TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ THÙY DUNG

HỆ AUTONOM PHẲNG VÀ SỰ TUYẾN TÍNH HÓA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Bằng
- Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành
bài khóa luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy
cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn
thành tốt bài khóa luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời
gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho
nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính
mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Sinh viên


9

Chương 2. Hệ autonom phẳng và sự tuyến tính hóa . . . . . . . . . .

12

2.1. Mặt phẳng pha tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2. Ví dụ về mô hình dân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3. Xấp xỉ tuyến tính tại các điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4. Nghiệm tổng quát của hệ autonom tuyến tính . . . . . . . . . . .

20

2.5. Đường cong pha của hệ autonom tuyến tính . . . . . . . . . . .

29

2.6. Tỷ lệ trong lược đồ pha của hệ tuyến tính autonom . . . . . .

38



 x˙ = y
y˙ = f (x, y).

(I)

Điều này gợi ý cho ta xét hệ phương trình vi phân tổng quát hơn:

 x˙ = X(x, y)
(II)
y˙ = Y (x, y).
Hy vọng rằng, tương tự như hệ (I), chúng ta cũng có các kết quả hữu
dụng đối với hệ (II).
Thực tế hệ (II) rất phức tạp khi X, Y là các hàm phi tuyến. Do đó
chúng ta xét mô hình tuyến tính hóa của hệ (II) và chỉ ra vai trò của hệ
tuyến tính hóa đối với hệ (II) trong khi nghiên cứu các tính chất định tính.
Với lí do đó, chúng tôi chọn đề tài:
"Hệ autonom phẳng và sự tuyến tính hóa".
4


Nội dung của khóa luận gồm hai chương. Chương 1 trình bày tổng
quát với cách sử dụng mặt phẳng pha nghiên cứu phương trình vi phân
cấp 2. Chương 2 nghiên cứu về hệ autonom phẳng tổng quát thông qua
việc tuyến tính hóa, nghiên cứu lược đồ pha của hệ autonom tuyến tính.
Do là lần đầu nghiên cứu, thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế
nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để đề tài này
hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn.


=
.
dx
y

(1.3)

Mỗi đường cong nghiệm của (1.3) được gọi là một đường cong pha
của (1.1) hoặc (1.2), do đó phương trình (1.3) còn được gọi là phương
trình vi phân xác định đường cong pha.
Trên đường cong pha chúng ta đưa vào các mũi tên chỉ hướng biến
đổi của x theo thời gian t. Có thể thấy, nếu y = x˙ > 0 thì x tăng khi y tăng,
nếu y = x˙ < 0 thì x giảm khi t tăng. Do đó, hướng của đường cong pha
luôn từ trái sang phải ở nửa trên mặt phẳng và từ phải sang trái ở nửa mặt
phẳng dưới.
Mỗi điểm P(x, y) trên mặt phẳng pha tương ứng với một trạng thái
vật lý (x, x)
˙ chỉ vị trí và vận tốc của hệ mà phương trình vi phân (1.1) mô
tả, do đó P - được gọi là một trạng thái của hệ vật lý đó.
Trạng thái cân bằng của hệ vật lý là trạng thái không biến đổi theo
thời gian, tức là ta có x˙ ≡ 0. Khi đó ta cũng có x¨ ≡ 0. Do đó, trong mặt
phẳng pha, trạng thái cân bằng tương ứng với các điểm P(x, 0) với x là
nghiệm của phương trình x¨ = y˙ hay:
f (x, 0) = 0.

(1.4)

Vì thế, các điểm P(x, 0) với x thỏa mãn (1.4) được gọi là điểm cân
bằng của (1.1) hoặc (1.2).
Trong mặt phẳng pha, biểu diễn các đường cong pha cùng với hướng

+) Nếu mỗi đường cong pha trong một lân cận của điểm cân bằng
đều có hướng về điểm cân bằng thì đó là một điểm cân bằng ổn định.
+) Nếu dịch trạng thái cân bằng một chút nó có thể thuộc vào đường
cong pha có hướng đi xa khỏi điểm cân bằng thì đó là điểm cân bằng
không ổn định...

