BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN PHÚC BÌNH

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN
CHỨA SỐ HẠNG KIRCHHOFF
CÓ NGUỒN PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60. 46. 01

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi trân trọng kính gửi đến Thầy TS. Trần Minh Thuyết lời 
cảm  ơn  sâu  sắc  nhất  về  sự  tận  tình  hướng  dẫn,  chỉ  bảo  của  thầy  đối  với  tôi 
trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. 
Qua  luận  văn  này,  tôi  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  đến  Thầy  TS. 
Nguyễn Thành Long, người đã đọc và cho nhiều chỉ dẫn hết sức quý báu đối 
với luận văn của tôi. Lòng say mê nghiên cứu khoa học và sự tận tụy của Thầy 
đối với học trò là tấm gương sáng để thế  hệ trẻ noi theo. 
Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Khoa Toán – Tin học trường Đại 
học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt cho 
tôi nhiều kiến thức khoa học trong suốt khóa học. 
Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Khoa học Công nghệ 
‐ Sau đại học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận 
lợi để tôi hoàn tất chương trình học và hoàn thành luận văn.  


(1.2)

và điều kiện đầu
u(x , 0) = u0 (x ),

ut (x , 0) = u1(x ),

(1.3)

trong đó u0, u1, B, f là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau và số
hạng phi tuyến B(t,||ux (t )||2 ) phụ thuộc vào tích phân
||ux (t )||2 =

∫

1
0

ux2 (x , t )dx .

(1.4)

Trong trường hợp N = 1 và Ω = (0, L), phương trình (1.1) được tổng quát hóa từ
phương trình sau đây mô tả dao động phi tuyến của một sợi dây đàn hồi [2]
Eh
ρhutt = (P0 +
2L

L

⎪u(0, t ) = u(1, t ) = 0,
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ).
⎩

(1.6)

Trong [5] N. T. Long và B. T. Dũng đã khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho
bài toán
⎧
⎪
utt − B(||ux (t )||2 )uxx = f (x , t, u, ux , ut ,||ux (t )||2 ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(1.7)
⎨ux (0, t ) − h0u(0, t ) = u(1, t ) = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ).
⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⎪
⎪
Bε (||ux ||2 ) = B(||ux ||2 ) + εB1 (||ux ||2 ).
⎪
⎪
⎩

Trong [6] N. T. Long đã khảo sát bài toán
utt − B(t,||u(t )||2,||ux (t )||2 )uxx = f (x , t, u, ux , ut ,||u(t )||2 ,||ux (t )||2 ),

(1.8)

liên kết với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
ux (0, t ) − h0u(0, t ) = ux (1, t ) + h1u(1, t ) = 0,

(1.9)

và điều kiện đầu
u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x )

(1.10)

2


Trong [9] N. T. Long, L. T. P. Ngọc và L. X. Trường đã nghiên cứu thuật giải lặp
cấp cao cho phương trình sóng phi tuyến
utt − μ(t,||u(t )||2,||ux (t )||2 )uxx = f (x , t, u ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,

quy nạp tuyến tính {um }m ∈` chỉ là cấp một. Để tiếp nối và mở rộng kết quả của chương 3
chúng tôi, xây dựng một dãy lặp phi tuyến {um }m ∈` nhằm nâng tốc độ hội tụ của dãy quy
nạp tuyến tính {um }m ∈` về nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3).
3


Chương 6, khảo sát bài toán nhiễu sau
⎧⎪u − B(t,||u (t )||2 )u = f (x , t, u ) + ε f (x , t, u ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
⎪⎪ tt
x
xx
1
⎪⎪
⎪
(Pε )
⎨u(0, t ) = 0, ux (1, t ) = g(t ),
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪u(0, x ) = u0 (x ), ut (0, x ) = u1(x ).
⎪⎩

a) nghiên cứu dáng điệu tiêm cận nghiệm của u ε khi ε → 0
b) khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán (Pε ) theo tham số bé ε, |ε| < ε* .
có nghĩa là có thể xấp xỉ nghiệm u ε bởi đa thức theo ε :
N

