Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian học tập tại khoa Toán – Trường ĐHSP Hà Nội 2 được
sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy cô, em đã tiếp thu được nhiều kiến
thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen
với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy, các cô
trong khoa Toán – những người đã luôn chăm lo, dìu dắt chúng em trưởng
thành như ngày hôm nay.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn
Ninh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý
báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Phạm Thị Kim Anh

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
PGS.TS Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá

1.2 Tổng quan về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2...... 11
1.2.1 Phương trình toán tử
1.2.2 Phương trình tích phân
Chương II: Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân
tuyến tính Fredholm loại 2
2.1 Phương pháp ánh xạ co....................................................................... 14
2.1.1 Ánh xạ co
2.1.2 Phương pháp giải
2.2 Phương pháp cầu phương ................................................................... 21
Chương III: Một số ví dụ ứng dụng
3.1 Phương pháp ánh xạ co....................................................................... 25
3.2 Phương pháp cầu phương ................................................................... 33
3.3 Ứng dụng giải số bằng lập trình Maple 12.......................................... 40

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

3.3.1 Phương pháp ánh xạ co
3.3.2 Phương pháp cầu phương
Kết luận................................................................................................... 45
Tài liệu tham khảo.................................................................................. 46

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

Chương II: Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích
phân tuyến tính Fredholm loại 2.
Trong chương này em tập trung vào hai phương pháp chính đó là:
Phương pháp ánh xạ co và phương pháp cầu phương vào giải phương trình
tích phân tuyến tính Fredholm loại 2.
Chương III: Một số ví dụ ứng dụng
Trong chương này em trình bày một số ví dụ minh họa áp dụng hai
phương pháp trên và một số bài tập áp dụng để bạn đọc có thể tìm hiểu thêm.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng đây là lần đầu làm quen với phương pháp
nghiên cứu nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy
rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh
viên để em thực hiện thành công khóa luận tốt nghiệp và có thể nghiên cứu đề
tài ở mức độ sâu hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Phạm Thị Kim Anh

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

( tiên đề đồng nhất)

M2:

 x, y   

d  x, y   d  y , x 
( tiên đề đối xứng)

M3:

 x, y, z   

d  x, y   d  x , z   d  z , y 

( tiên đề tam giác)
M1, M2,M3 được gọi là hệ tiên đề Metric.
Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2

thỏa mãn


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

Ánh xạ d gọi là Metric trên  , số d  x, y  gọi là khoảng cách giữa hai
phần tử x và y.
Không gian Metric thường được kí hiệu là:  ,d  hoặc    ,d  .
Định nghĩa 1.4. Cho không gian Metric    ,d  .Dãy điểm


, kí hiệu là . , đọc là chuẩn thỏa mãn các tiên đề

sau:
1)

 x   

x 0,

x  0  x   (  là kí hiệu phần tử

không).
2)

 x    ,     

3)

 x, y   

x    x .

x y  x  y .

Các tiên đề 1), 2), 3) được gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Số x gọi là chuẩn ( hay độ dài ) của vectơ x   , không gian định
chuẩn  và . kí hiệu là  , .  .

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


hay lim xn  xm  0 .
n
m

Mệnh đề: Trong không gian định chuẩn mọi dãy hội tụ đều là dãy
Cauchy.
Định nghĩa1.9. Giả sử không gian định chuẩn  là một không gian
Metric đầy đủ ( với khoảng cách d  x, y   x  y ). Khi đó  được gọi là
một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.10. Không gian định chuẩn  trên trường  được gọi là
không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ.
Định nghĩa 1.11. Cho hai không gian tuyến tính  và Y trên trường

 . Ánh xạ  từ không gian  vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu
 thỏa mãn:
1)

  x  y   x  y , với x, y   .

2)

  x   x , với x  ,  .

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

với x   .

Tích vô hướng của   (  

hoặc  

) với toán

tử  £  ,Y  là toán tử kí hiệu là  , được xác định bởi biểu thức:

  x     x  .
Dễ kiểm tra được rằng   £  ,Y  ,   £  ,Y  và hai phép toán
trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính . Khi đó, tập £  , Y  trở thành một không
gian tuyến tính trên trường  .
Định lý 1.2. Nếu Y là một không gian Banach thì £  , Y  là không
gian Banach.

