101 102

X (I) = X (I) - A (I, J) * X (J)

END DO

END DO

RETURN

END
ngẫu nhiên
)(tm
x
mà tại từng giá trị của đối số t bằng kỳ vọng toán học
của mặt cắt tương ứng của hàm ngẫu nhiên:
)]([)( tXMtm
x
=
. (4.1)
Về ý nghĩa, kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên là một hàm trung bình
nào đó mà các hiện cụ thể biến thiên xung quanh nó (hình 4.1).
103 104

0
X(t)
t
t
m
x
(t)

Hình 4.1. Mô tả các hiện và kỳ vọng toán học
của hàm ngẫu nhiên
Phương sai của hàm ngẫu nhiên
)(tX là hàm không ngẫu nhiên
)(tD
x
, giá trị của nó tại từng giá trị t bằng phương sai của mặt cắt
tương ứng của hàm ngẫu nhiên:
)]([)( tXDtD

o
′
−
′
=
′
−=
.
Hàm tương quan chuẩn hóa:
)()(
),(
),(
tt
ttK
ttr
xx
x
x
′
′
=
′
σσ
. (4.5)
4.2. Khái niệm về hàm ngẫu nhiên dừng
Trong thực tế rất hay gặp những quá trình ngẫu nhiên diễn ra trong
thời gian gần như đồng nhất và có dạng những dao động ngẫu nhiên liên
tục xung quanh một giá trị trung bình nào đó; cả biên độ, cả đặc điểm của
những dao động ấy không có những biến đổi đáng kể với thời gian.
Những quá trình ngẫu nhiên này gọi là các quá trình ngẫu nhiên dừng.

nghiên cứu nó như quá trình ngẫu nhiên dừng. Điều kiện (4.7) là trường
hợp bộ phận của điều kiện (4.8): khi cho
tt
=
+
τ
, tức 0
=
τ
, ta có
const)(),()(
=
=
= 0
xxx
kttKtD , vậy điều kiện (6.8) là điều kiện đáng
kể duy nhất để hàm ngẫu nhiên là dừng.
Trong thực tế, thay cho hàm tương quan
)(
τ
x
K thường dùng hàm
tương quan chuẩn hóa:
x
x
x
D
K )(
)(
τ

T
. Khi
T
khá lớn, một hiện này có thể cho ta khái niệm khá rõ về tính
chất của hàm ngẫu nhiên về toàn cục. Cụ thể, nếu lấy trung bình các giá
trị của hiện này dọc theo trục hoành - theo thời gian, ta phải nhận được
giá trị gần đúng của kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên; nếu lấy trung
bình các bình phương của độ lệch so với trung bình này, ta phải nhận
được giá trị gần đúng của phương sai, v.v
Hình 4.2. Hàm ngẫu nhiên
có tính chất egođic

t
0
X
1
(t)
Hình 4.3. Hàm ngẫu nhiên
không có tính chất egođic

t
0
X
2

4.4. Xác định các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên dừng egođic
theo một hiện
Giả sử có một hiện của hàm ngẫu nhiên
)(tX
trên khoảng thời gian
đủ dài
T
:
∫
≈
T
x
dttx
T
m
0
1
)( ; (4.10)
∫
−
+
−
≈
τ
τ
τ
T
oo
x
dttxtx

t
1

Δ
t
t
2
t
3
t
4

t
n-1
t
n

Hình 4.4. Biểu diễn quan trắc về hàm ngẫu nhiên

∑∑
==
==
n
i
i
n
i
ix
tx
n

=−=−
τ

thành
mn −
đoạn bằng nhau dài tΔ
∑
−
=
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
mn
i
mi
o
i
o
x
txtx
mnn
mT
k
1

mà do máy ghi quyết định. Trong trường hợp này phải xử lý trực tiếp số
liệu quan trắc, không nên nội suy thêm những giá trị giữa các quan trắc,
vì điều đó không làm tăng độ chính xác của kết quả mà chỉ
gây phức tạp
vô ích.
4.5. Khai triển phổ hàm ngẫu nhiên dừng trên khoảng thời
gian hữu hạn
Tồn tại mối liên hệ giữa đặc điểm của hàm tương quan và cấu trúc
bên trong của quá trình ngẫu nhiên tương ứng. Tùy thuộc vào những tần
số nào và tỷ lệ ra sao giữa các tần số ấy trong thành phần của hàm ngẫu
nhiên, mà hàm tương quan của nó có dạng này hoặc dạng khác.
Nếu quá trình dao động biểu thị dưới dạng tổng của các dao động
tần số khác nhau (các thành phần điều hòa), thì
phổ của quá trình dao
động là hàm mô tả phân bố của biên độ theo các tần số khác nhau.
Đối với quá trình ngẫu nhiên cũng có thể mô tả bằng phổ. Chỉ có
khác là đối với quá trình ngẫu nhiên các biên độ dao động sẽ là các đại
lượng ngẫu nhiên. Phổ của hàm ngẫu nhiên dừng sẽ mô tả sự phân bố của
phương sai theo các tần số khác nhau.
Xét hàm ngẫu nhiên dừng
)(tX
o
quan trắc được trên khoảng ),( T0 .
Cho hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên
)(tX
o
:
109 110
)(),(
τ