u ε (x , t ) ≈ ∑ ui (x , t )εi ,
i =0

và đánh giá được sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ tiệm cận

0

Kí hiệu || . || để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.1) nghĩa là
1

||u||2 = 〈u, u 〉 =

∫ u (x )dx
2

0

Ta định nghĩa không gian Sobolev cấp 1
H 1 = {v ∈ L2 , vx ∈ L2 }

Không gian này là không gian Hilbert đối với tích vô hướng
1

〈u, v 〉H = 〈u, v 〉 + 〈ux , vx 〉 =
1

∫ [u(x )v(x ) + u (x )v (x )]dx
x

x

0

Bổ đề 2.1. [1] Phép nhúng H 1 1 C 0 (Ω) là compact và
||v||C


1 ≤ p < +∞ ,

hay
∃M > 0 : u(t )

X

≤ M , t ∈ (0,T ) khi p = ∞ .

Ta trang bị Lp (0,T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞ bởi chuẩn sau:
1

||u||

Lp ( 0,T ; X )

⎛t
⎞⎟p
= ⎜⎜⎜ ∫ ||u(t )||Xp dt ⎟⎟ < ∞ với 1 ≤ p < ∞,
⎜⎝ o
⎠⎟
= ess sup u(t )

u
Lp ( 0,T ;X )

0

có giá trị trong X ký hiệu là
D ′(0,T ; X ) = L (D(0,T ); X )) = { f : D(0,T ) → X | f tuyến tính, liên tục

Định nghĩa 2.2. Cho f ∈ D ′(0,T ; X ) . Ta định nghĩa đạo hàm
của f bởi công thức

}.

df
theo nghĩa phân bố
dt

∂f
dϕ
,ϕ = − f,
, ∀ϕ ∈ D(0,T )
∂t
dt

Các tính chất:
i/ Cho v ∈ Lp (0,T ; X ) , ta làm tương ứng nó bởi ánh xạ như sau
Tv : D(0,T ) → X
T

Tv , ϕ =

∫ v(t )ϕ(t )dt,

∀ϕ ∈ D(0,T )


⎛T
⎞⎟p ⎛ T
⎞⎟p′
p
p′
⎜
⎜
≤ ⎜⎜ ∫ v(t ) dt ⎟⎟ ⎜⎜ ∫ ϕi (t ) dt ⎟⎟ → 0, t → +∞
X
⎜⎝ 0
⎠⎟ ⎝⎜ 0
⎠⎟

Do đó Tv , ϕi → 0 trong X khi

i → +∞ . Vậy Tv ∈ D ′(0,T ; X )

ii/ Ánh xạ v → Tv là một đơn ánh, tuyến tính từ Lp (0,T ; X ) → D ′(0,T ; X ) . Do đó, ta
có thể đồng nhất Tv = v .

7


Khi đó ta có bổ đề sau mà chứng minh có thể tìm thấy trong [3].
Bổ đề 2.7. Lp (0,T ; X ) 1 D ′(0,T ; X ) với phép nhúng liên tục
2.2.3.Đạo hàm trong Lp (0,T ; X )
Phần tử f ∈ Lp (0,T , X ) ta có thể xem f là phần tử của D ′(0,T ; X ) .
Khi đó ta có bổ đề sau mà chứng minh có thể tìm thấy trong [3].
Bổ đề 2.8. Nếu f ∈ Lp (0,T ; X ) và


L 1 (0,T ;B1 )

.

Khi đó W (0,T ) là một không gian Banach .
p

Hiển nhiên ta có W (0,T ) 1 L 0 (0,T ; B0 ).
Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact.
Bổ đề 2.9. ( Bổ đề về tính compact của Lions [3], trang 57). Với giả giả thiết trên và
p

nếu 1 < pi < +∞, i = 1,2 , thì phép nhúng W (0,T ) 1 L 0 (0,T ; X 0 ) là compact.
Bổ đề 2.10. (Bổ đề về sự hội tụ yếu của Lions [3] trang 12) Cho Q là tập mở bị chặn
của \ N và Gm , G ∈ Lp (Q ), 1 < p < ∞ sao cho:
i/ Gm

l p (Q )

