩ t ó tể ị ĩ f L
1
loc
(R).
ị ĩ f D

D

f, + à = (1)
||
f, D

( + à) = (1)
||
(f, D

+ àf, D

)
= D

f, + àD

f,
ớ
k
D(), k = 1, 2, . . . , D

lim
k

k
= 0 tì D

lim
k

f, D

f, D
+
f

D
+
f = D

(D

f) = D

(D

f).
ó D

= D

1
1
D

2
2
. . . D

n

t ĩ s rộ ủ s rộ f ũ D

f.
í ụ s
(t) :=

1, ế t > 0,
0, ế t 0.
ó s rộ D(t) = (t).
✶✵
❱Ý ❞ô ✺✳ ❈❤♦ f ∈ D

(Ω), ϕ ∈ C
∞
(Ω) ❝ã
D
α
(ϕf) =

β≤α

α
β

D
β
ϕD
α−β
f, tr♦♥❣ ➤ã


)!
.
❱Ý ❞ô ✻✳ ➜➷t E(x) = (2π)
−1
ln||x||, ♥Õ✉ x ∈ R
2
\{0}, ❝ß♥ ✈í✐ n ≥ 3 ➤➷t
E(x) = −
1
(n − 2)c
n
||x||
2−n
, x ∈ R
n
\{0},
✈í✐ c
n
❧➭ ❞✐Ö♥ tÝ❝❤ ♠➷t ❝➬✉ ➤➡♥ ✈Þ tr♦♥❣ tr♦♥❣ ❣✐❛♥ R
n
.
❑❤✐ ➤ã✱ ∆E = δ tr♦♥❣ D

(R
n
), ∆ = D
2
1
+ . . . D
2

j
)||x||
−n
❝❤ó ý c
2
= 2π
∆E(x) = D
2
1
E(x) + . . . D
2
n
E(x) = 0.
◆❤➢ ✈❐② ➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ E ∈ L
1
loc
(R
n
) t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ E ❦❤➯ tÝ❝❤ tr♦♥❣ ❤×♥❤ ❝➬✉ ➤➡♥
✈Þ B
1
(0). ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤✉②Ó♥ s❛♥❣ ❤Ö t♦➵ ➤é ❝➬✉ t❛ ❝ã

B
1
(0)
E(x)dx =


2π

1
0
ln(r)rdr =
r
2
ln r
2


1
0
−

1
0
r
2
dr =
−1
4
♥Õ✉ n = 2,
−

1
0
1
(n−2)
rdr =
−1
2(n−2)

x
j
||x||
−n
ϕ(x)dx + lim
→0
+

=||x||
E(x)ϕ(x)
x
j
||x||
dS
− lim
→0
+

||x||=R
E(x)ϕ(x)
x
j
||x||
dS
♠➭ ϕ(x) = 0,||x|| ≥ R, ✈➭ tr➟♥ ❜✐➟♥ { = ||x||} t❤× |E(x)ϕ(x)
x
j
||x||
| ❧➭ ✈➠ ❝ï♥❣ ❜Ð O(ln(
1

||x||
−n
ϕ(x)dx.
✶✶
♥➟♥ ➤➵♦ ❤➭♠ s✉② ré♥❣ D
j
E ❝ã t❤Ó ✈✐Õt ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
D
j
E(x) =
1
c
n
x
j
||x||
−n
.
▲➵✐ ❝ã
D
2
j
E, ϕ = − D
j
E, D
j
ϕ = − lim
→0
+


x
j
||x||
dS
+ lim
→0
+

||x||=
ϕ(x)
x
2
j
c
n
||x||
n+1
dS
♠➭ ϕ(x) = 0,||x|| ≥ R ♥➟♥
∆E, ϕ = lim
→0
+
1
c
n

n−1

||x||=
ϕ(x)dS = ϕ(0) = δ, ϕ,

❱Ý ❞ô ✽✳ ❚r♦♥❣ R
2
, ❦ý ❤✐Ö✉ (x, t) ∈ R × R ✈➭
E
1
(x, t) =
1
2
θ(t − |x|).
❑❤✐ ➤ã✱ (D
2
t
− D
2
x
)E
1
(x, t) = δ.
❚r♦♥❣ R
3
, ❦ý ❤✐Ö✉ (x, t) ∈ R
2
× R ✈➭
E
2
(x, t) =
θ(t − ||x||)
2π

t

− ∆
x
)E
3
(x, t) = δ.

