www.VNMATH.com
Chuyên đề:
Phơng pháp tam giác đồng dạng
trong giải toán hình học phẳng
Cấu trúc chuyên đề
Phần I

Kiến thức cơ bản
---1. Đinh lý Talet trong tam giác.
Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại
thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ.
MN // BC
A
AM AN
=
AB AC
AM AN
=
MB NC

M
B

N
C

2. Khái niệm tam giác đồng dạng.
Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:
+ àA ' = àA ; Bà ' = Bà ; Cà ' = Cà
A ' B ' B 'C ' A 'C '
=


Tính độ dài đoạn thẳng
-----

Loại 1:

+ Ví dụ minh họa:
Bài 36 79 SGK (có hình vẽ sẵn)
A

12,5

B

ABCD là h.thang (AB // CD)
AB = 12,5cm; CD = 28,5cm
ã
ã
= DBC
DBA
x =?

GT

x

KL

D


BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm
MN = ?

A
10
M
B

8

GT
KL
N
C

Giải

Xét ABC và ANM ta có :
AM
10
2
=
=
AC
15
3
AN
18
2
=


= 12(cm)
AN
NM
18 MN
12

Bài tập 3:
a) Tam giác ABC có Bà = 2 Cà ; AB = 4cm; BC = 5cm.
Tính độ dài AC?
b) Tính độ dài các cạnh của ABC có Bà = 2 Cà biết rằng số đo các cạnh là 3 số tự
nhiên liên tiếp.
A
Giải
a) Trên tia đối của tia BA lấy BD = BC
à =
B
ACD và ABC có àA chung; Cà = D
ACD P ABC (g.g)

D

AC
AD
=
AC2 = AB. AD
AB
AC

C


3


www.VNMATH.com
+ Bài 1: Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm. Trên tia đối của HB
lấy điểm C sao cho AC =

5
ã
AH. Tính BAC
.
3

A

à = 900 ; AB = 20cm
ABH; H

20

GT

BH = 12cm; AC =
ã
=?
BAC

KL
B

(chứng minh trên)
AC AH
ã
ABH P CAH (CH cạnh gv) CAH
= ãABH
ã
ã
ã
Lại có BAH
+ ãABH = 900 nên BAH
+ CAH
= 900
Do đó : BAC = 900
Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 60 0. Một đờng thẳng bất kỳ đi qua C
cắt tia đối của các tia BA, DA tơng ứng ở M, N. Gọi K là giao điểm của BN và DM.
Tính BKD?
M
Hình thoi ABCD; àA = 600 ;
B
GT BN DM tại K
ã
KL
Tính BKD
=?
K
C
A
D

Giải:

(cm trên)
AB DN
BD DN
ã
ã
Mặt khác : MBD
= DBN
= 1200
MB BD
ã
ã
=
Xét 2MBD và BDN có :
; MBD
= DBN
BD DN

Từ

MBD P BDN (c.g.c)
ả = B
à
M
1
1
ả = B
à ; ã
ã
ã
MBD và KBD có M

KL

Tính

B

BD
.
BA

C
B
A
Giải:
ã
CAB và CDB có C chung ; ãABC = BDC
(gt)
CAB P CDB (g.g)

CB CA
=
do đó ta có :
CD CB

CB2 = CA.CD
Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm)
Do đó CB2 = 9.16 = 144 CB = 12(cm)
Mặt khác lại có :

DB 3

www.VNMATH.com
Vì

A' B ' A' C ' B ' C ' 2
=
=
=
AB
AC
BC
3

A' B ' A' C ' B ' C '
A' B '+ A' C '+ B ' C '
=
=
=
AB
AC
BC
AB + AC + BC
4 + 6 + 8 18
=
=
6 + 9 + 12 27
Chuvi A' B ' C ' 18
=
Vậy
ChuviABC
27

Giải:
Xét DCF và CBE có DC = BC (gt); Cà = Bà = 900; BE = CF
à 2
à 1= C
DCF = CBE (c.g.c) D
à 1 = 1v CMD vuông ở M
Mà Cà 1 + Cà 2 = 1v Cà 1 + D
DC CM
à 2; C
à = M
à 1= C
ả )
=
CMD P FCD (vì D
FD FC
SCMD
CD 2
CD 2
=

S
=
. SFCD
CMD
S FCD
FD 2
FD 2
1
1 1
1

4
1
1
SCMD = CD2 = SABCD
5
5
SCMB
1
S
=
5
ABCD

Thay DF2 =

Bài tập đề nghị:
Cho ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD.
a) BM cắt AC ở P, P là điểm đối xứng củ P qua M. Chứng minh rằng PA = PD.
Tính tỷ số

