Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS

Phần i: Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
Sau khi trực tiếp giảng dạy Toán lớp 8 với chơng trình sách giáo khoa mới
trong 2 năm, qua quá trình giảng dạy và kết quả các bài kiểm tra ở chơng IV Đại
số 8 tôi nhận thấy học sinh thờng lúng túng hoặc không đủ kiến thức để giải
thành thạo các phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Khi học sinh không nắm
vững kiến thức về trị tuyệt đối cũng nh các phơng pháp giải phơng trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thì việc không biết giải hoặc mắc sai lầm là điều khó
tránh khỏi. Mà kiến thức về trị tuyệt đối và các bài tập liên quan rất quan trọng
trong chơng trình, đặc biệt là chơng trình toán lớp 9 và toán cấp 3 sau này.
Vì sao học sinh thờng không nắm vững các bớc giải phơng trình chứa dấu
gía trị tuyệt đối?
Bài toán giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là bài toán khó vì nó
chứa đựng nhiều kiến thức nh tính chất của thứ tự và các phép toán cộng, nhân,
kiến thức về trị tuyệt đối, kiến thức về giải phơng trình, giải bất phơng
trình...Khi gặp dạng toán nào có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh thờng ngại
khó vì vậy ít lu tâm khi phải tiếp thu kiến thức.
Vậy làm thế nào để học sinh dễ nắm đợc các kiến thức, nắm vững các phơng pháp, các bớc giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trong những năm
qua, từ thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp và các tài liệu tôi xin đề xuất
hệ thống các dạng phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thờng gặp và các
bớc giải từng dạng phơng trình náy. Với hệ thống kiến thức này học sinh sẽ dễ
tiếp thu và giải thành thạo các phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản trong
chơng trình toán 8. Tôi hi vọng đề tài sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trờng
THCS trong việc học và giải các phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Qua đó
các em có phơng pháp giải nhất định, tránh tình trạng giải cha đúng, lúng túng
trong việc trình bày lời giải. Qua đây giúp các em có hứng thú tích cực hơn trong
học tập, đạt kết quả cao trong học tập và nghiên cứu.
Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số dạng cơ bản và cách giải những phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đề tài này có thể áp dụng cho giáo viên toán
và những học sinh yêu thích môn toán tham khảo cách giải và cách trình bày.

dấu giá trị tuyệt đối
- Rèn cho học sinh các thao tác t duy, so sánh, khái quát hoá, trừu tợng
hoá, tơng tự hoá
- Rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu
dễ dàng các môn học khác ở trờng THCS, mở rộng khả năng áp dụng kiến
thức vào thực tế.
- Ngoài ra còn rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo,
chủ động trong giải toán.
2. Các kĩ năng, kiến thức khi học giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số.
Trang 2


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
- Giá trị tuyệt đối của một số. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức
- Giải bất phơng trình bậc nhất một ẩn
- Giải phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình đa đợc về dạng bậc nhất
một ẩn.
ii. các kiến thức cơ bản về GIá TRị TUYệT Đối
Trớc khi đa ra các dạng toán về giá trị tuyệt đối cùng với phơng pháp giải thì
giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc và nhớ đợc định nghĩa về giá trị tuyệt đối,
từ định nghĩa suy ra một số tính chất để vận dụng vào làm bài tập.
1. Định nghĩa
a, Định nghĩa 1( lớp 6) :
Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là a , là khoảng cách từ điểm a đến điểm
gốc 0 trên trục số ( hình-a
1).
0
a
-a


a 3 nếu a 0

a 3

0 a 3
-3 a 3



-a 3 nếu a < 0

-3 a < 0

Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn [ 3;3] và trên
trục sôd thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [ 3;3] ( hình 3)
-3

Ví dụ 3:

0

Hình 3
Trang 3

3


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
a 3 nếu a 0

15 = 15
32 = 32
0 =0
1 = 1
17 = 17
*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), kí hiệu
A(x) là:
A(x) nếu A(x) 0
A(x) =
-A(x) nếu A(x) < 0
Ví dụ 2:

2x - 1 nếu 2x- 1 0
2x 1 =

2x - 1 nếu x

1
2

=
-(2x - 1) nếu 2x - 1 < 0

2. Các tính chất
2.1. Tính chất 1:

1 - 2x nếu x


b a b a = (b a ) = a b ( a b ) a b
a b
ab =
(3)
( a b )
Từ (1), (2) và (3) a b a b

(4)

a b a b a (b) a + b a b a + b
Từ (4) và (5) đpcm.

