LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã nhận
được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán – Trường ĐHSPHN 2,
các thầy cô đã tận tình dạy dỗ em trong 4 năm học vừa qua và đã tạo điều kiện
để em hoàn thành đề tài này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới GVC, Ths. Phùng Đức
Thắng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá
trình thực hiện đề tài nghiên cứu này.
Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên đề tài này không tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý của thầy cô và các
bạn để đề tài nghiên cứu được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên
Nguyễn Thị Luyến

Nguyễn Thị Luyến

1

K32 CN - Toán


MỤC LỤC
Trang
Mở đầu

4

đại số và giải tích

16

2.1. Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức.

16

2.1.1. Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển.

16

2.1.2. Chứng minh các bất đẳng thức đại số.

22

2.1.3. Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác.

27

2.2. Sử dụng hàm lồi tím giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

34

2.3. Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình và bất phương
trình có tham số.

40

Kết luận

Nguyễn Thị Luyến

3

K32 CN - Toán


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích lồi là một môn học nghiên cứu các tính chất của tập hợp lồi và
hàm lồi. Các kết quả của giải tích lồi được áp dụng trong nhiều lĩnh vực.
Trong chương trình toán ở nhà trường phổ thông, các em học sinh đã
được làm quen với khái niệm “lồi” ngay từ cấp 2 khi học môn Hình học. Hầu
hết chương trình Hình học ở bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông đều
giới hạn trong các hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình
tròn,…Trong đại số, tính lồi, lõm của hàm số được giảng dạy trong các chương
trình học về hàm số bậc hai và dùng để khảo sát hàm số.
Sử dụng các kết quả cơ bản về hàm lồi cho phép chúng ta thành công
trong việc giải nhiều lớp các bài toán của đại số và giải tích sơ cấp như: Chứng
minh các bất đẳng thức, giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số cũng như biện luận một số lớp của các hệ phương trình và bất phương
trình chứa tham số.
Với lý do trên em đã chọn đề tài “Ứng dụng giải tích lồi giải các bài
toán đại số và giải tích”, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, GVC, Ths. Phùng
Đức Thắng.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy
logic đặc thù của bộ môn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán đại số và giải

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN
1.1. Tập hợp lồi
1.1.1. Định nghĩa tập hợp lồi
Tập D được gọi là tập hợp lồi nếu như với mọi hai phần tử a  D, b  D,
với mọi số   0    1 thì phần tử  a  1    b cũng thuộc tập hợp D .
1.1.2. Bài tập
Bài 1. Cho A và B là các tập hợp lồi. Chứng minh rằng A  B cũng là tập hợp
lồi.
Lời giải
Lấy a,b tùy ý thuộc A  B , và  là số thực tùy ý sao cho 0    1.
Do A, B là hai tập lồi, mà a, b  A; a, b  B nên

 a  1    b  A

 a  1    b  B.
Từ đó  a  1    b  A  B . Vậy A  B là tập lồi.
Bài 2. Cho A và B là các tập hợp lồi. Chứng minh rằng A  B cũng là tập hợp
lồi.
Lời giải
Đặt C  A  B , thì C  c : c  a  b với a  A, b  B .
Lấy c1 , c2 tùy ý thuộc C , và 0    1 là số thực tùy ý.
Vì

c1  C  c1  a1  b1 với a1  A, b1  B
c2  C  c2  a2  b2 với a2  A, b2  B.
Từ đó

c1  1    c2    a1  b1   1    a2  b2 


tùy ý sao cho 0    1 .
Ta có

ak x1  bk y1  ck  0 và ak x2  bk y2  ck  0 với mọi k  1, n . Từ đó suy ra
với mọi k  1, n cũng có

 (ak x1  bk y1  ck )  1    ( ak x2  bk y2  ck )  0 ,
hay

ak  x1  1    x2   bk  y1  1    y2   ck  0.

(1)

Bất đẳng thức (1) chứng tỏ rằng với mọi k  1, n thì phần tử

  x1 ; y1   1    x2 ; y2   D .
Theo định nghĩa D là tập lồi trong  2 .
Ta có điều cần chứng minh.

Nguyễn Thị Luyến

7

K32 CN - Toán


1.2. Hàm số
1.2.1. Định nghĩa hàm lồi
Giả sử D là tập hợp lồi trong  1 . Hàm số f : D   1 được gọi là hàm
lồi trên D , nếu như với mọi x1, x2  D, với mọi   0    1 , thì

n

(1)

i 1

Vì fi : D   1 là các hàm lồi với i  1, n , nên ta có với mọi i  1, n , thì

fi   x1  1    x2    fi  x1   1    fi ( x2 ) .
Do

(2)

i  0,  i  1, n nên từ (2) ta có

i fi   x1  1    x2   i  fi  x1   i 1    fi ( x2 ) , i = 1, n .
Nguyễn Thị Luyến

8

K32 CN - Toán


Từ đó đi đến

 i fi   x1  1    x2     i fi  x1   1     i fi  x2 
n

n


Lấy

 x1 , y1 

 epi f ;  x2 , y2   epi f và  (0    1) .