8


1.2. Ví dụ về phương trình con lắc đơn trong
mặt phẳng pha

Hình 1.1: Con lắc đơn với độ dịch chuyển góc x.
Con lắc đơn Hình 1.1 bao gồm một phần tử P khối lượng m được treo
vào một điểm cố định O bởi một sợi dây hay thanh mảnh có độ dài a, dao
động trong mặt phẳng đứng. Nếu bỏ qua ma sát và sức cản thì phương
trình chuyển động của con lắc được viết là:
x¨ + ω 2 sinx = 0,

(1.6)

trong đó, x là góc nghiêng của dây so với phương thẳng đứng, g là gia tốc
trọng trường và ω 2 = g/a.
Đặt x˙ = y ta có hệ phương trình vi phân cấp một:


x˙ = y
y˙ = −ω 2 sinx.
Phương trình xác định đường cong pha là:
dy



có y = x˙ không đổi dấu nên x liên tục tăng (hoặc giảm) theo t. Điều đó
ứng với chuyển động quay tít của con lắc.

11


Chương 2

Hệ autonom phẳng và sự
tuyến tính hóa
2.1. Mặt phẳng pha tổng quát
Xét hệ autonom cấp một tổng quát:
x˙ = X(x, y), y˙ = Y (x, y),

(2.1)

với các hàm X(x, y),Y (x, y) đủ trơn.
Hệ này được gọi là autonom vì biến thời gian t không xuất hiện ở vế
phải của (2.1).
Các nghiệm x(t), y(t) của (2.1) được biểu diễn trên một mặt phẳng
với hệ tọa độ Đề-các x, y.
Khi t tăng (x(t), y(t)) vạch ra một đường cong định hướng trong mặt
12


phẳng gọi là đường cong pha.
Dạng thích hợp cho điều kiện ban đầu của (2.1) là:
x = x0 , y = y0 tại t = t0 ,


13


Tuy nhiên, phương trình (2.3) có thể có điểm kì dị tại đó X(x, y) = 0.
Các điểm mà cả X(x, y), Y (x, y) đều bằng không:
X(x, y) = 0, Y (x, y) = 0

(2.4)

được gọi là điểm cân bằng.
Nếu (x1 , y1 ) là một nghiệm của (2.4) thì x(t) = x1 , y(t) = y1 là một
nghiệm hằng của (2.1) và xác định đường cong pha suy biến. Điểm đó
còn được gọi là điểm cố định.
Do dy/dx = Y (x, y)/X(x, y) là phương trình vi phân của đường cong
pha, nên các đường cong pha cắt đường cong được xác định bởi phương
trình Y (x, y) = cX(x, y) sẽ có cùng độ dốc (hệ số góc) c. Các đường
cong Y = cX được gọi là các đường đẳng tà (có hệ số góc không đổi).
Hai đường đẳng tà đặc biệt Y (x, y) = 0 (đường có độ dốc bằng 0) và
X(x, y) = 0 (đường có độ dốc vô hạn) là các đường rất hữu ích trong
phác họa lược đồ pha. Các điểm giao của các đường đẳng tà là các điểm
cân bằng. Giữa các đường đẳng tà, X(x, y) và Y (x, y) phải có một dấu.
Chẳng hạn, ở trong một miền của mặt phẳng (x, y) cùng với X(x, y) > 0
và Y (x, y) > 0, các đường cong pha phải có độ dốc dương. Điều này cũng
xảy ra nếu X(x, y) < 0 và Y (x, y) < 0. Tương tự, nếu X(x, y) và Y (x, y)
trái dấu nhau trong một miền thì đường cong pha phải có độ dốc âm.
Ví dụ 2.1. Xác định vị trí các điểm cân bằng và phác họa các đường
cong pha của hệ:
x˙ = y(1 − x2 ), y˙ = −x(1 − y2 ).
Điểm cân bằng xảy ra tại điểm là nghiệm của hệ:

(A là hằng số).
Chú ý rằng các nghiệm đặc biệt x = ±1 và y = ±1 ứng với trường hợp
A = 0. Những nghiệm này và vị trí của các điểm cân bằng giúp chúng ta
vẽ lược đồ pha (Hình 2.1) các đường cong cắt trục x = 0 với độ dốc bằng
0 và các đường cong pha cắt trục y = 0 với độ dốc vô hạn tại các điểm
cắt.
Hướng của đường cong pha có thể nhận được nhờ tính liên tục: bắt
đầu tại điểm (0, 1), ta có x˙ > 0 nên đường cong pha sẽ chạy từ trái sang
phải.

2.2. Ví dụ về mô hình dân số
Ví dụ 2.2. Bài toán về loài săn mồi-con mồi (Mô hình của Volterra)
15


Hình 2.1: Lược đồ pha cho x˙ = y(1 − x2 ); y˙ = −x(1 − y2 ); các đường nét đứt là
đường đẳng tà với độ dốc bằng 0 và độ dốc vô hạn.

Hình 2.2: Lược đồ pha cho (a): x˙ = y ,y˙ = −x.