r trờ ợ = R, ớ f, F D

(R), t ó F s rộ ủ
s rộ f ế s rộ ủ F f, ĩ DF = f.
ệ ề ọ s rộ f D

(R) ề ó s rộ
ứ ớ ỗ C

0
(R) t
(x) = (x) (x)

+

(t)dt
(x) =

x

(t)dt.
ó (x) C

0



+

(t)dt

F,
=


+

(t)dt

F, .
ó ế s rộ F ó s rộ DF = 0 tì F t ứ ớ
F F, tr ớ tí ị L
1
loc
(R)
ó ớ ỗ s rộ f D

(R), ó ột ọ s rộ
tr ọ s ột s rộ ó tể ể ễ ớ
tí ị
ủ s rộ
ị ĩ K , f D

(). ó s rộ f ó ữ tr K
ế ó ột số k ột số C s

+
, ➤➵♦ ❤➭♠ s✉② ré♥❣ ❝✃♣
α ❝ñ❛ ❤➭♠ ❉✐r❛❝ D
α
δ ❝ã ❝✃♣ |α|. ❚❤❐t ✈❐②✱ ❝❤ä♥ φ ∈ C
∞
0
(R
n
) s❛♦ ❝❤♦ φ(0) = 1, supp φ ⊂
B
1
(0). ➜➷t φ

(x) = x
α
φ(
x

) ❝ã
D
α
δ, φ

 = (−1)
|α|
δ, D
α
φ


| = α! > c

|β|≤k
sup
x∈R
n
|D
β
φ

(x)|,
❝ß♥ ✈í✐ k = |α| t❤×
|D
α
δ, ϕ| = |D
α
ϕ(0)| ≤ C

|β|≤k
sup
x∈R
n
|D
β
ϕ(x)|,∀ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
).

k
φ
j
(k) = 0, k = j, ✈➭ D
j
φ
j
(j) = j! ♥➟♥ f, φ
j
 = j!.
◆❤➢♥❣✱ ❞♦ ♥Õ✉ |x − j| ≥ 
j
t❤× φ
j
(x) = 0 ♥➟♥
sup
x∈R
|D
k
φ
j
(x)| ≤ c
j−k
j
, k < j,
t❛ ❝❤ä♥ 
j
> 0 s❛♦ ❝❤♦
|f, φ
j

|D
k
φ
j
(x)|
❤❛② ❝✃♣ ❝ñ❛ f ❧➭ ✈➠ ❤➵♥✳

ị ý ỗ ế tế tí f tr D() ột s rộ ỉ
tr ỗ t t K ó ột số k ột số C s
|f, | C

||k
sup
x
|D

(x)| = C
C
k
()
, C

0
(), supp K.
ứ ể ứ ề ệ ủ t ỉ ứ tí tụ ủ f t ố
ĩ ế ó ột {
j
}

j=1

= +
ó tồ t
k
C

0
(), supp K,
k

C
k
()
> 0 s |f,
k
| > k
k

C
k
()
.
ọ
k
(x) =
1
k
1
2

k

ề sử s t ó ề ứ
ự ộ tụ tr s rộ D

()
ị ĩ f
k
, f D

(), k = 1, 2, . . . . ó r {f
k
}

k=1
ộ tụ ế f
tr D

() k tế r ù ế
lim
k
f
k
, = f, , D().
ó t ết D


lim
k
f
k
= f.

(0)

1
k
(y)|(y) (0)|dy
sup
yB
1
k
(0)
|(y) (0)|
lim
k
|
1
k
, (0)| = 0 t ó ề ứ

í ụ ự ộ tụ tr D

() trù ớ sự ộ tụ ế tr L
1
loc
() ĩ ế
f
k
, f L
1
loc
(), D

D


lim
k
f
k
= f, D


lim
k
g
k
= g
tì
D


lim
k
(f
k
+ àg
k
) = f + àg.
a(.) C

() é t ớ a(.) ế f D



ũ tế tí tụ
tr D

(), ĩ
D

(f + àg) = D

f + àD

g,, à C, f, g D

(),
ế f
k
, f D

(), k = 1, 2, . . . D


lim
k
f
k
= f tì D


lim
k


(). ó ỗ


k=1
D

f
k
ũ ộ
tụ tr D

()
D




k=1
f
k

=


k=1
D

f
k

k
}

k=1

tr D

() ó lim
k
f
k
,
k
= 0.