Theo định nghĩa của tập hợp epi f , ta có

x1, x2  D và f  x1   y1, f  x2   y2 .

(1)

Do f là hàm lồi trên D , và do 0    1 , nên từ (1) ta có

f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2    y1  1    y2 .

(2)

Do x1 , x2  D , mà D là tập lồi nên

 x1  1    x2  D .
Kết hợp với (2) suy ra điểm   x1 ; y1   1    x2 ; y2   epi f , tức là epi f là
tập lồi.

Nguyễn Thị Luyến

9

K32 CN - Toán







  x1; f  x1   + 1    x2 ; f  x2    epi f











(4)

 

(5)



  x1  1   x2 ;  f ( x1 )  1   f ( x2 )  epi f .
Từ (4) và theo định nghĩa của epi f , suy ra




i 1



  i f  xi .
n

i 1

(1)

Bất đẳng thức (1) gọi là bất đẳng thức Jen-xen.
Chứng minh
1) Giả sử (1) thỏa mãn, khi đó ứng với n  2 , theo định nghĩa f là hàm
lồi trên D .
2) Bây giờ giả sử f là hàm lồi trên D . Ta phải chứng minh (1) là đúng.
Điều này được chứng minh bằng quy nạp như sau:
Nguyễn Thị Luyến

10

K32 CN - Toán


- Với n  1 , thì (1) hiển nhiên đúng.
- Với n  2 , theo định nghĩa hàm lồi thì (1) cũng đúng.
- Xét với n  k  1
Lấy x1 , x2 ,..., xk , xk 1  D , lấy i  0 , với mọi   1, k  1 mà
k 1


Ta viết lại (2) dưới dạng sau
k 1

 

 i xi   i xi  1     k xk  k 1 xk 1  .
i 1
i 1
1 
1 


k 1

Do xk , xk 1  D ;

k

1 

(3)

k 1
 0 và
1 

 0;
k
1 



Nguyễn Thị Luyến

11

K32 CN - Toán






f 1 x1  2 x2  ...  k 1 xk 1  (1   ) x 



 1 f  x1   2 f  x2   ...  k 1 f  xk 1   (1   ) f x .

(5)

Do f là hàm lồi, nên


k

 

f x  f  k xk  k 1 xk 1  
f ( xk )  k 1 f ( xk 1 ).
1 


1 n
 x1  x2  ...  xn 
f
   f  xi .
n
n i 1


Tính chất 4. (Điều kiện đủ cho tính lồi của hàm số)
Cho f  x  là hàm số xác định trên  a; b và có đạo hàm cấp hai tại mọi
điểm x   a; b  . Nếu như f ''  x  > 0 với mọi x   a; b  , thì f  x  là hàm lồi
trên  a; b .
Chứng minh
Lấy x1 , x2 tùy ý thuộc  a; b và có thể giả sử a  x1  x2  b.
Lấy 1  0 , 2  0 sao cho 1  2  1.
Ta phải chứng minh

f  1x1  2 x2   1 f ( x1 )  2 f ( x2 ).

Nguyễn Thị Luyến

12

(1)

K32 CN - Toán


Rõ ràng (1) đúng nếu như có một trong hai số 1 hoặc 2 bằng 0. Vì thế ta có

 x2  1x1  2 x2  f '2 

(4)

x2  1 x1  2 x2  1  x2  x1  , vì thế từ (4) suy ra
f '  2  

f ( x2 )  f  1x1  2 x2 
1  x2  x1 

(5)

Vì f " x   0, x   a; b  , do đó f ’ x  là hàm đồng biến trên  a; b .
Do 1   2 nên f '(1 )  f '( 2 ) .

(6)

Từ (3), (5), (6) suy ra

f ( x2 )  f  1 x1  2 x2 
f  1x1  2 x2   f ( x1 )

.
1  x2  x1 
2  x2  x1 

(7)

Do x2  x1  0 ; 1  0 ; 2  0 . Nên từ (7) suy ra


tại x0 .
Chứng minh
Vì f đạt cực tiểu địa phương tại x0  D , nên tồn tại lân cận V của x0
sao cho

f  x   f  x0  ,  x  D  V .

(1)

Giả thiết phản chứng f đạt cực tiểu toàn cục trên D tại x1  D , ngoài ra

f  x1   f  x0 .