(b): x˙ = xy ,y˙ = −x2 .

Trong một hồ cá có 2 loài cá: A (con mồi) ăn thực vật và giả thiết là
có nguồn cung dồi dào và B (loài săn mồi) ăn A. Chúng ta sẽ xây dựng
một mô hình thô cho sự tương tác của A và B.
Gọi x(t) là số lượng của loài A và y(t) là số lượng của loài B. Chúng
16


ta giả sử rằng A tương đối sống lâu và sinh sản rất nhanh nếu còn lại một

X(x, y) = ax − cxy = 0, Y (x, y) = −by + xyd = 0,
17


đó là tại (0, 0) và (b/d, a/c). Đường cong pha được cho bởi:
dy Y
(−b + xd)y
= =
,
dx X
(a − cy)x
là một phương trình tách biến và ta có:
(a − cy)
.dy =
y

(−b + xd)
.dx
x

hay:
alogc y + blogc x − cd = C,

(2.7)

trong đó C là một hằng số bất kì, gọi là tham số của hệ. Viết (2.7) dưới
dạng (alogc y − cy) + (blogc x − xd) = C, là một họ các đường cong đóng
quanh điểm cân bằng (b/d, a/c).
Hình 2.3 biểu diễn các đường cong trong một trường hợp cụ thể.
Hướng trên đường cong pha nhận được từ dấu của x˙ tại một điểm bất

độ (nhờ một phép tịnh tiến, nếu cần thiết). Khi đó:
X(0, 0) = Y (0, 0) = 0
và theo khai triển Taylor ta có:
X(x, y) = ax + by + P(x, y), Y (x, y) = cx + dy + Q(x, y),
19


trong đó:
a=

∂X
∂X
∂Y
∂Y
(0, 0), b =
(0, 0), c =
(0, 0), d =
(0, 0)
∂x
∂y
∂x
∂y

và P(x, y), Q(x, y) là các vô cùng bé bậc cao hơn

(2.9)

x2 + y2 khi (x, y) →

(0, 0). Xấp xỉ tuyến tính của (2.9) trong một lân cận của gốc tọa độ là hệ:

(ii)

Để có được những nghiệm cơ bản, ta thế (i) vào hệ phương trình vi phân,
giản ước eλt và sắp xếp lại các số hạng, ta được một hệ phương trình đại
số 3 ẩn λ , r, s:
(1 − λ )r − 2s = 0, −3r + (2 − λ )s = 0.

(iii)

Coi (iii) là hệ phương trình tuyến tính đối với r và s, thì định thức
các hệ số của hệ bằng 0, vì nếu không thì hệ chỉ có nghiệm duy nhất là
r = 0, s = 0. Vì vậy ta cần:


1−λ
−2
 = λ 2 − 3λ − 4 = (λ − 4) (λ + 1) = 0.
det 
−3 2 − λ
Có hai giá trị của λ là:
λ = λ1 = 4 và λ = λ2 = −1.

(iv)

Với mỗi giá trị lần lượt ta đi giải (iii) cho r và s:
Trường hợp: λ = λ1 = 4. Phương trình (iii) trở thành:
−3λ − 2s = 0, −3r − 2s = 0.

(iv)


Tiến hành đúng như trong Ví dụ 2.6. Thay thế:
x = reλt , y = seλt
vào các phương trình vi phân, có:
(1 − λ )r + s = 0, −5r − (3 + λ )s = 0.
22

(i)


Để tồn tại nghiệm (r, s) khác không thì:


1−λ
1
 = λ 2 + 2λ + 2 = 0.
det 
−5 −3 − λ

(ii)

Do đó các giá trị của λ là:
λ1 = −1 + i, λ2 = −1 − i.

(iii)

Đây là những số phức, và do (ii) là phương trình bậc hai nên chúng
là hai số phức liên hợp:
λ1 = λ¯ 2 .

(iv)

x(t) = 2ReC1 e(−1+i)t ,
y(t) = 2ReC1 (−2 + i)e(−1+i)t .
Bằng cách đặt:
2C1 = c1 + ic2 ,
trong đó c1 và c2 là số thực tùy ý không đổi, ta được nghiệm thực tổng
quát có dạng:
x(t) = e−t (c1 cost − c2 sint),
y(t) = −e−t {(2c1 + c2 )cost + (c1 − 2c2 )sint} .
Trường hợp tổng quát, ta đặt:


x(t)
,
x(t) = 
y(t)


x(t)
˙
.
x˙ (t) = 
y(t)
˙

24

Trích đoạn Tỷ lệ trong lược đồ pha của hệ tuyến tính autonom

---