ứ ứ ứ sử f
k
,
k
0 k , ĩ
ó ột số c > 0 ột ể ý ệ t ó tể sử
|f
k
,
k
| > c, k = 1, 2, . . . .
r ột ủ tr ể ý ệ t ó tể ó
|D



k
f
k
,
k
= +.
ự {f

k
,

k
}

k=1
q s
lim
l
f
l
,
l
= + ó ột số tự l
1
s |f
l
1
,
l
1

1
.
{f
l
,

1
}

l=1
ị ò lim
l
f
l
,
l
= + ó ột số tự
l
2
> k
1
s |f
l
,
l
| > |f
l
,

1


2
| > |f

2
,

1
| + 1.
sử t ó f

1
, . . . , f

k1
,

1
, . . . ,
k1
(k > 2, f

j
= f
l
j
, l
1
< l
2

| + k 1.
D

lim
l

l
= 0 ó ột số tự k
2
> l
k1
s
|f

j
,
l
| <
1
2
lj
, j = 1, . . . , k 2,l k
2
.
ớ ỗ j = 1, . . . , k 2, {f
l
,

j
}

t f

k
= f
l
k
,

k
=
l
k
. ó

|f

j
,

k
| <
1
2
kj
, j = 1, . . . , k 1,
|f

k
,


k
= 2
k

k

ó ột t t K s supp

k
K, k = 1, 2, . . . ,
ớ ỗ Z
n
+
, m
2
, m
1
Z
+
, m
2
> m
1
> || ó
m
2

k=m
1
sup



k=m
1
1
2
k
=
1
2
m
1
1
.
ó {

k
l=1


l
}

k=1
ộ tụ tr D(), ĩ ó ột D()
= D

lim
k
k

j=k+1
|f

k
,

j
|
k lim
l
l

j=k+1
1
2
jk
= k 1,
ĩ {f

k
, }

k=1
ị ó ũ
{f

k
}

k=1

, }

k=1

tr C ó tồ t ột tử ý ệ f, C lim
k
f
k
, = f, .
õ r t ứ ý ệ f : f, ế tế tí từ D() C. sẽ
ứ f tụ ó f = D


lim
k
f
k
.
ứ ứ sử ó ột {
k
}

k=1
tr D() D

lim
k

k
=

}

k=1
tr D

(),

D

lim
k

k
= 0,
|f

k
,
k
| > c, k = 1, 2, . . . ,
t ổ ề ó lim
k
|f

k
,
k
| = 0 r ề t ó ề sử s
f tụ
ị

1
,
tì C

0
(
2
).
ó ớ ỗ f D

(
2
) t ột s rộ tr
1
s
f|

1
, = f,

2
, D(
1
).
ế f, g D

(
2
), f = g tì f|



().
ó r f = g t x ế ó ột ở ủ x ể
f|

= g|

.
ú ý f, g D

(). ó f = g t ột ể x ế ớ ọ ở
ủ x ề ó ột D(), supp s
f, = g,
ó ột ì B
r
k
(x) r
k
0 k ột
k
C

0
()
supp
k
B
r
k
(x) s

x
K t ó ột số ữ ể x
1
, . . . , x
m
K K

m
j=1

x
j
. ị ý ị ý ị ó ột ọ ữ {
j
}
m
j=1
tr D() s
✶✾
✭✐✮ 0 ≤ ψ
j
(x) ≤ 1,∀x ∈ K, j = 1, 2, . . . ,
✭✐✐✮ supp ψ
j
⊂ ω
x
j
, j = 1, 2, . . . ,
✭✐✐✐✮



j=1
g|
ω
j
, ψ
j
ϕ
= g, ϕ,
♥➟♥ t❛ ❝ã f = g tr♦♥❣ D

(Ω).