(5)

2.8. Tính chất 8:

a.b = a . b

Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b 0 hay a 0, b= 0
(1)
a.b = a . b
a > 0 và b > 0 a = a, b = b và a.b > 0
a.b = a.b = a . b a.b = a . b (2)
a < 0 và b < 0 a = -a, b = -b và a.b > 0
a.b = a.b = ( a)(b) = a . b a.b = a . b

(3)

a > 0 và b < 0 a = a, b = -b và a.b < 0


(2)


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
a
a a a a
>0 = =
=
b
b b b b

(3)

a
a
a
a
a
0 và b < 0 a = a, b = -b và
Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm.

x
2x 3 = 1
2x = 4
x = 2
a, ta có 2x 3 = 1


2x 3 = 1
2x = 2
x = 1
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
b, Điều kiện xác định của phơng trình là x 0.
a, 2x 3 = 1

b,

Trang 6


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
x +1
x = 1
x =2
x + 1 = 2x
x = 1
x +1
=2





g(x)

Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình.
Ví dụ 2: Giải các phơng trình sau:
x2 x + 2
a, 2x + 3 = x 3
b,
c,
x =0.
x +1
Giải:
a, Biến đổi tơng đơng phơng trình:

2x + 3 = x 3
2x x = 3 3 x = 6
2x + 3 = x 3


2x
+
3
=

x
+
3
2x
+
x

vô
nghiệm
x

x
+
2
=

x(x
+
1)
x x + 2


x + 1 = x
Trang 7


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
Vậy phơng trình có nghiệm x = 1
Ví dụ 3: Giải phơng trình: 2x 3m = x + 6 , với m là tham số.
Giải :
Biến đổi tơng đơng phơng trình:
2x 3m = x + 6
2x x = 3m + 6
x = 3m + 6
2x 3m = x + 6



Xéthai
haitrờng
trờnghợp:
hợp:
-Trờng
hợp
1:
Nếu
f(x)
(1)
-Trờng hợp 1: Nếu x + 4 0 x -4
(1)
Phơng trình có dạng: f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm1 tra điều kiện (1)
Phơng
x + nghiệm x và kiểm
(1)Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình.
-Trờng
hợphiện
2: Nếu
+4
Khi đó phơng trình đợc biến đổi:
1

x=

x + 4 = 3x + 5
4
x + 4 = 3x + 5

x + 4 = 3x 5
x = 9 không thoả mãn ( * )

2
1
Vậy phơng trình có nghiệm x = .
4
Lu ý1:
Qua ví dụ trên các em học sinh sẽ thấy rằng cả hai cách giải đều có độ phức
tạp nh nhau. Vậy trong trờng hợp nào cách 1 sẽ hiệu quả hơn cách 2 và ngợc
lại?
Khi vế phải là một biểu thức không là đa thức có bâc 1 ta nên sử dụng cách 1
vì khi sử dụng cách 2 thì việc tìm x thoả mãn điều kiện g(x) không âm phức tạp
hơn.
Khi biểu thức trong trị tuyệt đối ở dạng phức tạp thì không nên sử dung cách
1 vì sẽ gặp khó khăn trong việc đi giải bất phơng trình f(x) 0 và f(x) < 0.
Tuy nhiên học sinh có thể khắc phục bằng cách không di giải điều kiện mà cứ
thực hiện các bớc biến đổi phơnmg trình sau đó thử lại điều kiện mà không đối
chiếu.
Ví dụ 5: Giải các bất phơng trình:
a, x + 1 = x 2 + x


x = 2
x = 2 không tho ả mãn ( * )
Vậy phơng trình có nghiệm x = 2.
2

Trang 9


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
Lu ý 2: - Đối với một số dạng phơng trình đặc biệt khác ta cũng sẽ có
những cách giải khác phù hợp chẳng hạn nh phơng pháp đặt ẩn phụ, sử dụng
bất đẳng thức Côsi.
Ví dụ 6: Giải phơng trình 2 x 1 = x 2 2x 2
Viết lại phơng trình dới dạng
(x 2 2x + 1) 2 x 1 3 = 0
(x 1)2 2 x 1 3 = 0

