LỜI NÓI ĐẦU
Trong nền kinh tế thị trường hiện nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của các
ngành nghề, ngành giáo dục hơn bao giờ hết cần phải có sự đổi mới, vận động và phát
triển để khẳng định vai trò của mình. Có như vậy chúng ta mới đáp ứng được yêu cầu xã
hội, tạo ra cho xã hội những sản phẩm là những con người có tri thức, vững chắc luôn
năng động, sáng tạo, thích hợp với cuộc sống hiện đại.
Là một sinh viên, em thấy được vai trò và tầm quan trọng của việc học toán hiện
nay. Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: Các bài toán liên quan đến
tính toán và chứng minh trong đa giác
Trong quá trình thực hiện đề tài em đã được sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô
đặc biệt là sự quan tâm giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Bùi Trọng Kim. Em xin chân
thành các thầy cô đã giúp đỡ em hoàn thành đề tài này.
Mặc dù em đã cố gắng nhiều song do thời gian và năng lực có hạn nên trong đề tài
này sẽ còn nhiều thiếu sót, em rất mong sự đóng góp ý kiến để đề tài của em được hoàn
thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Thơm
1
I. LÝ THUYẾT....................................................................................................................3
1. Đa giác.........................................................................................................................3
2. Đa giác đơn..................................................................................................................3
3. Đa giác lồi....................................................................................................................3
4. Đường chéo của đa giác...............................................................................................3
5. Đa giác đều..................................................................................................................3
II. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC................................................3
III. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC
..............................................................................................................................................4
IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN....................................................................................................5
1. Tính số cạnh của một đa giác.......................................................................................5
2. Tính số đo góc trong đa giác........................................................................................9

n+1
trùng nhau, cạnh đầu A
1
A
2
và cạnh cuối A
n
A
n+1
( cũng coi là hai cạnh liên tiếp)
không nằm trên một đường thẳng.
Đa giác như thế kí hiệu là A
1
A
2…
A
n.
Đa giác n cạnh còn gọi là n – giác. Các điểm A
i
gọi
là các đỉnh của đa giác , các đoạn thẳng A
i
A
i+1
gọi là các cạnh của đa giác. Góc A
i-1
A
i
A
i+1

b. Tổng số đo góc trong và góc ngoài tại một đỉnh của hình n_giác bằng 180
0
.
Tổng số đo các góc trong và góc ngoài tại n đỉnh của hình n_giác bằng n.180
0
.
Tổng số đo các góc trong của hình n_giác bằng (n - 2).180
0
.
Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n_giác bằng n.180
0
– (n - 2).180
0
= 360
0
= 4v
Tổng số đo các góc ngoài của 1 hình n_ giác không phụ thuộc vào số cạnh của đa
giác.
VD2: Chứng minh hình n_ giác có tổng tất cả
µ
A
đường chéo.
Giải:
Cách 1: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được (n - 1) đoạn thẳng nối từ
đỉnh đó với (n - 1) đỉnh còn lại của đa giác (trong đó có 2 đoạn thẳng trùng với hai cạnh
của đa giác).
Qua mỗi đỉnh của hình n_giác vẽ được n – 1 – 2 = n – 3 đường chéo.
Do đó hình n_ giác vẽ được n(n - 3) đường chéo.
Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên trong hình n_ giác có tất cả
( 3)

6. Một số bài toán cơ bản.
IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN
1. Tính số cạnh của một đa giác.
Bài 1: Tổng số đo các góc của một đa giác n _ cạnh trừ đi góc A của nó bằng 570
0
.
Tính số cạnh của đa giác đó và
µ
A
Giải:
Ta có (n - 2). 180
0
–
µ
A
= 570
0

