Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong Toán học nói chung và trong chương trình Toán ở nhà trường
phổ thông nói riêng, chủ đề về bất phương trình có một vị trí rất quan trọng.
Theo Ăngghen thì Toán học nghiên cứu mối quan hệ số lượng và hình học
không gian của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa
hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ bản. Điều này nói lên vai trò quan
trọng của phương trình và bất phương trình trong Toán học. Kiến thức và kỹ
năng về chủ đề bất phương trình có mặt xuyên suốt trong chương trình môn
toán ở nhà trường phổ thông, đặc biệt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng.
Trong chương trình Đại số lớp 10, các em học sinh đã được tiếp cận
với các dạng bất phương trình cơ bản cũng như cách giải những dạng bất
phương trình cơ bản đó. Tuy nhiên trong thực tế, các bài toán giải bất phương
trình rất phong phú và đa dạng đòi hỏi các em phải vận dụng những kiến thức,
kỹ năng một cách tổng hợp. Trong các đề thi đại học, cao đẳng các em học
sinh có thể gặp một lớp các bài toán về bất phương trình mà chỉ có một số ít
học sinh biết phương pháp giải nhưng trình bày còn chưa logic, chưa gọn
gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc phải một số sai lầm không đáng có. Vì vậy,
bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về bất phương trình một cách
đầy đủ theo quy định của chương trình thì việc rèn luyện kỹ năng giải bất
phương trình cho học sinh cũng có một ý nghĩa rất quan trọng trong việc nâng
cao chất lượng dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông.
Với mong muốn giúp các em học sinh có được những kỹ năng, kỹ xảo
cần thiết khi giải các bài toán về bất phương trình cũng như giúp bản thân có
được kiến thức, kỹ năng vững vàng hơn về việc dạy học phần bất phương
trình sau khi ra trường, với những lý do trên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ

6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khóa luận gồm
có hai chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận.
Chương 2. Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về bất phương trình
cho học sinh lớp 10.

NguyÔn Linh Chi

2

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Khái niệm
1.1.1. Bài toán
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một
cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định
trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài
toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Như vậy bài toán có thể đồng
nhất với một số quan điểm khác nhau về bài toán: Đề toán, bài tập…
1.1.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán
Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp

kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức
độ nào đó nắm vững môn học. Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán? Đó
là biết giải toán”
1.2.1. Mục đích
Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là: Phát triển
ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri
thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành
công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động
cũng như trong học tập hiện nay và sau này. Làm cho học sinh nắm được một
cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán
học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận
dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao
động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác.
1.2.2. Vai trò
Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệ
hiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác,
giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các-Mác nói “Một
khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của
toán học”.
Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí
tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa,... Rèn luyện
những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: Tính cẩn thận, chính
xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo, ...

NguyÔn Linh Chi

4

Líp K35E To¸n


- Chức năng giáo dục.
- Chức năng phát triển.
- Chức năng kiểm tra.

NguyÔn Linh Chi

5

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học.
- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học
sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình
dạy học.
- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế
giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niền tin và phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy
cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê hình thành những
phẩm chất của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy
và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến
thức và trình độ phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc
vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của

- Bài toán không có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của
nó không theo một angorit nào hoặc không mang tính chất angorit nào.
1.4.3. Phân loại theo nội dung bài toán
Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật
ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành
các loại khác nhau như sau:
Bài toán số học.
Bài toán đại số.
Bài toán hình học.
1.4.4. Phân loại theo ý nghĩa giải toán
Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán:
Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào
đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có hai loại bài toán như sau:
- Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay
sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kỹ năng nào đó.
- Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống
các kiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư
duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
1.5. Phương pháp tìm lời giải của một bài toán
Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc
không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất
cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài
NguyÔn Linh Chi

7

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải
hợp lí nhất.

NguyÔn Linh Chi

8

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

1.5.3. Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
1.5.4. Bước 4: Kiểm tra và Nghiên cứu sâu lời giải
- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải
một loại bài toán nào đó.
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.6. Những kỹ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài tập toán
1.6.1. Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải
các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh). Để thực hiện tốt môn toán ở
trong trường trung học phổ thông, một trong những yêu cầu được đặt ra là: Về
tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức
có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng. Chẳng hạn: Tri thức và

yếu là kỹ năng học tập và kỹ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:
- Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải
quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại.
- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến
thức tương ứng.
Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực
tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:
i, Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên
suốt chương trình phổ thông. Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau:
- Các hệ thống số.
- Hàm số và ánh xạ.
- Phương trình và bất phương trình.
- Định nghĩa và chứng minh toán học.
- Ứng dụng toán học.
ii, Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:
- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian.
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
iii, Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán, gắn với
việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình, vẽ đồ thị.
4i, Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính
cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp.