≤ C , trong đó C là hằng số độc lập với m,

8


ii/ Gm → G a.e., trong Q.
Khi đó, ta có:Gm → G trong Lp (Q ) yếu
Bổ đề 2.11. (Bổ đề Gronwall). Giả sử f : [0,T ] → \ là hàm khả tích, không âm trên
[0,T] và thỏa bất đẳng thức
T

x
t
u
(x , t ), 2 (x , t ),
(x , t ),
(
,
),
(
,
,
),
,
.
∂t
∂x
∂u
∂ξ
∂η
∂t
∂x 2

9


Chương 3
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM: TRƯỜNG HỢP
ĐIỀU KIỆN BIÊN THUẦN NHẤT
3.1. Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và giá trị ban đầu sau


ux2 (x , t )dx .

(3.2)

Trong chương này, chúng tôi sẽ kết hợp bài toán (3.1) với một thuật giải quy
nạp tuyến tính mà sự tồn tại và duy nhất nghiệm được chứng minh bằng phương
pháp Galerkin và phương pháp compact yếu.
3.2. Các ký hiệu và giả thiết
Ta thành lập các giả thiết sau:
(A1)

u0 ∈ V ∩ H 2,

(A2)

B ∈ C 1(\ 2+ ) với B(ξ, η) ≥ b0 > 0,

(A3)

f ∈ C 1([0,1]× \ + × \ + ) thỏa f (0, t, 0) = 0, ∀t ≥ 0.

u1 ∈ V ,
∀ξ, η ≥ 0,

Xét T * > 0, cố định. Với M > 0 ta định nghĩa
K 0 = K 0 (M , f ) = sup{| f (x , t, z ) |: (x , t, z ) ∈ A* (M )},

(3.3)


Trong phần này, với sự lựa chọn M và T thích hợp ta xây dựng một dãy
{um }m∈` trong W1(M ,T ) bằng quy nạp. Dãy {um }m ∈` sẽ được chứng minh hội tụ về

nghiệm yếu của bài toán (3.1).
Chọn số hạng ban đầu u 0 = 0. Giả sử rằng
(3.9)

um−1 ∈ W1(M ,T ).

Ta liên kết bài toán (3.1) với bài toán biến phân sau.
Tìm um ∈ W1(M ,T ), m ≥ 1 sao cho
⎧⎪〈u (t ), v 〉 + b (t )〈∇u (t ), ∇v 〉 = 〈F (x , t ), v 〉, ∀v ∈ V ,
⎪⎪ m
m
m
m
⎨
⎪⎪
⎪⎪⎩um (0) = u0, u m (0) = u1,

(3.10)

trong đó
bm (t ) = B t,||∇um−1(t )||2 ,

(

)

(3.11)

m

(3.13)

j =1

(k )
với cmj
thỏa các hệ phương trình vi phân tuyến tính

⎧
⎪
〈um(k )(t ), w j 〉 + bm (t )〈∇um(k )(t ), ∇w j 〉 = 〈Fm (t ), w j 〉, 1 ≤ j ≤ k,
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
u (k )(0) = u 0k , um(k )(0) = u1k ,
⎪
⎪
⎩ m

(3.14)

trong đó
k

(k )
u 0k ≡ ∑ αmj

c (t ) = −λjbm (t )c j (t ) + 〈Fm (t ), w j 〉, 1 ≤ j ≤ k,
⎪
⎪ j
⎨
⎪
⎪
c (0) = αj , cj (0) = β j .
⎪
⎪
⎩ j

(3.17)

Hệ phương trình này tương đương với hệ phương trình tích phân
τ

t

τ

t

c(t ) = αj + β jt − λj ∫ d τ ∫ bm (s )c j (s )ds + ∫ d τ ∫ 〈Fm (s ), w j 〉ds
0

0

0

Ta viết lại (3.18) dưới dạng

⎪⎪
τ
t
⎪⎪G j (t ) = αj + β jt + ∫ d τ ∫ 〈Fm (s ), w j 〉ds, 1 ≤ j ≤ k .
0
0
⎪⎩

Sự tồn tại nghiệm um(k )(t ) trên đoạn [0,T ] sẽ được suy ra từ sự tồn tại nghiệm
cm(k ) ∈ C 0 ([0,T ]; \ k ) thỏa mãn phương trình tích phân nói trên. Như vậy ta cần