. Hình 4.6. Hình dạng của một hàm tương quan điển hình

Ta biết rằng hàm chẵn trên khoảng
),( TT
−
có thể khai triển thành
chuỗi Fourier, dùng các thành phần điều hòa chẵn (các hàm cosin):
∑
∞
=
=
0
cos)(
k
kkx
Dk
τωτ
, (4.15)
trong đó
TT
k
k
π
π
ωωω
===
2

T
D
0khicos)(
1
)(
2
1
0
ττωτ
ττ
(4.16)
Hoặc, vì
)(
τ
x
k và
τ
ω
k
cos là các hàm chẵn, có thể biến đổi thành dạng
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
≠=
=
∫

ω
ω
ω
ω
ω
τ
ω
sinsincoscos)(coscos
′
+
′
=
′
−
=

(4.18)
và đặt (4.18) vào công thức (4.15):
)sinsincoscos(),(
0
∑
∞
=
′
+
′
=
′
k
kkkkkkx

)sincos()(
k
kkkk
tVtUtX
ωω
&
, (4.20)
trong đó
−
kk
VU , các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan có kỳ
vọng toán học bằng không và các phương sai như nhau đối với mỗi cặp
đại lượng ngẫu nhiên với cùng một chỉ số
k
:
kkk
DVU
=
= ][D][D . (4.21)
Các phương sai
k
D ứng với
k
khác nhau được xác định bằng các
công thức (4.17).
Như vậy, ta nhận được trên khoảng
),0( T
khai triển chuẩn của
hàm ngẫu nhiên
)(tX

=
=+==
00
22
)sin(cos)]([D
k
k
k
kkkx
DDtttXD
ωω
&
. (4.22)
Như vậy, phương sai của hàm ngẫu nhiên dừng bằng tổng phương
sai của tất cả các hàm điều hòa của khai triển phổ của nó. Công thức
(4.22) cho thấy rằng phương sai của hàm
)(tX
&
phân bố theo các tần số.
Sự phân bố của các phương sai theo các tần số có thể thể hiện bằng đồ thị
dưới dạng phổ (phổ phương sai) (hình 4.7). Rõ ràng, tổng của tất cả các
tung độ của phổ được dựng như vậy sẽ bằng phương sai của hàm ngẫu
nhiên
)(tX
&
.
Công thức khai triển phổ trên khoảng thời gian vô tận. Hàm mật độ
phổ
∫
∞

D
S
s
)(
)(
ω
ω
= . (4.25)

Hình 4.7. Đồ thị phổ phương sai của hàm ngẫu nhiên
Các hàm tương quan và mật độ phổ chuẩn hóa liên hệ với nhau cũng
bằng cặp công thức biến đổi Fourier:
113 114
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
∫
∫
∞
∞
.cos)(
2
)(
,cos)()(

⎩
⎪
⎨
⎧
>
<<−
=
.0
,01
)(
0
0
0
khi
khi
ττ
ττ
τ
τ
τρ
x

.
)cos1(
2
cos1
2
cos)(
2
)(

xx

Hình dạng của các hàm được biểu diễn trên hình 4.8.

Hình 4.8. Hình dạng của hàm tương quan và phổ theo thí dụ 4.1

Hình 4.9. Hình dạng của hàm tương quan và phổ theo thí dụ 4.2
Thí dụ 4.2:
12
1
)(
ωω
ω
−
=
x
s ,
,
2
sin
2
cos
)(
2
cos
1
cos)()(
1212
12
12

ωωτωτρ
ω
ω
ω
ω
dds
xx

(hình 4.9).
Trong toán học, hàm thời gian
)(tf
có thể biểu diễn bằng tích phân
Fourier theo công thức:
∫
∞
∞−
=
σσ
σπ
deFtf
ti2
)()( , (4.28)
trong đó
∫
∞
∞−
−
= dtetfF
ti
σπ

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
1
0
coscos
2
)(
k
kk
dt
N
kt
Bdt
N
kt
A
A
tf
ππ
, (4.30)
trong đó
∫
−
==
N
N

k
N
kti
k
eCtf
π
)(
với
dtetf
N
C
N
N
N
kti
k
∫
−
−
=
π
)(
2
1
.
Tương tự như trong công thức (4.29), đại lượng
)(
22
kk
BA + được

=
U ,
)12(
1
−
=
nfU ,
)12 ,,3,2()2(cos2
21
−=−+−=
−−
nmmnfUU
n
k
U
mmm
π
.
Trong hải dương học thịnh hành tập quán tính hàm phổ của chuỗi
thời gian thông qua biến đổi Fourier đối với hàm tự tương quan. Quan hệ
giữa hàm tự tương quan và hàm mật độ phổ cũng là cặp công thức biến
đổi Fourier:
∫
∞
∞−
−
=
ττ
π
ω