NguyÔn Linh Chi

10

Líp K35E To¸n


Việc trình bày hệ thống đầy đủ hai loại bất phương trình trên có rất
nhiều ích lợi trong việc giải toán lớp 10 nói chung và là công cụ để giải toán
chủ đề bất phương trình sau này: Giải bất phương trình bậc cao, bất phương
trình vô tỷ, bất phương trình lượng giác, bất phương trình mũ, logarit, bất
NguyÔn Linh Chi

11

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

phương trình quy về bậc nhất, bậc hai và một số loại toán khác như chứng
minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, khảo sát hàm số, …
2.1.2. Mục đích yêu cầu dạy học bất phương trình ở lớp 10.
Chính vì tầm quan trọng của chủ đề bất phương trình nêu trên mà việc
dạy học bất phương trình ở lớp 10 cần đạt được mục đích yêu cầu sau đây:
Học sinh nắm vững được cách giải bất phương trình bậc nhất, nắm vững định
lý về dấu tam thức bậc hai và áp dụng nó để giải bất phương trình bậc hai, bất
phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, bất phương trình
chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
thức bậc hai. Cụ thể:
- Về kiến thức: Học sinh nắm được khái niệm các dạng bất phương
trình và nghiệm của các bất phương trình đó, cách giải mỗi dạng bất phương
trình đồng thời củng cố đào sâu những kiến thức liên quan như định lý dấu
tam thức bậc hai, cách biểu diễn tập hợp, cũng như logic toán.
- Về kỹ năng: Có kỹ năng giải từng dạng bất phương trình theo thuật

các số đã cho; a  0 .
* Bất phương trình tương đương
Định nghĩa:
Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng
một tập hợp nghiệm.
* Các phép biến đổi tương đương
Định lí 1:
Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một bất phương
trình thì được một bất phương trình mới tương đương.
Hệ quả 1:
Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất phương trình thì
được một bất phương trình tương đương.
Hệ quả 2:
Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó thì được
một bất phương trình tương đương.
Định lí 2 :
+ Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì
được một bất phương trình tuơng đương.
+ Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm và đổi
chiều của bất phương trình thì được một bất phương đương.
Các phép biến đổi tương đương của phương trình, bất phương trình
nhằm đưa các phương trình và bất phương ban đầu về phương trình và bất
phương trình đã biết cách giải.

NguyÔn Linh Chi

13

Líp K35E To¸n




cùng dấu với a

* Phương pháp giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn:
Giải và biện luận bất phương trình: ax  b  0
Phương trình được viết lại dưới dạng: ax  b

(1)

+ Nếu a  0 thì: (1)  0  b  b  0
+ Nếu b  0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  R .
+Nếu b  0 thì bất phương trình vô nghiệm.

b
+ Nếu a  0 thì (1)  x   . Vậy tập nghiệm của bất phương trình
a

b

là T   ;   .
a

b
+ Nếu a  0 thì: (1)  x   . Vậy tập nghiệm của bất phương trình
a

 b

là T    ;   .


Đến bước này sẽ có nhiều em học sinh sẽ vội vàng suy ra x  (m  1)
bằng cách: Chia cả 2 vế cho  m  1 mà quên mất điều kiện để một phép chia
có nghĩa là số chia phải khác 0 và quy tắc chia hai vế của bất phương trình
cho một số âm là phải đổi chiều bất phương trình.
Vậy giáo viên phải hướng dẫn các em phân chia các trường hợp của

 m  1

là:  m  1  0 ;  m  1  0 ;  m  1  0 và học sinh có thể giải tiếp

như sau :
+ Nếu m  1 thì nghiệm của bất phương trình là x  m  1
+ Nếu m  1 thì nghiệm của bất phương trình là x  m  1
+ Nếu m  1 thì bất phương trình có dạng 0 x  0 nghiệm đúng với mọi
giá trị của x .
2.2.1.2. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
* Định nghĩa:
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x; y là bất phương trình có một trong
các dạng: ax  by  c ; ax  by  c ; ax  by  c ; ax  by  c (trong đó a, b, c là
những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số).
Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất
phương trình ax + by < c.
Nghiệm của các bất phương trình dạng ax + by > c, ax + by ≤ c,
ax + by ≥ c cũng được định nghĩa tương tự.

NguyÔn Linh Chi

15


chính là miền nghiệm của bất phương trình đó.
Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c, ta có
quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm)
như sau:
NguyÔn Linh Chi

16

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Bước 1. Vẽ đường
ờng thẳng (d):
( ax  by  c .
Bước 2. Xét một
ột điểm M(x0; y0) không nằm trên (d).
Nếu ax0 + by0 < c thì nửa
ửa mặt phẳng (không kể bờ (d))
( chứa điểm M là
miền
ền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.
Nếu ax0 + by0 > c thì nửa
ửa mặt phẳng (không kể bờ (d))
(
không chứa
điểm M là miền

Nghiệm của bất phương trình là nửa mặtt ph
phẳng bờ  không
chứa điểm O(0;0).
NguyÔn Linh Chi