PA
AP
và
PC
AC

b) Chứng minh AB cắt Q, chứng minh rằng PQ // BC. Tính tỷ số
6

PQ

Từ đó ta có :
AB BC CA 2

PQ =

A

PQR P ABC (c.c.c) với tỷ số đồng dạng K =

1
2

P

b) Gọi P là chu vi của PQR ta có :
P là chu vi của PQR ta có :

O
Q

P'
1
1
1
=K=
P = P = .543 = 271,5(cm)
P
2
2
2

B
C
Giải:
Do DE // BC nên ADE PABC theo tỷ số đồng dạng.
K=

AD
2
= . Ta có .
AB
5

7


www.VNMATH.com
Chuvi ADE ' 2
Chuvi ABC ChuviADE
ChuviABC + ChuviADE 63
=
=
=
=
=9
ChuviABC
5
5
2
%+2
7

a)

AH ' B ' C '
=
AH
BC

b) Biết AH =
B
H
Giải:

C

1
AH; SABC = 67,5cm2
3

Tính SABC

AH '
B ' H ' H ' C ' B ' H '+ H ' C '
B' C '
=
=
=
=
(đpcm)
AH
BH

AH
3
AH
3
9
S AB 'C '
1
Vậy S
=
và SABC = 67,5cm2
9
ABC
S AB 'C '
S AB 'C ' 1
1
Nên ta có : S
=
67,5 =
9
9
ABC

a) Vì d // BC

SABC =

67,5
= 7,5(cm2)
9


HB HA
=
HA HC

B

4

H

M

HA2 = HB.HC = 4.9 = 36

C
9

HA = 6cm
Lại có BC = BH + HC = 4cm + 9cm = 13cm
1
1 6.13
SABC = .
= 19,5(cm2)
2
2
2
1
SAHM = SBAH = 19,5 - .4.6 = 7,5(cm2)
2



A

AE = DF = 2BE ( vì AE = DF)

F

1
AF = ED = EC ( vì AF = ED)
2

E

Vậy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm2)
SADF =

1

1
1
SFDC = . 12 = 6(cm2)
2
2

B

1
2

D

AB
=
OK
CD

* Tìm hiểu bài toán : Cho gì?
Chứng minh gì?
* Xác định dạng toán:
? Để chứng minh hệ thức trên ta cần chứng minh điều gì?
TL:

OA
OB
=
OC
OD

? Để có đoạn thẳng trên ta vận dụng kiến thức nào.
TL: Chứng minh tam giác đồng dạng
a) OA. OD = OB.OC
Sơ đồ :
+ àA 1 = Cà 1 (SLT l AB // CD)
ã
+ ãAOB = COD
( Đối đỉnh)

A


OAB P OCD (g.g)

=
OK
OC
OH
AB
? Vậy để chứng minh
=
ta cần chứng minh điều gì.
OK
CD
AB
OA
TL:
=
CD
OC

b)

10

K

C


www.VNMATH.com
Sơ đồ :
à = K
à = 900

2. Ví dụ 2:
Cho hai tam gíac vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD. Đ ờng thẳng
qua P vuông góc với AB tại I.
CMR : AB2 = AC. AP + BP.PD
O
C
P
6

A

I

B

Định hớng:
- Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB)
AB2 = ?
(AB.(AI + IB) = AB . AI + AB. IB)
- Việc chứng minh bài toán trên đa về việc chứng minh các hệ thức
AB.AI = AC.AP
AB.IB = BP.PD
- HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức ( P)
à = I$ = 900
Sơ đồ : + D
+ Cà = I$ = 900
ã
ã
+ PBI


AB . IB + AB . AI

= BP . PD + AC . AP

AB (IB + IA) = BP . PD + AC . AP
11


www.VNMATH.com

AB2 = BP . PD + AC . AP
3. Ví dụ 3: Trên cơ sở ví dụ 2 đa ra bài toán sau:
Cho nhọn ABC, các đờng cao BD và CE cắt nhau tại H. A
CMR: BC2 = BH . BD + CH.CE
D
Định hớng: Trên cơ sở bài tập 2
E
Học sinh đa ra hớng giải quyết bài tập này.
H
Vẽ hình phụ (kẻ KH BC; K BC).
Sử dụng P chứng minh tơng tự ví dụ 2
B
C
4. Ví dụ 4: Cho ABC, I là giao điểm của 3 đờng phân giác, đờng thẳng vuông
góc với CI tại I cắt AC và BC lần lợt ở M và N. Chứng minh rằng.
a) AM . BI = AI. IM
A
b) BN . IA = BI . NI
M

( AMI P AIB)
Sơ đồ:
àA1 = àA2 (gt)
à1
* CM: I$ 1 = Bà 1
I$ 1 = B
à
C
ã
v MIC: IMC
= 900 2

AMI P AIB (gg)

ABC:


IM
BI

=

+ Bà + Cà = 1800(t/c tổng...)