(1)

Đặt x 1 = t ( t 0)
Khi đó từ (1) ta có phơng trình
t2 - 2t - 3 = 0
t2 + t - 3t - 3 = 0
t(t + 1) - 3(t + 1) = 0
(t + 1)(t - 3) = 0
t = - 1 (loại) và t = 3 (t/m)
Với t = 3 ta đợc x 1 = 3
x 1 = 3
x = 4

+
= 2 (1)
x +1
3
Điều kiện xác định của phơng trình là x -1
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
x +1
Cách 1: Đặt t =
điều kiện t > 0
3
1
Khi đó (1) + t = 2 t 2 2t + 1 = 0 t = 1
t
x +1
x + 1 = 3
x = 2

=1 x +1 = 3

3
x + 1 = 3 x = 4
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2

Ví dụ 7: Giải phơng trình

Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
x +1
3
3 x +1
VT =

Những giá trị x này sẽ chia trục số thành các khoảng có số khoảng lớn hơn số
các trị tuyệt đối là 1. Khi đó ta xét giá trị x trong từng khoảng để bỏ dấu giá trị
tuyệt đối và giải phơng trình tìm đợc.
khi

Ví dụ 8: Giải phơng trình x 1 + x 3 = 2
Ta thấy x - 1 0 x 1
x-3 0 x 3
Khi đó để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trờng hợp.
+Trờng hợp 1: Nếu x < 1
Khi đó phơng trình có dạng:
- x + 1 - x + 3 = 2 -2x = - 2 x = 1 (không t/m đk)
Trang 11


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
+Trờng hợp 2: Nếu 1 x < 3.
Khi đó ta có phơng trình:
x - 1 - x + 3 = 2 0x = 0 luôn đúng => 1 x < 3 là nghiệm.
+Trờng hợp 3: Nếu x 3
Khi đó phơng trình có dạng:
x - 1 + x - 3 = 2 2x = 6 x = 3 (t/m đk)
Vậy nghiệm của phơng trình là 1 x 3
Bài tập củng cố:
Giải các phơng trình sau:
1). 2 x 1 + 2 x + 1 = 4
2). x 2 + x 3 = 4
3). 2 x + 2 + 2 x 1 = 5

4). x 2 1 + x = 1

vẫn còn có những hạn chế nhất định do năng lực kinh nghiệm của bản thân.
Rất mong nhận đợc các ý kiến đóng góp của các thầy cô để đề tài đợc
hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn !
Duy Minh, ngày 28/ 03 / 2011
Ngời làm đề tài

Vũ Thị Kim Quý

Trang 13


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS

Tài liệu tham khảo
1 Sách giáo khoa Toán 8

NXB Giáo Dục

Phan Đức Chính
Tôn Thân

2 Sách bài tập Toán 8 - Tập 2

NXB Giáo Dục

Tôn Thân
Nguyễn Huy Đoan

3 Sách giáo viên Toán 8

Nguyễn Vũ Thanh
Bùi Văn Tuyển

Hoàng Chúng

Bài soạn:

PHƯƠNG TRìNH ChứA DấU GIá TRị TUYệT Đối

I/ Mục tiêu:
Học sinh đợc củng cố định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số
Biết bỏ dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức dạng ax và a + x
Biết giải một số phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng ax = cx + d và
dạng x + a = cx + d
II/ Chuẩn bị:
GV: Bảng phụ ghi bài tập
HS: Bảng nhóm. Ôn tập giá trị tuyệt đối của một số
Trang 14


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
III/ Tiến trình dạy học:
1. ổn định: Kiểm tra sĩ số
2. Kiểm tra bài cũ:
? Phát biểu định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số a
2
3