17

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

2.2.2. Bất phương trình bậc hai
* Định nghĩa:
Bất phương trình bậc hai một ẩn (ẩn x) là bất phương trình có một
trong các dạng f ( x)  0; f ( x)  0; f ( x)  0; f ( x)  0 , trong đó f ( x) là một tam
thức bậc hai.
* Phương pháp giải bất phương trình bậc hai:
Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức
bậc hai.
* Khái niệm về tam thức bậc hai:
Tam thức bậc hai là một biểu thức có dạng: ax 2  bx  c với a  0
Ví dụ: 3 x 2  4 x  7 ; 2 x 2  5 x  10 ; mx 2  x  m là những tam thức bậc hai
* Chú ý: Cần phân biệt rõ hai khái niệm tam thức bậc hai và phương trình bậc
hai: ax 2  bx  c; a  0 (tam thức bậc hai).
ax 2  bx  c  0; a  0 (phương trình bậc hai).

* Xét dấu tam thức bậc hai:

2

b 
 
Ta có: f ( x)  ax  bx  c  a  x    2 
2a  4a 

2

(1)

b
c

f ( x)  ax 2  bx  c  a  x2  x  
a
a

2
2
 2
b
 b   b  
 a x  2 x       

2a
 2a   2a  

2


f ( x)  0 khi x  

b
2a

2

b 
 
+ Nếu   0 : f ( x)  0  a  x    2   0
2a  4a 


2

2

b 

b 

b  a


x   2 0x   2  x
2a  4a
2a  4a
2a





Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Xét dấu:
x



x1

x  x1



x  x2



 x  x1  x  x2 

+

f ( x)

x2

0

trình bậc hai: ax 2  bx  c  0( 0)( a  0) ta làm như sau:
Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái ax 2  bx  c
Chọn những giá trị x làm cho vế trái âm hay dương tùy theo chiều của
bất phương trình.
Chú ý: Có khi ta phải giải những bất phương trình dạng: ax 2  bx  c  0

( 0) ta bổ sung vào tập hợp nghiệm của bất phương trình ax 2  bx  c  0
( 0) các nghiệm của phương trình ax 2  bx  c  0
* Ví

dụ: Giải và biện luận bất phương trình: 12 x 2  2( m  3) x  m  0

Hướng dẫn:
Để giải được bài toán này học sinh cần phải đi xét dấu của tam thức bậc
hai f ( x )  12 x 2  2( m  3) x  m
2

Ta có a  12 và    m  3   0; m
Khi đó ta đi xét các trường hợp của 
Trường hợp 1: Nếu    0  m  3

NguyÔn Linh Chi

20

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp







f ( x)

+

1
2




0

m
6
0



+

Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình là:
 1 m
T   ; 
 2 6 .


+

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình là:

 m 1
T   ; 
2.
 6
Kết luận:

 1
 
Với m = 3, bất phương trình có tập nghiệm là T = 
 2
 1 m
 ;
Với m 3, bất phương trình có tập nghiệm T = 
 6 2
2.2.3. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.


Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

 

  x  3   x  3 x  9   x  1  x
3

 27 x 3  1 2 x  3  x 2  0
2

2

(1)



 x  1  3  x  x  1  0

2

  x  3 x  1  3  x   0
2

2

   x  3  x  1  0
  x  3

2

f ( x)

+



3

0



0



+

0





0

+

Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình (*) là
T   1;3


NguyÔn Linh Chi

23

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Những sai lầm thường mắc phải:
+ Ngoài những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải khi đi xét dấu của
biểu thức f(x) học sinh có thể sẽ mắc phải sai lầm là biến đổi bất phương trình
(2) bằng cách nhân chéo biểu thức ở 2 vế chẳng hạn như:
Điều kiện: x  2

(2)  x2  3x  1   x(2  x)
Đây là sai lầm rất hay gặp phải do học sinh chưa nắm được các phép
biến đổi tương đương của bất phương trình.
+ Học sinh không tìm điều kiện của bất phương trình và khi kết luận
nghiệm của bất phương trình, học sinh lấy cả những giá trị mà tại đó bất
phương trình không tồn tại.
Hướng dẫn:
Học sinh có thể biến đổi bất phương trình về dạng như sau:

x 2  3x  1
x 2  3x  1
 x 

0

+

+
+



0

+




x 2  3x  1
1 
  x có nghiệm là x   ; 2  .
Kết luận: Vậy bất phương trình
2 x
5 
2.2.4. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Với dạng toán này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấu
giá trị tuyệt đối.
NguyÔn Linh Chi

24

Líp K35E To¸n

giá trị tuyệt đối được gọi là phương pháp chia khoảng. Ngoài ra, trong một số
trường hợp , có thể giải nhanh hơn cách dùng phương pháp chia khoảng nói
trên bởi các biến đổi tương đương sau :
* Dạng 1:
Với a là số dương , ta có: f ( x )  a   a  f ( x )  a
f ( x)  g ( x)   g ( x)  f ( x)  g ( x)

NguyÔn Linh Chi

25

Líp K35E To¸n