Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ
Giải tích và các bạn sinh viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS.
Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp.
Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa
luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em xin chân thành
cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Phạm Thị Lệ


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào khóa
luận tốt nghiệp "Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến
tính phức" được hoàn thành theo sự hiểu biết, nhận thức và được trình
bày theo quan điểm riêng của cá nhân tôi.
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, tôi đã thừa kế những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Phạm Thị Lệ




1.2.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Tích phân phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4. Đại cương về phương trình vi phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5. Vấn đề điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính phức . .
19
1.5.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.5.2. Phân loại điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Chương 2. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính
21
2.1. Phương trình chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Ứng dụng vào phương trình Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5. Điều kiện để tất cả các nghiệm liên quan tới một chỉ số có thể
không chứa logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.6. Điểm kì dị thực và kì dị bề ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Như ta đã biết việc tìm nghiệm tổng quát của một phương trình vi
phân tuyến tính được dựa trên cơ sở xác định một hệ nghiệm cơ bản
của phương trình thuần nhất cùng với việc tìm một nghiệm riêng của
phương trình đó. Nghiệm tổng quát của phương trình này là tổng của

các đạo hàm của nó vào phương trình vi phân cần giải. Từ đó, xác định
giá trị của các hằng số c0 , c1 , c2 , ... sao cho nó nghiệm đúng phương trình
vi phân đã cho. Sau đó đồng nhất các hệ số trong hệ thức thu được, ta
nhận được nghiệm của phương trình vi phân đó.
Điều đó dẫn tới ý tưởng tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
dưới dạng chuỗi lũy thừa. Được sự định hướng của người hướng dẫn, em
chọn đề tài "Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính
phức" để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán giải tích.
Khóa luận được bố cục thành hai chương
Chương 1. Trong chương này, em đưa ra một số kiến thức chẩn bị: số
phức và mặt phẳng phức; dãy số và chuỗi số phức; hàm phức và tính khả
vi phức; hàm giải tích. Cũng ở đây liên quan tới việc tìm hiểu phương
trình vi phân tuyến tính phức nên em trình bày về khái niệm phương
trình vi phân tuyến tính phức, định lý tồn tại nghiệm của phương trình
vi phân phức, vấn đề về điểm kì dị của phương trình vi phân tuyến tính
phức.
Chương 2. Trong chương này em trình bày về vấn đề tồn tại nghiệm
4


chuỗi đối với một số lớp phương trình vi phân tuyến tính phức và phương
pháp tìm nghiệm chuỗi đối với các phương trình vi phân tuyến tính này.

2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính phức.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu vấn đề nghiệm dưới dạng chuỗi lũy thừa của phương trình
vi phân tuyến tính phức.


z1 + z2 = z2 + z1 ; z1 .z2 = z2 .z1 .
+ Tính chất kết hợp
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ); (z1 .z2 ).z3 = z1 .(z2 .z3 ).
+ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng
z1 .(z2 + z3 ) = z1 .z2 + z1 .z3 .
Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là
x2 + y 2 .

|z| =
Modul của số phức có các tính chất

(i) |z + w| ≤ |z| + |w| ; ∀z, w ∈ C,
(ii) ||z| − |w|| ≤ |z − w| ; ∀z, w ∈ C,
(iii) |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C.
Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là z¯ = x − iy.
Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được
Rez =

z + z¯
z − z¯
; Imz =
2
2i

và
|z|2 = z.¯
z;

1
z¯



 lim Imzn = Imw.
n→∞

Dãy số phức {zn } được gọi là dãy Cauchy nếu
|zn − zm | → 0 khi m, n → ∞
⇔ ∀ε < 0 ∃N > 0 sao cho |zn − zm | < ε với mọi n, m ≥ N.
Như vậy, dãy số phức hội tụ nếu và chỉ nếu nó là dãy Cauchy.
1.1.3. Chuỗi số phức
Định nghĩa 1.1. Cho dãy số phức {un }. Khi đó, tổng vô hạn
∞

u1 + u2 + · · · + un + · · · =

un
n=1

8

(1.1)


được gọi là chuỗi số phức. Tổng Sn = u1 + u2 + · · · + un được gọi là tổng
riêng thứ n của chuỗi (1.1).
Nếu tồn tại lim Sn = S = 0 thì chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ và S
n→∞

được gọi là tổng của chuỗi, kí hiệu
∞

un hội tụ tuyệt đối thì nó cũng hội tụ.