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

1.1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.14. Cho không gian tuyến tính  trên trường  (  
hoặc  

). Ta gọi tích vô hướng trên không gian  mọi ánh xạ từ tích


gọi là các tích vô hướng của hai nhân tử x và y . Các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5)
gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.15. Không gian tuyến tính  trên trường  cùng với
một tích vô hướng trên  gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.3. Cho  là không gian tiền Hilbert. Với mỗi x   , ta đặt
x 

 x, x  .

Khi đó, ta có bất đẳng thức sau ( gọi là bất đẳng thức

Schwarz ):

 x, y  

x  y , x, y   .

Từ bất đẳng thức trên ta có thể chứng minh được rằng mọi không gian
tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn, với chuẩn x 

 x, x  .

Định nghĩa 1.16. Ta gọi không gian tuyến tính    trên trường  là
không gian Hilbert  thỏa mãn các điều kiện sau:
1)

 là không gian tiền Hilbert;

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


giữa

hai

phần

tử

x  t  và

y  t  là

  x, y   max x  t   y  t  là không gian Ca;b
a t b

Không gian Ca ;b là không gian định chuẩn với chuẩn xác định

x  t   Ca ;b :
x  max x  t 
a t b

(1.1)

Định lý 1.4. Không gian Ca;b là không gian Banach với chuẩn (1.1).
Chứng minh:
Giả sử



 x  t 

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán



 x  t 

Như vậy với mỗi t cố định thuộc  a; b  thì
1

trong

. Vì

1

là một không gian đầy nên dãy

n

n 1



 x  t 
n

n 1

là dãy cơ bản



1.1.7. Không gian £ p  ,  
Giả sử  là một tập nào đấy, F là một  - đại số các tập con của tập  ,

 là một độ đo trên F . Ta kí hiệu: £ p ,   là tập tất cả các hàm x  t  đo
được theo độ đo  trên tập  sao cho:



p

x  t  d   

E

Tập £ p  ,   là không gian tuyến tính trên trường số thực

với các

phép toán thông thường cộng hai hàm số và nhân một số thực với hàm số.
Thật vậy, với x  t  , y  t   £ p  ;   ta có:
+

p



p
p
x  t   y  t    2max x  t  , y  t    2 p x  t   y  t 




 x  t   y  t   £ p  ,  

+ £ p  ,   , và k 

ta có:
p

p

kx  t   k  x  t 
p

  kx  t  d   k


p



p

t  .

p

x  t  d   


dt   .

a

Với mỗi hàm x  t  thuộc £ 2  a; b ta đặt:
1

b
2
2
x  t     x  t  dt 
a


( 1.4 ).

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

1.2. Tổng quan về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2
1.2.1. Phương trình toán tử
Cho  là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn  vào
chính nó.
x  x  f

Phương trình dạng:


Khi đó  là toán tử tuyến tính từ Ca ;b vào chính nó.
Chứng minh:
Thật vậy:
+ Do   t , s  liên tục theo hai biến trên
liên tục trên

 a; b

nên

 t , s    a; b   a; b .Do

 t, s  ,

xs

 a; b   a; b , x  s  là hàm số

là hàm liên tục theo hai biến

đó, theo định lý về tính liên tục của tích phân phụ

thuộc tham số, ta có x  t  liên tục trên  a; b .
Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

a

a

 x  t     y  t  .
Hay

  x   y   x  y .

  là toán tử tuyến tính.

Vậy  là toán tử tuyến tính từ Ca ;b vào Ca;b .
Định nghĩa 1.20.
i)

Toán tử tuyến tính liên tục  được gọi là toán tử tích phân

Fredholm nếu:
b

x  t      t , s  x  s  ds
a

.

Trong đó hàm hai biến   t , s  gọi là nhân của toán tử tích phân.
ii)

Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 là phương


2.1.1.1. Định nghĩa
Cho không gian Metric 1   ,d1  và  2   ,d 2  và ánh xạ  là
ánh xạ từ không gian  1 vào không gian  2 . Ánh xạ  được gọi là ánh xạ
co nếu tồn tại

   0;1 sao cho với mọi x, x   ta đều có

d 2  x, x    d1  x, x  . Hằng số  được gọi là hệ số co của  .
Dễ thấy mọi ánh xạ co đều liên tục.
2.1.1.2. Nguyên lý Banach về ánh xạ co
Nếu ánh xạ  là ánh xạ co trong không gian Metric đầy    ,d 
vào chính nó. Khi đó:
a)

Tồn tại duy nhất phần tử x   sao cho x  x . Phần tử x

được gọi là điểm bất động của ánh xạ co  .
b)

Mọi dãy lặp xn1  xn  n  0  xuất phát từ x0 bất kỳ đều hội tụ.