(2)

Với mọi   0    1 , do tính lồi của f , ta có

f   x1  (1   ) x0    f ( x1 )  (1   ) f  x0 .

(3)

Thay (2) vào (3), ta có

f   x1  (1   ) x0    f ( x0 )  (1   ) f  x0  ,
hay

f   x1  (1   ) x0   f  x0 .

(4)


2.1. Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức
Một trong những ứng dụng của hàm lồi là chứng minh các bất đẳng thức
sơ cấp. Lược dồ chung của phương pháp này như sau: Trước hết xây dựng một
hàm số tương thích với các biểu thức trong bất đẳng thức cần chứng minh. Sau
đó dùng các tiêu chuẩn để chứng minh hàm số vừa xây dựng là hàm lồi (hoặc
lõm), và cuối cùng áp dụng bất đẳng thức Jen-xen để đưa ra lời giải.
2.1.1. Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển
Lớp các bất đẳng thức kinh điển đóng một vai trò quan trọng trong lí
thuyết bất đẳng thức. Các bất đẳng thức kinh điển thông dụng hay gặp nhất là:
bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Buniakowski, bất đẳng thức Schwartz, bất
đẳng thức Min-kop-xki.
Bất đẳng thức kinh điển quan trọng ở chỗ, vì nó là cơ sở để chứng minh
rất nhiều bất đẳng thức khác, và đó là những bất đẳng thức hay gặp nhất.
Để chứng minh các bất đẳng thức này, người ta có rất nhiều phương
pháp.Trong đề tài này phương pháp được đưa ra là: Dựa vào tính lồi của hàm số
mà thực chất là dựa vào bất đẳng thức Jen-xen.
Bài 1. (Bất đẳng thức Cauchy)
Cho n số thực không âm a1 , a2 ,..., an . Chứng minh rằng
a1  a2  ...  an

n

n

a1a2 ...an .

Lời giải
1) Nếu tồn tại ak  0 1  k  n  .
Khi đó
n

1
 x  x  ...  xn 
f 1 2
   f  x1   f  x2   ...  f  xn  
n
n


x  x  ...  xn
1
  ln 1 2
   ln x1  ln x2  ...  ln xn 
n
n
 ln

x1  x2  ...  xn
 ln n x1 x2 ...xn .
n

(1)

Vì f  x   ln x là hàm đồng biến khi x  0 , nên từ (1) suy ra
x1  x2  ...  xn

n

n

x1 x2 ...xn .

2
bi
 bj

Lấy

j 1

Khi đó

n

i  0 ,  i = 1, n và  i  1.
i 1

Theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có

f  1 x1  2 x2  ...  n xn   1 f ( x1 )  2 f ( x2 )  ...  n f ( xn )
 (1 x1  2 x2  ...  n xn ) 2  1 x12  2 x22  ...  n xn2
2



2
2
 1  2 a1
1  2 a12
2 a2
2 an  
2 a2

. . . , đó

Chứng minh
an2
a12 a22

 ... 

b1
b2
bn

 a1  a2  ...  an 
b1  b2  ...  bn

2

.

Lời giải
Xét hàm số f  x   x 2 . f  x  là hàm lồi trên toàn trục số R .
Lấy

xi 

ai
b
, i  n i , i = 1, n .
bi
 bj

 ...  bn    n  b1 2  b2 2  ...  bn 2 
2
b
b
bn  
b2
bn 
2
 b j  b1
  bj  1
j 1
 j 1


 a  a  ...  an 
 1 2

2

a12 a22
an2

  ...  .
b1 b2
bn

b1  b2  ...  bn

Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 4. (Bất đẳng thức Holder)

q
1

 b  ...  b
q
2

q
n



1
q

.

Lời giải
Do p, q  0 mà

1 1

 1  p  1.
p q

Xét hàm số f  x   x p với x  0.
Ta có
f '  x   px p 1  f ''  x   p 1  p  x p 2  0  do p  1, x  0 .

Vậy f  x  là hàm lồi khi x  0.


Theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có

f  1 x1  2 x2  ...  n xn   1 f ( x1 )  2 f ( x2 )  ...  n f ( xn )
 (1 x1  2 x2  ...  n xn ) p  1 x1p  2 x2p  ...  n xnp
p



 1

  n  b1q a1b11q  b2q a2b21q  ...  bnq anbn1q   
q
  bj

 j 1

1
p 1 q
p 1 q
p 1 q
 n
b1q a1pb1    b2q a2pb2    ...  bnq anpbn  
 bqj





j 1

Lũy thừa bậc

p

 n 
   bqj 
 j 1 

p 1

a

p
1

 a2p  ...  anp .