àA
à
à
B
C
+ +


AM. BI = AI . IM

2

Từ 91) và (2)
AMI P AIB ( à
A1 = ảA2 ;



AM
AI

=

IM
BI

à )
Ià1 = B
1

AM . BI = AI. IM
12

à
B
à = Ià
= Ià1 hay B

IA

(Câu b)


AMI P AIB

BNI P BIA


Tính AI2 ; BI2

AM
AI

2

AI
BI 2

(Tính AI2 ; BI2 nhờ P)

AI2

=


IM
BI


Qua O kẻ đờng thẳng song song với 2 đáy cắt BC ở I cắt AD ở J.
CMR :

1
=
OI
2
b)
=
IJ

a)

1
AB
1
AB

1
CD
1
+
CD

+

+ Bài 2: Cho ABC, phân giác AD (AB < AC). trên tia đối của tia DA lấy điểm I
ã
sao cho ãACI = BDA
.


F

gt

MA DB = { E}

KL

MB AC = { F }
EF // AB

D
M
C
Định hớng giải:
- Sử dụng trờng hợp đồng dạng của tam giác
- Định nghĩa hai tam giác đồng dạng
- Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song (định lý Ta lét đảo)
Sơ đồ phân tích:
AB // CD (gt)
AB // CD (gt)


AB // DM
AB // MC


MED P AEB
GT

FB


EF // AB (Định lý Ta lét đảo)
+ Ví dụ 2:
Cho ABC có các góc nhọn, kẻ BE, CF là hai đờng cao. Kẻ EM, FN là hai đờng
cao của AEF.
Chứng minh MN // BC
14


www.VNMATH.com
Sơ đồ phân tích
AMF P AFC (g.g);

AFN P ABE


AM
AF

=


AE
AC

AF
AB




AM
AB

AN
AC

=

B

C


MN // BC (định lý Ta lét đảo)
+ Ví dụ 3: Cho ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC,
CA theo tỷ số 1 : 2, các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn thẳng ED, FE theo
tỉ số 1 : 2. Chứng minh rằng IK // BC.
Gọi M là trung điểm của AF
Gọi N là giao điểm của DM và EF
A
Xét ADM và ABC có :
AD
AB

=

AM
AC

2
1
1
=
.
=
.
=
(1)
EN
EF
EN
3
2
3
EI
1
mà
= (gt) (2)
ED
3
EK
EI
Từ 91) và (2)
=
Suy ra IK // DN (định lý Ta lét đảo)
EN
ED

Ta có :

Bài này sử dụng trờng hợp đồng dạng thứ mấy?
Sơ đồ chứng minh:
a)
GT

àA chung

E

2,4

A

AB
AC
=
=2
AE
AD


ABC P AED (c.g.c)
ABC P AED (câu a)
b)

ả
ả = D
ả
à = D
; D

ả = M
ả )
? Cần chứng minh thêm yếu tố nào ( D
1
2

16

1

B

M

C


www.VNMATH.com
a) Hớng dẫn sơ đồ
gt

ả ;
à = M
B
1

ABC cân

à
à = C


DM
ME

b)

=

BD
; CM = BM
BM


DM
ME

=

à = M
ả (gt) ;
B
1
1

BD
BM



DM ME

E
cho BM = MN = NC. Gọi P là
F
giao điểm của AM và BE;
Q
P
Q là giao điểm của CF và AN.
CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng. B
C
N
M D
b) ABC P DQP
* Hớng dẫn
a) Giáo viên hớng dẫn học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng có nhiều phơng
pháp. Bài này chọn phơng pháp nào?
- Lu ý cho học sinh bài cho các trung điểm nghĩ tới đờng trung bình .
17


www.VNMATH.com
Từ đó nghĩ đến chọn phơng pháp: CM cho 2 đờng thẳng PD và FP cùng // AC
PD là đờng trung bình BEC PD // AC
F, P, D thẳng hàng
FP là đờng trng bình ABE FP // AC
Tơng tự cho 3 điểm D, Q, E
1
1 AC
AC
. EC = .
=