chứng minh toán tử H : C 0 ([0,T ]; \ k ) → C 0 ([0,T ]; \ k ) có điểm bất động.
Ở đây, chuẩn trong không gian Banach X = C 0 ([0,T ]; \ k ) được định nghĩa như
sau:
k

||c||X = sup |c(t )|1, |c(t )|1 = ∑ |c j (t )|, với mỗi c = (c1,..., ck ) ∈ X .
0≤t ≤T

j =1

Ta bắt đầu bởi việc chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng: c, d ∈ X ,
∀t ∈ [0,T ], bất đẳng thức sau đúng.
n

n

H [c ](t ) − H [d ](t ) ≤

(


≤ λk K 0 ∫ d τ ∫ c j (s ) − d j (s ) ds,
0

0

hay
τ

t

H [c ](t ) − H [d ](t ) ≤ λk K 0 ∫ d τ ∫
1

0

0

k

∑ c (s ) − d
j =1

13

j

j

(s ) ds

1
H [c ](t ) − H [d ](t ) ≤ λk K 0 t 2 || c − d ||X .
1
2

(3.21)

Vậy, (3.19) đúng với n = 1.
Giả sử (3.19) đúng với n ≥ 1. Khi đó
H n +1[c ](t ) − H n +1[d ](t ) = H [H n [c ]](t ) − H [H n [d ]](t )
1

1

τ

t

≤ λk K 0 ∫ d τ ∫ H n [c ](s ) − H n [d ](s ) ds
0

τ

t

≤ λk K 0 ∫ d τ ∫
0

≤


|| c − d ||X .

Bất đẳng thức được chứng minh. Điều này dẫn đến
n

n

H [c ] − H [d ]

Vì lim

n →∞

(

λk K 0T
(2n )!

)

X

≤

(

λk K 0T

)


Nhân (3.14)1 bởi cm(k )(t ) , sau đó lấy tổng theo j, ta được
〈um(k )(t ), u m(k )(t )〉 + bm (t )〈∇um(k )(t ), ∇um(k )(t )〉 = 〈Fm (t ), u m(k )(t )〉.

(3.24)

d
d
||um(k )(t )||2 + bm (t )
||∇um(k )(t )||2 = 2〈Fm (t ), um(k )(t )〉.
dt
dt

(3.25)

hay

(

)

(

)

Sau đó tích phân theo biến thời gian, cận từ 0 đến t, ta được
14


t



Nhân (3.29) bởi cm(k )(t ) , sau đó lấy tổng theo j, thì (3.29) trở thành
〈∇um(k )(t ), ∇um(k )(t )〉 + bm (t )〈Δum(k )(t ), Δum(k )(t )〉 = 〈∇Fm (t ), ∇u m(k )(t )〉.

(3.30)

d
d
||∇um(k )(t )||2 + bm (t )
||Δum(k )(t )||2 = 2〈∇Fm (t ), ∇um(k )(t )〉.
dt
dt

(3.31)

hay

(

)

(

)

Tích phân theo biến thời gian, cận từ 0 đến t, ta được
t

t



+∫ bm (s ) ||∇um(k )(s )||2 + ||Δum(k )(s )||2 ds + ∫ ||um(k )(s )||2ds
0

4

= s (0) + ∑ I j ,
(k )
m

0

(3.34)

j =1

trong đó
t

sm(k )(t ) = pm(k )(t ) + qm(k )(t ) + ∫ ||um(k )(s )||2ds.
0

15

(3.35)


Ta sẽ đánh giá các tích phân I j , j = 1,..., 4, trong vế phải của (3.34).
Tích phân thứ nhất. Từ giả thiết (A3), (3.3), (3.9), (3.12) và (3.35). Ta thu được
t

)(

)

≤ D1 f (x , t, um −1(t )) + D3 f (x , t, um−1(t )) . 1 + ∇um −1(t ) ,

≤ K 1(1 + |∇um−1(t )|)

hay
||∇Fm (t )|| ≤ K 1(1 + ||∇um−1(t )||) ≤ K1(1 + M ).

