Các bài toán liên quan đến tính chất liên tục
của hàm số, đạo hàm của hàm số
I. các kiến thức cơ bản
ĐN: Hàm số f xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục tại điểm
f ( x) = f ( x0 )
x0 ∈ ( a; b) ) nếu xlim
→x
0

- Hàm số f xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng
(a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
- Hàm số f xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn [a; b]
f ( x) = f (0) và
nếu nó liên tục trên khoảng (a; b), xlim
→a
+

lim f ( x) = f (b)

x →b −

* Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục.
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a) ≠ f(b) và M là 1 số nằm
giữa f(a) và f(b) thì ít nhất 1 số c ∈ ( a; b ) ) sao cho f(c) = M.
* Định nghĩa Đạo hàm tại một điểm
f ′( x0 ) = lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 )
x − x0



với x ≠ -2
với x = -2

tại điểm x = -2

b) f(x) =

4 − 3x 2
 3
 x

với x ≤ -2
với x > -2

tại điểm x = -2

Lời giải:
a) Ta có
⇒

( x − 2 )( x + 2 ) = lim x − 2 = −4 = f (−2)
x2 − 4
= lim
(
)
x→ −2 x + 2
x →− 2
x→ −2

x→−2

x→−2

Hàm số đã cho liên tục tại x = -2

Bài 2: Tìm số thực a sao cho hàm số
x2
f(x) = 
2ax − 3

với x
⇒

hàm số đó liên tục tại x =1


Để hàm số liên tục tại x = 1
⇔ 2a

-3=1

⇔ lim+ f ( x) = lim− f (x) = f (1)
x→1

x→1

a=2

⇔

Kết luận: Với a = 2

⇒

hàm số đã cho liên tục trên R

2) Chứng minh phương trình có nghiệm trên 1 khoảng
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình
f(x) = x3 + 2x2 + bx +c = 0 có ít nhất 1 nghiệm.
Lời giải:
Ta có:

=0
100

Có ít nhất một nghiệm dương.
Lời giải:
Ta xét hàm số: f(x) = x3 - 10000x2Ta có: f(0) = -

1
100

x→+∞

liên tục trên

R


2
 2
1
= ( −2 ) sin 2 x.cos. ( cos 2 x )
2
= − sin 2 x.cos. ( cos 2 x )

=

b) Ta có: lny = (x + 1)ln(x2 + 1) vì y > 0 ∀ x ∈ R
Lấy đạo hàm hai vế ta có:
′
= ( x + 1)  ln x 2 + 1  + ( x + 1)′ ln x 2 + 1
2 x ( x + 1)
2x
⇔ yy′ = ( x + 1) 2
+ ln x 2 + 1 =
+ ln x 2 + 1
x +1
x2 + 1

x +1  2 x ( x + 1)
2
⇔ y′ = x 2 + 1
+
ln
x
+
1


)

1
x −1
2

Lời giải
Ta có:

y=

1

( x − 1 )( x + 1 )

=

1
2

 1
1 
−


 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 

1  (−1)
(−1) 
−


1  (−1)n .n ! (−1)n .n ! 
−


2  ( x − 1)n+1 ( x + 1)n+1 



Thật vậy: - (*) đúng với n = 1
- Giả sử (*) đúng với n = k, k
⇔y

(k )

⇒ y

(*) ∀n ∈ N *

∈N*

1  (−1)k .k ! (−1)k .k ! 
= 
−

2  ( x − 1)k +1 ( x + 1)k +1 



( k +1)


( )

⇒

(*) đúng với n = k + 1 ⇒ (*) đúng với
(n)

Kết luận: Với y

∀n ∈ N *

1  (−1)n n! (−1)n .n! 
−

(x) = 2 
n+1
n+1
 ( x −1)
( x +1) 

4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Bài 1: Cho hàm số y = x2
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
a) Tại điểm (-2; 4)
b) Tại giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = 3x - 2
Lời giải
a) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (-2; 4) là:
y’(-2) = 2(-2) = - 4 vì y’= 2x
b) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = 3x - 2 là


= -2

tiếp điểm A(-1; 1)

⇔x

= -1

→

= -2x - 1

⇔ 2x

+y+1=0

Phương trình tiếp tuyến là :
y = - 2(x+1) + 1

⇔y

III. Những sai lầm thường gặp
a) Sai lầm khi xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số
f(x)

 1
1
= 1 + 3 x

x

=0

vì

1
→∞
x

và f(0)=0

x →0

Nên hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0
* Nguyên nhân sai lầm: lời giải trên không đúng do không xét giới hạn
trái và giới hạn phải tại x = 0
* Lời giải đúng:
Ta có:

lim+ f ( x ) = lim+

x→0

x→0

1

lim− f ( x) = lim−


1
1
x

1+ lim− 3

1 (2)
= =1
x

1

→

1
→ +∞ → 3 x → ∞
x
1

vì

x → 0− →

1
→ − ∞ ⇒ 3x → 0
x

x→0

không ∃ lim f ( x ) nên f(x) không liên tục tại x = 0

x→0
x→0
x sin x
x sin x 1+ cos x x→0 x sin x 1+ cos x
2sin2

(

)

(

)

  x 2

 1  sin  x
 1
1
1
1
2
 = .1.1.
= lim  
.
.
=

x→0 2
1+ cos x 4

= lim
x→0
x→0
x−0

1 − cos x
1
−0
2sin2
x
x = limsin 1 = 1 vì x → 0 ⇒ 1 → ± ∞
= lim
x→0
x→0
x
x
x
x

* Nguyên nhân: Sai lầm khi cho sinx = 1 khi

→±∞

* Lời giải đúng:
1
x sin x − 0
f ( x) − f (0)
x = limsin 1
= lim
Ta có: f ′(0) = lim

→ 0 ⇒ lim sin
n∈Z
x →0

+ 2nπ

Từ (1) và (2)

li m s i n
x→ 0

1
x

1
π

= lim sin  + 2nπ  = 1
n
→∞
x
2


không

∃

đạo hàm của hàm số tại x = 0



Nhưng không có đạo hàm tại x = - 3
Bài 4: Cho 2a + 3b + 6c = 0
CMR có ít nhất 1 nghiệm ∈ (0;1)
Bài 5. Cho các số thuộc a0, a1,…a2002 thoả mãn:

 a0 ≠ 0


a2002
a1 a2
 a0 + 2 + 3 + ... + 2003 = 0

CMR phương trình: a0 + a1x + a2x2 + …+ a2002 x2002 = 0
Có nghiệm trên [0; 1].
Bài 6: CMR phương trình
acosx + bsin2x + ccos3x = x
có nghiệm trên đoạn: [ − π ; π

] với ∀a, b, c ∈ R
vớ i x ≤ 2
với x > 2

8


 a 2 x 2
Bài 7: Tìm số thực a sao cho hàm số f(x) = 
 (1 − a ) x