DP QD


;

ã
ã
BAC
= EDP


ABC P DQP (c.g.c)
Dạng chứng minh tam giác đồng dạng.
II. Bài tập đề nghị
+ Bài 1: Cho ABC, AD là phân giác àA ; AB < AC. Trên tia đối của DA lấy
ã
điểm I sao cho ãACI = BDA
. Chứng minh rằng.
a) ADB P ACI; ADB P CDI
b) AD2 = AB. AC - BD . DC
+ Bài 2: Cho ABC; H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3 đờng
trung trực của . Gọi E, D theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
Chứng minh :
a) OED P HCB
b) GOD P GBH
c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng và GH = 2OG
+ Bài 3: Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M là trung
điểm BC. Qua M kẻ đờng vuông góc với BC cắt AC, AB lần lợt ở D, E.
a) CMR : ABC P MDC
b) Tính các cạnh MDC

C

D

Định hớng
Sơ đồ giải
H:Bài cho đờng thẳng EF // AB (và CD)
TL: Các tam giác đồng dạng và các đoạn
thẳng tỷ lệ
H: EO và đoạn nào trên hình vẽ sẽ thờng
lập đợc tỷ số?
EO
TL:
.
DC

OE

= OF


OE
DC

=

OF
DC



EF // DC
AB // CD

gt
H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau (OE = OF) ta sẽ đa về chứng minh
điều gì?
OF
TL:
DC

TL :

EO
DC

=

OF
(1)
DC

H: OE; DC là cạnh của những tam giác nào? (AEO; ADC, các tam giác này
đã đồng dạng cha? Vì dao?
H: Đặt câu hỏi tơng tự cho OF , DC.
EO
OF
=
DC
DC
EO

Ví dụ 2: Bào 10 T67 SGK:
Cho hình thang ABCD (AB // CD) đờng thẳng song song với đáy Ab cắt các cạnh
bên và các đờng chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q.
CMR: MN = PQ
Định hớng giải: Đây là bài tập mở rộng hơn so với ví dụ 1.
Từ hệ quả của định lý Talet cho ta các tam giác đồng dạng và ta chứng minh đợc:
MN
DM
=
AB
DA

E

PQ
AB
DM
DA

B

A
O
M

N

P

rồi chứng minh

b) Gọi giao điểm các cạnh AB và BC là I, CMR: Hai tam giác IAB và IBC có các
góc bằng nhau từng đôi một.
x
B
A

5
O

I

8
10

C

D
y



OC
OA

=

OB
OD

OBC P ODA

(so le trong )
AB 4 1
= =
BD 8 2
BD 8 1
=
=
DC 16 2
AB BD
1
=

( cùng bằng )
BD DC
2

A

B

C
D
BAD P DBC (c.g.c)
ã
ã
BAD
= DBC
Ví dụ 4: Bài 60 T77 SBT
Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kỳ
trên cạnh AC, vẽ các đờng thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc

LO A
1
=
= )
P

=
(2) ( ta có trung tuyến
FP
CL 3
CL 3
FM
1
1
Từ (1) và (2) suy ra :
= FM = FE
FE
3
3
1
1
Tơng tự ta cũng có EN = EF và do đó suy ra MN = EF
3
3

C

Vậy FM = MN = NE
Tóm lại: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong giải toán. Khi ứng dụng
để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau thì các phơng pháp thờng dùng

ãABM = ãAHB = 900 (gt) ; àA chung
A
AMB P ABH (gg)


AM
AB

=

AB
AH

AM =

AB 2
352
=
= 81,7(m)
5
5

Vậy khoảng cách giữa 2 điểm A và M gần bằng 81,7 mét
+ Ví dụ 2:
Một ngọn đèn đặt trên cao ở vị trí A,
hình chiếu vuông góc của nó trên mặt đất là H.
Ngời ta đặt một chiếc cọc dài 1,6m,
thẳng đứng ở 2 vị trí B và C thẳng hàng với H.
B
Khi đó bóng cọc dài 0,4m và 0,6m

AH
DE
a
b+d +c

(x a) (b + d + c) = x.d

ab + ad + ac
d
= a(1+
)
b+c
b+c
1, 4
Thay số ta đợc AH = 1,6 (1 +
) = 3,84(m)
0, 4 + 0, 6

x=

Vậy độ cao AH bằng 3,84 mét
Bài tập đề nghị:
Một giếng nớc có đờng kính DE = 0,8m (nh hình vẽ).
22

A
B C


www.VNMATH.com