∞
=
0
cos)(
1
)(
τωττ
π
ω
dRS
. (4.36)
Khi xác định mật độ phổ theo số liệu quan trắc gián đoạn trên
khoảng thời gian hạn chế
T
(độ dài quan trắc), chúng ta có ước lượng
thống kê của hàm tương quan
)(
*
τ
x
R của chuỗi thực đo )(tX trên đoạn
m
T như sau:
∫
−
−+−
−
=
τ
τ

ước lượng
)(
*
τ
x
R
khác với hàm tự tương quan thực sự )(
τ
x
R , nên trong
thực tế phải ước lượng hàm phổ theo công thức:
∫
=
m
T
xx
dRS
0
**
cos)()(
1
)(
τωτττλ
π
ω
, (4.39)
trong đó hàm
)(
τ
λ

≤
=
m
m
T
T
τ
τ
τλ
khi0
khi1
)(

- hàm Tukey:
⎩
⎨
⎧
>
≤=+−
=
m
mm
T
TaTaa
τ
τπτ
τλ
khi0
khi25,0)/cos(221
)(

τ
ττ
τλ
khi0
khi)/(1
)(
2

- hàm Hamming:
⎩
⎨
⎧
>
≤+
=
m
mm
T
TT
τ
τπτ
τλ
khi0
khi)/cos(46,054,0
)(

Kinh nghiệm xử lý chuỗi thời gian trong hải dương học cho thấy
hàm tự tương quan trong nhiều trường hợp giảm rất chậm theo thời gian
và có tính chu kỳ rõ rệt. Khi sử dụng công thức (4.39), do không tính đến
những trị số khác không đáng kể ở đoạn

)(tX mà từ đó hàm tương quan được
xác định.
Như vậy, để có được ước lượng phổ khả dĩ hiện thực trong trường
hợp này thực sự là một quá trình khó khăn. Trong thực tế, việc tính toán
phổ là cả một quá trình thử nghiệm và đòi hỏi kinh nghiệm của người
phân tích. Theo [5] trong thực hành có thể lấy
m
T bằng khoảng T
5
1
đến
T
10
1
.
Các công thức tính hàm tương quan và hàm phổ áp dụng với chuỗi
thời gian
)(tX được quan trắc tại n điểm thời gian với độ gián đoạn t
Δ

không đổi:
mi
xxxx
in
t
R
in
j
ijj
i

−=
n
j
j
xx
n
1
2
)(
1
σ
,
−
m bước trễ cực đại của
hàm tương quan.
∑
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
m
j
ji
mij
m

với giá trị của hàm tương quan
i
R bước trễ i được biểu diễn thành
ilog . Ứng với giá trị hàm phổ
i
S chu kỳ sẽ là
i
tm
Δ
2
log
.
Thí dụ 4.3: Tính hàm tương quan và hàm phổ thực nghiệm dựa trên
số liệu quan trắc về một quá trình ngẫu nhiên. Cho chuỗi số liệu quan trắc
độ cao sóng biển ngày 6/12/1988 tại vùng biển mỏ dầu Bạch Hổ.
Trên hình 4.10 thể hiện kết quả tính các ước lượng hàm tương quan
và hàm phổ theo các công thức (4.40) và (4.41). Trục ngang của đồ thị
hàm phổ biểu diễn thành chu kỳ.
Trên hình 4.10 trục ngang của đồ thị hàm phổ bi
ểu diễn thành chu
kỳ dao động (giây). Nhận thấy rõ đỉnh phổ ứng với chu kỳ sóng gió bằng
khoảng 4,5 giây, các chu kỳ sóng lừng bằng khoảng 9,1 và 10,8 giây.
Trong phụ lục chương 4 có mã chương trình tính hàm tương quan và
phổ cho trường hợp chuỗi quan trắc với độ gián đoạn
t
Δ
không đổi theo
các công thức (4.40) và (4.41).

121 122

s2 = 0.0
r(i) = 0.0
s = 0.0
DO j = 1, n1
k = j + i
IF (x(j).NE.miss.AND.x(k).NE.miss) THEN
s = s + 1
t1 = t1 + x(j)
123 124
t2 = t2 + x(k)
s1 = s1 + x(j)*x(j)
s2 = s2 + x(k)*x(k)
r(i) = r(i) + x(j)*x(k)
ENDIF
ENDDO
t1 = t1/s
t2 = t2/s
s1 = s1/s - t1*t1
s2 = s2/s - t2*t2
r(i) = r(i)/s - t1*t2
r(i) = r(i)/sqrt(s1*s2)
ENDDO
RETURN
END

B. Mã Fortran của thủ tục tính các hàm phổ theo công thức (4.41)
SUBROUTINE TinhHP (r, lag, disp, s)
C biến −
r
lưu giá trị của hàm tương quan

ENDDO
RETURN
END