E() s rộ
ớ t E

()
E()
ị ĩ E() ồ C

() ớ ệ
ộ tụ s
{
k
}

k=1
tr C

() ợ ọ ộ tụ ế C

ở



k
compact

k+1


k
= {x | ||x|| < k & d(x, ) >
1
k
} ó ột {
k
}

k=1
tr C

() ợ
ọ ộ tụ ế C

() tr E() ế ột tr trờ ợ s r
lim
k
sup
x
j


||j
sup
x
j
|D


k
(x) D

(x)|.
ó ột {
k
}

k=1
tr C

() ợ ọ tr E() ế ột tr
trờ ợ s r
lim
k
l
sup
x
j
|D




lim
k

k
= , E

lim
k

k
= tì lim
k
(
k
+ à
k
) = + à.
ế a(.) C

() tì é ớ a(.) ế E() t a E()
tế tí tụ
ớ ỗ Z
n
+
, é t D

tế tí tụ tr E().
C


ế
k
, C

0
(), k = 1, 2, . . . , D

lim
k

k
= tì E

lim
k

k
= . ó t ó
é ú tụ D() E().
✷✶
❱Ý ❞ô ✶✹✳ ❚r➟♥ R, ➤➷t ❤➭♠
ρ(x) =

e
1
|x|
2
−1
♥Õ✉ |x| < 1,
0 ♥Õ✉ |x| ≤ 1,

(k)
.
❱Ý ❞ô ✶✺✳ ❚r➟♥ R, ✈í✐ k ∈ N, ❞♦ [
1
3k
,
2
3k
] ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ t❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸ ❝ã ♠ét ❤➭♠
ψ
k
∈ C
∞
0
(R) ♠➭ ψ
k
(x) = 1, x ∈ [
1
3k
,
2
3k
], supp ψ
k
⊂ [0,
1
k
]. ➜➷t ϕ
k
(x) = (x−

(x)|
≤
j

l=0

j
l

k!
(k − l)!
(
1
2k
)
k−l
|D
k−l
ψ
k
(x)|,
♠➭ lim
k→∞

j
l

k!
(k−l)!
(

k−l
D
k−l
ψ
k
(x)|,
♥➟♥ ❦❤✐ x =
1
2k
❝ã |D
k
ϕ
k
(
1
2k
)| = |ψ
k
(
1
2k
)| = 1.
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✵✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ E(Ω) ❧➭ ➤ñ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ▲✃② {ϕ
k
}
∞
k=1
❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ E(Ω). ❈ã
lim

(j)
(x).
❉Ô ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ϕ ∈ C
∞
(Ω) ✈➭
lim
k→∞
sup
x∈Ω
j
|D
α
ϕ
k
(x) − D
α
ϕ(x)| = 0,∀α ∈ Z
n
+
, j = 1, 2, . . . ,
❤❛② E
−
lim
k→∞
ϕ
k
= ϕ.

s rộ E


() supp f supp = tì f, = 0.
f D

(), C

() tì supp(f) supp supp f. ế f, g E

() tì
supp(f + g) (supp f supp g) D

f E

(), supp D

f supp f, Z
n
+
.
E

() ó ố ớ é t tế tí é ớ
ột C

(), é s rộ
ớ ột f : C ợ tì ệ t ĩ t tờ
ó ý ĩ ể t ợ ề t ét í ụ s ớ = (0, 1) ò f : (0, 1) C
ợ ị s
f(x) :=

1, ế x ữ tỷ,

(x)|, C

0
().
ớ ỗ C

0
() ó supp = K t t tr t ệ ề ó
ột h C

0
() h(x) = 1,x K. ó ó

(x) = h(x)


||m
1

1
!...
n
!
D

(0)x


C



(x) =

B
2
(0)


(x y)dy ó ớ > 0 ủ ỏ


C

0
(), supp

{0} = ,

(x) = 1 ||x|| , f, = f,

.
ó
|f,

| c

||m
sup
x
|D

(0)


(x y)dy = ()
||

B
2
(0)
D

(x y)dy c


||
,
ớ ọ > 0 ủ ỏ |f,

| c

||||
|O(
m+1||
)|

||
ó 0 tì |f, | =
|f,

| 0 |f, | = 0.


() ó tể ế tế tí tụ tr E().
ừ ị ý ỗ s rộ ó t f E

() ề ó ữ tr .
ữ ó ột t t K , ột số m ột số C s

|f, | C

||m
sup
xK
|D

(x)|, C

(),
ột ế tế tí f : E() C t t tứ ó f : E() C
tụ

ứ sử f E

() ó supp f = K t t tr . ệ ề
ó ột C

0
() (x) = 1 ớ x tr ó ủ K.
t

f ế từ E() C ợ ị s

= f,
2
, E(),


f E

(), ĩ
ế , à C, , E() tì

f, + à =

f, + à

f, ,
ế E

lim
k

k
= 0 tì lim
k


f,
k
= 0,



= g, f

f
từ E

() ế tế tí tụ tr E().
g ế tế tí tụ tr E(), t f = g|
D()
. é D()
E() tụ f D

(). ỉ ò ứ supp f t t
ứ ứ ĩ sử supp f t ó tể ết
t =

k=1

k
ớ
k
ở



k
compact

k+1
supp f
k

,k k
0
.
supp
k
(\


k
)
k
(x) = 0, x K, k k
0
. ó E

lim
k

k
= 0.
ó
E

lim
k

k
= 0,
g,
k