? Tìm 12 , , 0
? Cho biểu thức x 5 . Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức khi

? Thu gọn biểu thức đó
Gọi HS lên làm câu b
Gọi HS nhận xét
Yêu cầu HS bỏ dấu giá trị
tuyệt đối và thu gọn biểu
thức A khi x 0 => 7 x = 7x
B = 2x + 3 + 7x = 9x + 3
HS:
Khi x<5 => x 5 = 5-x
A= 5-x + x +2 = 7
Khi x<0 => 7 x = -7x



Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
chéo
*? Bỏ dấu giá trị tuyệt đối
của biểu thức sau 2 x 3
Hớng dẫn:
? Cần xét mấy trờng hợp

C = - 3x + 7x -4 = 4x -4
b, Khi x<6 => x 6 = 6 -x
D = 5 -4x + 6 - x = 11 -5x

? Giải 2 bất phong trình để
tìm nghiệm tơng ứng

HS: 2 trờng hợp: 2x -3 0
và 2x -3
Nêu VD3
Gọi 1 HS lên bỏ dấu giá trị
tuyệt đối của biểu thức

4x =
4 x 4 x 0 x 0

4 x 4 x < 0 x < 0

HS: (1) 4x = x + 6
HS: (1) - 4x = x + 6

HS: (1) có 2 nghiệm:
x = 2

x+3

Gọi 2 HS lên giải phơng
trình trong 2 trờng hợp x
3 và x< -3
Nhận xét bài làm của HS

b, D = 5 - 4x + x 6 khi
x 3x = - 3x
C = - 3x + 7x -4 = 4x -4
b, Khi x<6 => x 6 = 6 -x
D = 5 -4x + 6 - x = 11 -5x


G: Ta có: x + 3 =
x + 3 x + 3 0 x 3

x 3 x + 3 < 0 x < 3
* x 0 :

(2) x + 3 = 9 -3x
4x = 6
x=

? Hãy kết luận nghiệm của
Trang 16

6 3
=
4 2


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
phơng trình
Cho HS làm ? 2 theo nhóm
Nhóm 1,2: câu a
Nhóm 3,4: câu b
Thời gian: 5 phút

HS: phơng trình có nghiệm
x=

3
2

2

Vậy phơng trình có
nghiệm: x = 2
4. Củng cố
Cho HS làm bài tập 35 theo nhóm
BT 35:
3 x + 2 + 5 x = 8 x + 2 x 0
3 x + 2 5 x = 2 x + 2 x < 0
4 x 2 x + 12 = 6 x + 12 x 0
b, B =
4 x 2 x + 12 = 2 x + 12 x > 0

a, A =

c, Khi x > 5: C = x - 4 - 2x + 12 = 8 -x
3 x + 2 + x + 5 = 4 x + 7 x 5
3 x + 2 x 5 = 2 x 3 x < 5

d, D =

5. Hớng dẫn về nhà
Ôn lại định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số
Xem lại các ví dụ
Làm BT 36, 37/ Tr 51 SGK; 65; 66/48 SBT
Chuẩn bị bài học tiếp theo

Trang 17

3

Phần I: Mở đầu
I.
Lí do chọn đề tài..................................................................................1
II.
Mục đích-nhiệm vụ của đề tài.............................................................2
III. Đối tợng nghiên cứu............................................................................2
IV. Phơng pháp nghiên cứu.......................................................................2
Phần II: Nội dung đề tài
I.
Cơ sở lí luận.........................................................................................3
II.
Những kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối
1. Định nghĩa......................................................................................3
2. Các tính chất...................................................................................5
III. Các dạng cơ bản và phơng pháp giải phơng trình chứa dấu
giá trị tuyệt đối
Bài toán 1.............................................................................................7
Bài toán 2.............................................................................................8
Bài toán 3...........................................................................................10
Bài toán 4...........................................................................................13
Phần III:Kết quả đạt đợc....................................................................................15
Phần IV: Kết luận.................................................................................................15
Tài liệu tham khảo................................................................................................17
Bài soạn: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.............................................18

Trang 18