Điều này dẫn đến
t

I 2 ≤ 2 ∫ ||∇Fm (s )||.||∇um(k )(s )||ds
0

≤ 2K 1(1 + M )∫

t
0

t

qm(k )(s )ds ≤ TK12 (1 + M )2 + ∫ sm(k )(s )ds.
0

(3.37)

Tích phân thứ ba. Từ giả thiết (A2), (3.6), (3.9), (3.11), (3.35). Ta suy ra rằng

(3.38)

Tích phân thứ tư. Ta viết lại (3.14)1 dưới dạng
16


〈um(k )(t ), w j 〉 = bm (t )〈Δum(k )(t ), w j 〉 + 〈Fm (t ), w j 〉.

(3.39)

Nhân (3.39) bởi cm(k )(t ) , sau đó lấy tổng theo j, thì (3.39) trở thành
〈um(k )(t ), um(k )(t )〉 = bm (t )〈Δum(k )(t ), um(k )(t )〉 + 〈Fm (t ), um(k )(t )〉,

hay
||um(k )(t )||2 ≤ |bm (t )|.||Δum(k )(t )||.||um(k )(t )|| + ||Fm (t )||.||um(k )(t )||

1
1
≤ bm2 (t )||Δum(k )(t )||2 + ||um(k )(t )||2 + ||Fm (t )||2 + ||um(k )(t )||2 .
4
4

(3.40)

Từ các giả thiết (A2), (A3) và (3.3), (3.5), (3.9), (3.40). Ta thu được đánh giá
||um(k )(t )||2 ≤ 2K 0bm (t )||Δum(k )(t )||2 + 2K 02 .

(3.41)

Lấy tích phân hai vế của (3.41) theo t, ta được

Bây giờ ta cần đánh giá số hạng sm(k )(0) . Ta có

)(

(

)

sm(k )(0) = ||u1k ||2 + ||∇u1k ||2 + B 0,||∇u0||2 ||∇u 0k ||2 + ||Δu 0k ||2 .

(3.46)

Từ giả thiết (A2) (3.9), (3.15), (3.16) và (3.46). Ta suy ra rằng tồn tại hằng số
M > 0, độc lập với k và m , sao cho:
sm(k )(0) ≤

M2
với mọi k và m.
2

(3.47)

Chú ý rằng,
(3.48)

lim C 1(M ,T ) = 0.

T → 0+

Từ (3.44) – (3.48), chúng ta luôn chọn được hằng số T > 0 sao cho:


)

T (K + 4M K12 ) e
2
1

4

[2 +

K1 (1+2 M 2 ) T
]
b0
2

< 1.

(3.51)

Cuối cùng, ta suy từ (3.43) và (3.50) rằng
sm(k )(t ) ≤ M 2e

−TC 2 (M )

t

+ C 2 (M )∫ sm(k )(s )ds , 0 ≤ t ≤ T .
0



(3.55)

um(k ) → um

trong L∞ (0,T ;V ) yếu *,

(3.56)

um(k ) → um

trong L2 (QT ) yếu ,

(3.57)

thỏa
(3.58)

um ∈ W (M ,T ).

Từ (3.55) – (3.57) qua giới hạn trong (3.14) ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng um
thỏa (3.10) trong L2 (0,T ) yếu.
Mặt khác, từ (3.10)1, (3.55) – (3.58), ta được
um′′ = bm (t )Δum + Fm ∈ L∞ (0,T ; L2 ).

Do vậy,
(3.59)

um ∈ W1(M ,T ).


)

T (K + 4M K12 ) e
2
1

4

[2 +

K1 (1+2 M 2 ) T
]
2
b0

< 1,

(3.62)

và C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T , u0 , u1 và kT .
Chứng minh định lý 3.2.
i) Sự tồn tại nghiệm
Trước tiên, ta chú ý rằng W1(T ) là một không gian Banach đối với chuẩn
||u||W (T ) = ||u||L∞ (0,T ;V ) + ||u ′||L∞ (0,T ;L2 ).
1

(3.63)

Ta sẽ chứng minh rằng {um } là một dãy Cauchy trong W1(T ).
Đặt vm = um +1 − um . Khi đó, vm thỏa bài toán biến phân

)

2(bm +1(t ) − bm (t ))〈Δum (t ), vm′ (t )〉 + 2〈Fm +1(t ) − Fm (t ), vm′ (t )〉.