⇔

µ
A
= (n - 2).180
0
– 570
0
.
Vì 0
0
<

N nên n = 6.
Đa giác đó có 6 cạnh và
µ
A
= (6 - 2). 180
0
– 570
0
= 150
0
.
Bài 2: Tính số cạnh của một đa giác, biết đa giác đó có:
a. Tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài ( tại mỗi đỉnh của đa giác chỉ kẻ
một góc ngoài).
b. Số đường chéo gấp đôi số cạnh.
c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 2570
0
.
Giải:
a. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3).
+ Tổng số đo các góc trong của đa giác là (n - 2).180
0
.
+ Tổng số đo các góc ngoài của 1 đa giác là 360
0
.
Theo giả thuyết ta có: (n - 2).180
0
= 360
0

µ
A
= (n - 2).180
0
– 2570
0
.
Vì 0
0
<
µ
A
< 180
0

⇒ 0 ( 2)180 2570 180n< − °− ° <
14,2 15,2n⇔ < <
Vì n
∈
N
⇒
n = 15.
Vậy đa giác đó có 15 cạnh.
Bài 3: Tỉ số giữa số đo các góc của 2 đa giác đều là
2
3
. Tính số cạnh của mỗi đa giác đó.
Giải:
Gọi số cạnh của mỗi đa giác đều là n,m (m,n
∈

n - 6 = - 3 n = 3
m + 4 = 8 m = 4
 
 
 
 
 
⇔
TH3:
n - 6 = - 3 n = 3
m + 4 = 8 m = 4
 
 
 
 
 
⇔

Vậy các cạnh của 2 đa giác đều là 5 và 20; 4 và 8; 3 và 4.
Bài 4: Một mảnh giấy hình vuông được cắt bởi một đường cắt thẳng thành 2 mảnh. Một
trong hai mảnh lại được cắt làm 2. Ta làm như vậy nhiều lần. Hỏi số lần cắt ít nhất là bao
nhiêu để có thể nhận được đa giác 20 cạnh.
Giải:
+ Giả sử sau n lần cắt ta nhận được 100 đa giác 20 cạnh
6
Sau mỗi lần cắt số đỉnh tăng nhiều nhất là 4 đỉnh.
Vậy sau n lần cắt số đỉnh sẽ không vượt quá 4n + 4 đỉnh.
+ Sau mỗi lần cắt số mảnh giấy tăng thêm 1
⇒
Sau n lần cắt số mảnh giấy là n + 1.

n
phần nói trên có Q
n
=
2
- 3n + 2n
2
đa giác.
Chứng minh:
a. n = 1 ta có: P
1
=
+ 1 + 21
2
= 2, tức là một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2
phần
⇒
mệnh đề nói đúng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng khi có n – 1 đường thẳng và ta chứng minh mệnh đề đúng
cho trường hợp n đường thẳng.
Giả sử ta có n đường thẳng d
1
, d
2
, …d
n
, thoả mãn điều kiện bài toán.
Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d
1
, d

đều nằm trong một và chỉ một D
j
nào đó và chia D
j
thành 2 phần bởi vậy số phần
mà n đường thẳng phân chia là:
7
2 2
n n-1
n - n + 2 n + n + 2
= P + n= =
2 2
P
Vậy mệnh đề đúng với trường hợp n đường thẳng
⇒
đpcm.
b. Khi n = 3 ta có
2
3
3 - 3.3 + 2
Q =
2
= 1 tức là trong số phần mà là 3 đường thẳng (đôi một
cắt nhau và không đồng quy) chia mặt phẳng thì có một phần là tam giác
⇒
Mệnh đề b
đúng khi n = 3.
Bây giờ ta giả sử mệnh đề b, đúng với n – 1 đường thẳng (n
≥
4) và ta chứng minh

).
Đường thẳng d
n
bị n – 1 đường thẳng nói trên chi thành n phần trong đó có n – 2
đoạn thẳng mà ta sẽ ký hiệu là
1 2 n-2
Δ ,Δ ,...Δ
. Mỗi một đoạn
1
∆
nằm trong một đa giác
j
D

nào đó và chia
j
D
thành đa giác, bởi vậy số đa giác mà n đường thẳng phân chia là:
2 2
n
n-1

n -5n+6 n - 3n + 2
Q = Q + n-2 = + n - 2 =
2 2
⇒
Mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng
⇒
đpcm.
Bài tập đề nghị:

0
0
(9 - 2).180
= 140
9
.
+ Số đo góc của hình 15 cạnh đều là:
0
0
(15 - 2).180
= 156
15
.
Bài 2: Cho ngũ giác lồi ABCDE.
a. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của MP. Chứng minh rằng IK
1
4
CD.
b. Chứng minh rằng tồn tại 2 đường chéo của ngũ giác tạo với nhau 1 góc không
vượt quá 36
0
.
Giải:
9
A
B
C
D
E
F

IK =
1
2
PF. (1)
Mà
PE PD
EF FC
=


=


⇒
PF =
1
CD
2
(2)
Từ (1), (2)
⇒
IK =
1
CD
4
.
b. Lấy một điểm 0 bất kì trong mặt phẳng của ngũ giác. Vẽ năm đường thẳng song song
với các đường chéo của ngũ giác, chúng tạo thành 10 góc không có điểm chung, có tổng
bằng 360
0

+
·
EPF
) = 15
0
.
+
·
·
0
AB = BC
ABE = CBF = 15






·
FCB
⇒
∆
⇒
Δ
ABE =
∆
CBF
BE = PF.
⇒
AE = CF mà AE = EB = FB

= 15
0
⇒

Δ
CBF cân tại C
⇒
CE = CB = CD. Vậy
ΔCDE
đều.
Bài 4: Chứng minh một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn.
Giải:
10
Giả sử đa giác lồi có K
≥
4 góc nhọn. Nếu đa giác lồi có góc trong một đỉnh đó là góc
nhọn thì góc ngoài tương ứng tại đỉnh đó là góc tù. Vì vậy nếu đa giác có K
≥
4 góc nhọn
thì sẽ có K
≥
4 góc ngoài là góc tù
⇒
tổng các góc ngoài của nó sẽ lớn hơn 360
0
(vô lí vì
trong một đa giác lồi bất kì tổng các góc ngoài chỉ bằng 360
0
).
Vậy một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn.


ΔEAB
cân
⇒

µ
2
E
=
µ
1
B
.
⇒

µ
1
B
= 90
0
-
·
EAB
2
Vì CB = CD
⇒

µ
2
B

ABC
+
·
BCD
= 360
0
.
⇒

·
CDE
+
·
DEA
= 540
0
– 360
0
= 180
0
.
⇒

µ
1
D
+
µ
1
E

AC = DE
⇒
AB = BC = CA
⇒

ΔABC
đều
⇒

·
ABC
= 60
0
.
Vậy
·
ABC
= 60
0
.
Bài 6: Lục giác ABCDEF có số đo các góc (tính theo độ) là một số nguyên và
µ
A
-
µ
B
=
µ
B


.
+ Đặt
α
=
µ
A
-
µ
B
=
µ
B
-
µ
C
=
µ
D
-
µ
E
=
µ
E
-
µ
F
11
Ta có
µ

A
- 2
α
) + (
µ
A
- 3
α
) + (
µ
A
- 4
α
) + (
µ
A
- 5
α
) = 720
0
.
⇔
6
µ
A
- 15
α
= 720
0


Vậy giá trị lớn nhất của
µ
A
là 175
0
.
Bài tập đề nghị.
Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF, M và N theo thứ tự là trung điểm của CD và DE. Gọi I
là giao điểm của AM và BN.
a. Tính
·
AIB
.
b.
·
OID
(Với O là tâm của lục giác đều).
Bài 2: Lục giác lồi ABCDEF có tất cả các cạnh bằng nhau, ngoài ra
µ
µ
µ
A+C+E
=
µ
µ
µ
B+D+F
.
Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của lục giác này là song song.
Bài 3: Cho

∆
ABC với AB = BC và
·
ABC
= 80
0
. Lấy trong tam giác đó điểm I sao cho
·
IAC
= 10
0
và
·
ICA
= 30
0
. Tính
·
AIB
.
Bài 8: Cho
Δ
ABC,kẻ các đường phân giác trong BD và CE. Hãy xác định các góc
¶
A
,
µ
B
,
µ