(3)

1
cả hai vế của (3), ta được
p

a1b1  a2b2  ...  anbn 

a

p
1



Vẫn từ giả thiết (*), ta có

1
1
p 1
 1

.
q
p
p

(5)

Thay (5) vào (4), suy ra

Nguyễn Thị Luyến

20

K32 CN - Toán


a

a1b1  a2b2  ...  an bn 

p
1

Cho hai dãy số không âm a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn . Chứng minh
n

a1a2 ...an  n b1b2 ...bn 

n

(a1  b1 )(a2  b2 )...(an  bn ).

Lời giải





Xét hàm số f  x   ln 1  e x .
Ta có

f ' x 

ex
ex

 f'' x  
> 0 x  R .
x
x 2
1 e
(1 e )


1 x1  2 x2  ...  n xn 

 e1x1 2 x2 ...n xn 

n

1  b1
b2
bn 
 ln  ln  ...  ln 
n  a1
a2
an 
1 b1b2 ...bn
ln
n a1a2 ...an

b1b2 ...bn
.
a1a2 ...an

(2)

Ta có

Nguyễn Thị Luyến

21

K32 CN - Toán


 ln n

 a1  b1  a2  b2  ... an  bn  .

(3)

a1a2 ...an

Từ (2), (3) suy ra

b b ...b
(1)  ln 1  n 1 2 n

a1a2 ...an


  a1  b1  a2  b2  ... an  bn  

n
 . (4)

ln



a
a
...
a

Chứng minh bất đẳng thức nói chung, bất đẳng thức đại số nói riêng là
một phần quan trọng trong giáo trình dạy và học môn toán ở trường phổ thông.
Có rất nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh bất đẳng thức. Với mỗi bất
đẳng thức cho trước, dựa vào cấu trúc của bất đẳng thức ta có thể lựa chọn một
phương pháp chứng minh thích hợp. Trong đề tài này tôi trình bày cách sử dụng
bất đẳng thức Jen-xen để chứng minh các bất đẳng thức đại số. Lược đồ chung
để giải các bài toán này cũng giống như lược đồ chung khi sử dụng tính lồi (cụ
thể là sử dụng BĐT Jen-xen) để chứng minh.
Bài 1. Giả sử a1 , a2 ,..., an là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh
1
1
1

 ... 
1  a1 1  a2
1  an



1

n

n
.
a1a2 ...an

Lời giải

Nguyễn Thị Luyến

x 3

Vậy f  x  là hàm lồi với x  0.
Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen, ta có
1
 x  x2  ...  xn 
 f  x1   f  x2   ...  f  xn   ,
f 1


n
n



với xi  0, i  1, n .
Đặc biệt, lấy xi  ln ai  0 (do ai  1 , i=1, n ), ta có
1
1 e


ln a1  ln a2 ... ln an
n



1 1
1
1 


1  an



1

n

n
.
a1a2 ...an

Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 2. Cho a1, a2 ,..., an  0 . Chứng minh rằng
a1
1

a2
2

an
n

a a ...a

 a  a2  ...  an 
  1

n




a  a2  ...  an a1  a2  ...  an
1
 1
ln
  a1 ln a1  a2 ln a2  ...  an ln an 
n
n
n
a  a2 ... an

1
 a1  a2  ...  an 


n





 ln a1a1 a2a2 ...anan



(1)

Dựa vào tính đồng biến của hàm số y  ln x khi x  0 , ta thấy
(1)  a a ...a

b
a b  c

c

c
a b  c

1
 a  b  c .
3



Lời giải
Xét hàm số f  x   x ln x , với x  0 .

f  x  là hàm lồi x  0. Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen, ta có
1
abc
f
   f  a   f b   f  c 
3
3


abc abc
a ln a  b ln b  c ln c

ln


Do tính đồng diến của y  ln x khi x > 0 , thì
(1)  a

a
a b  c

b

b
a b  c

c

c
a b  c



1
 a  b  c .
3

Ta có điều phải chứng minh.
Bài 4. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng

Nguyễn Thị Luyến

24



(1)

Xét hàm số f  x    ln  a  b  c  x  với 0  x  a  b  c.
Ta có
f ' x  

1
1
 f ''  x  
 0 , x   0; a  b  c  .
2
abc x
a  b  c  x

Vậy f  x  là hàm lồi. Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen, ta có
a
b
c
af (a)  bf (b)  cf (c)


f
a
b
c 
abc
abc 
a bc
abc

1
1
1

 ... 
 1.
n 1 n  2
3n  1

Lời giải
Xét hàm số f  x  

1
với x  0 .
x

Ta có

Nguyễn Thị Luyến

25

K32 CN - Toán