Ngoài ra ta có các ước lượng sau:
1

d  xn , x    n 1    d  x0 , x1 
1

d  xn , x    1    d  xn1 , xn 

 n  1





, p 

, ta có:

p 1

d  xn p , xn    d  xn j 1 , xn j 
j 0
p 1

  n j d  x0 , x0 
j 0

p 1

 d  x0 , x0   n j
j 0



 d  x0 , x0   n j
j 0

n
.
 d  x0 , x0 



, ta có:

d  x , x   d  x , xn1   d  xn 1 , x 

 d  x , xn   d  xn 1 , x 
  d  x , xn   d  xn 1 , x   0  n    .

Điều này chứng tỏ d  x , x   0 hay x  x .

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

Giả sử tồn tại x , y    thỏa mãn x  x và y   y  thì ta có:
d  x , y    d  x , y     d  x , y  
 1    d  x , y    0

 d  x , y    0

( do 1    0 )

 x  y  .
Vậy tồn tại duy nhất x    sao cho x  x .
b)



x  max x  t  ,  

Trong đó f , x  C a;b ,

a t b

( hoặc

b

Đặt

 x  t       t , s  x  s  ds  f  t 
a

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2

).


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

b

 x  t      t , s  x  s  ds
a



a

b

  max    t , s  max x  s   y  s  ds
 a ;b 

 a ;b 

a

b

  x  y max    t , s  ds
 a ;b

a

b

 C  x  y ( với C  max    t , s  ds )
 a ;b

a

 C  d  x, y  .
Đặt   C  , nếu 0  C   1 thì  là ánh xạ co từ Ca ;b vào chính nó.
Từ đó ta có định lý sau:


xn 1  t       t , s  xn  s  ds  f  t  , x0  t   Ca;b tùy ý.
a

Hơn nữa,

xn  x

hoặc

xn  x 

C a ;b

C a ;b 



n
x1  x0
1




xn  xn 1 .
1
b

+ Ta giải phương trình x  t      t , s  x  s  ds  f  t 
a


………………………………………………………………
Tổng quát,
n

xn    k  k f ,
k 0



x    k  k f .
k 0

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

b

f     t , s  f  s  ds

Mặt khác

a

b
2

  f   t      t , s  f  s  ds
n

n

a

b

 n  t , s      t ,    n1  , s  d

Với

a

x được biểu diễn dưới dạng:


x    n  n f
n 0

 f  f   2  2 f  ..........
 f    f   2 f  .......
b
b

 f       t , s  f  s  ds     2  t , s  f  s  ds  ....
a
a



x  t       t , s  x  s  ds  f  t 

(2.3)

x  x  f

(2.4)

a

b b

Với

x, f  £

2

 a; b và   2  t , s  dsdt  

  t , s  bình

(hàm

a a

phương khả tích Lesbesgue trên hình vuông  a; b    a; b  ).
+ Tìm điều kiện để  là ánh xạ co từ £ 2  a; b  vào chính nó. Áp dụng
bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski-Schwarz với x  £ 2  a; b 

a
aa

2

b

2

b b
2

2

    t , s  dtds .
a a

b b

hay

 

2

    t , s  dtds .
a a

Vậy để x  x  f ( x, f  £ 2  a; b là ánh xạ co từ £ 2  a; b vào
chính nó thì:


 x  t  được xây dựng
n

như sau:
b

xn 1  t       t , s  xn  s  ds  f  t  , x0  t  £ 2  a; b  tùy ý.
a



n

x  x0
 a ;b 1   1

Hơn nữa

xn  x

hay

xn  x

Với

b b
2
      2  t , s  dtds  .

phương, Rn  x  phần dư của công thức cầu phương.
Nếu quy tắc (2.2.1) áp dụng để tính tích phân (2.3) thì chúng ta có:
 n

x  t      k   t , sk  x  sk   Rn  kx    f  t 
 k 1


(2.2.2)

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2