Tích phân theo biến thời gian, cận từ 0 đến t, thu được
19

(3.64)


∫

Ψ m (t ) =

t
0

t

bm′ +1(s )||∇vm (s )||2ds + 2∫ [bm +1(s ) − bm (s )]〈Δum (s ), vm′ (s )〉ds
0

3

t

+ 2∫ 〈Fm +1(s ) − Fm (s ), vm′ (s )〉ds = ∑ J i ,
0

(3.65)

t
0

Ψ m (s )ds.

(3.67)

Tích phân thứ hai. Từ giả thiết (A2), (3.5), (3.6), (3.9) và (3.11) ta thu được đánh
giá sau
|bm +1(t ) − bm (t )| ≤ |B(t,||∇um (t )||2 ) − B(t,||∇um −1(t )||2 )|

(

≤ K1 ||∇um (t )||2 − ||∇um (t )||2

)

≤ 2MK1 ||∇um (t )|| − ||∇um−1(t )||
≤ 2MK1||∇vm−1(t )|| ≤ 2MK1||vm −1||W (T ),
1

nên
t

J 2 = 2 ∫ [bm +1(s ) − bm (s )]〈Δum (s ), vm′ (s )〉ds
0

t

≤ 4MK1||vm −1||W (T ) ∫ ||Δum (s )||.||vm′ (s )||ds


t

0

0

J 3 = 2∫ 〈Fm +1(s ) − Fm (s ), vm′ (s )〉ds ≤ 2 ∫ ||Fm +1(s ) − Fm (s )||.||vm′ (s )||ds
t

≤ TK12||vm −1||W2 (T ) + ∫ Ψ m (s )ds.

(3.69)

0

1

Tổ hợp (3.65), (3.67) - (3.69) ta được
Ψ m (t ) ≤ T (K 12 + 4M 4K12 )||vm−1||W2 (T ) + [2 +

K1 (1+2M 2 )
b0

1

t

]∫ Ψ m (s )ds.



trong đó

(

−1

kT = 1 + b0

2

)

T (K + 4M K12 ) e
2
1

4

[2 +

K1 (1+ 2 M 2 ) T
]
b0
2

(3.73)

.


trong L∞ (0,T ;V ) yếu *,

(3.77)

um′′ → u ′′

trong L2 (QT ) yếu,

(3.78)

um

j

→u

j

j

21


(3.79)

u ∈ W (M ,T ).

Mặt khác, ta lại có
bm (t )∇um (t ) − B(t,||∇u(t )||2 )∇u(t )


1

(3.82)

Vậy từ (3.75) và (3.82), ta thu được
Fm (t ) → f (x , t, u(t )) trong L∞ (0,T ; L2 ) mạnh.

Sau đó qua giới hạn (3.10) - (3.12) với m thay bằng m j → ∞.
Từ (3.75) – (3.78), (3.81), (3.83) ta có u ∈ W (M ,T ) thỏa bài toán biến phân

22

(3.83)


⎧〈u ′′(t ), v 〉 + b(t )〈∇u(t ), ∇v 〉 = 〈 f (t ), v 〉, ∀v ∈ V ,
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
u(0) = u0 , u ′(0) = u1.
⎪
⎪
⎩

(3.84)

Mặt khác từ giả thiết (A2), (A3), (3.79), (3.81) và (3.83), ta lại có
u ′′ = B(t,||ux (t )||2 )uxx + f (t, x , u ) ∈ L∞ (0,T ; L2 ),

∫

X (t ) =

t
0

t

B1′(s )||∇w(s )||2ds + 2∫ [B1(s ) − B2 (s )]〈Δu2 (s ), w ′(s )〉ds
0

t

+ 2 ∫ 〈F1(s ) − F2 (s ), w (s )〉ds =
0

3

∑J ,
i =1

i

(3.88)

trong đó
X (t ) = ||w ′(t )||2 + B1(t )||∇w(t )||2 .

(3.89)

23

(3.90)