Định lý 1.2. Nếu chuỗi
n=1

1.2. Hàm biến phức
1.2.1. Hàm liên tục
Cho hàm f (z) xác định trên tập Ω ⊂ C. Ta nói rằng f (z) liên tục tại
điểm z0 ∈ Ω nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau
(i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω và |z − z0 | < δ thì
|f (z) − f (z0 )| < ε.
9


(ii) Với mọi dãy {zn } ⊂ Ω mà lim zn = z0 thì lim f (zn ) = f (z0 ).
n→∞

n→∞

Hàm f (z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của
Ω. Tổng và tích của các hàm liên tục cũng là hàm liên tục.
1.2.2. Hàm chỉnh hình
Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f (z) được gọi là
chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z0 + h) − f (z0 )
; khi h → 0,
h
ở đó 0 = h ∈ C với z0 + h ∈ Ω.
Giới hạn trên được ký hiệu bởi f (z0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f (z)
tại điểm z0 . Như vậy, ta có

nghĩa hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến
tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai
các đạo hàm riêng của các tọa độ. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại
các đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức. Để hàm f khả vi
phức, ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến
điều kiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây. Để lý giải
được điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f (z) = u(x, y) + iυ(x, y), trong
đó hàm u(x, y) và v(x, y) xác định trong miền Ω, được gọi là R2 - khả
vi tại z = x + iy nếu các hàm của hai biến thực u(x, y) và v(x, y) khả vi
tại điểm (x, y).
Định lý 1.4. (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàm f (z) là C - khả vi
tại điểm z ∈ D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f (z) là R2 - khả
vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann.
∂v
∂u
∂v
∂u
(x, y) =
(x, y); (x, y) = − (x, y).
∂x
∂y
∂y
∂x
1.2.3. Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

an (z − z0 )n

(1.2)

(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R được
tính bởi công thức
1
1
= lim sup |an | n .
R n→∞

Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là
đĩa hội tụ.
Chú ý. Trên biên của đĩa hội tụ |z| = R, thì chuỗi có thể hội tụ cũng
có thể phân kỳ.
Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng phức
là các hàm lượng giác
∞

∞

z 2n+1
cos z =
(−1)
2n) và sin z =
(−1)
.
(
(2n
+
1)!
n=0
n=0

∞

nan z n−1 .

f (z) =
n=0

Hơn nữa, f có cùng bán kính hội tụ với f .
Hệ quả 1.1. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.
Đạo hàm của chuỗi lũy thừa thu được bằng cách lấy đạo hàm của từng
số hạng của nó.
Một hàm f xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc có khai
∞

triển lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa

an (z − z0 )n

n=0

tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho
∞

an (z − z0 )n ;

f (z) =
n=0

với mọi z trong lân cận của điểm z0 . Nếu f có khai triển lũy thừa tại
mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng f giải tích trên Ω. Từ Định lý 1.5 ta thấy

hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b. Họ
của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định một
đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ − là đường cong thu được từ γ
bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ − được xác định như
sau
z − : [a, b] → R2
z − (t) = z(b + a − t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);
được gọi là đường cong đóng nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu
t = s thì z(t) = z(s). Trường hợp đường cong đóng thì trừ ra s = a và
t = b. Để ngắn gọn ta sẽ gọi đường cong trơn từng khúc là một đường
cong.

14


Ví dụ 1.1. Xét đường tròn Cr (z0 ) tâm tại z0 , bán kính r
Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r} .
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z0 + reit , t ∈ [0, 2π]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z0 + re−it , t ∈ [0, 2π] .
Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương.
Định nghĩa 1.3. Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương
trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f
dọc theo γ được xác định bởi
b

f (z)dz =


f (z)dz =
γ

f (z(t)).z (t)dt.
k=0 a
k

15


Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong γ là
b

|z (t)| dt.

length(γ) =
a

Định lý 1.7. Tích phân của một hàm liên tục trên đường cong γ có các
tính chất sau
(i)

(αf + βg)dz = α
γ

g(z)dz; α, β ∈ C.

f (z)dz + β
γ

16


1.4. Đại cương về phương trình vi phân phức
Định nghĩa 1.4. Trước hết ta định nghĩa hàm giải tích theo hai biến
phức f (z, ω) là một hàm giải tích của z và ω trong miền D nếu
(i) f (z, ω) là một hàm liên tục theo z và ω trong D.
∂f ∂f
(ii) Tồn tại các đạo hàm riêng
,
tại mọi điểm của D.
∂z ∂ω
Định nghĩa hàm này bao hàm cả các điều kiện Cauchy-Riemann là nếu
z = x + iy, ω = u + iυ, f (z, ω) = P (x, y, u, υ) + iQ(x, y, u, υ),
thì P và Q là các hàm khả vi trong D với bốn đối số thực, các đạo hàm
riêng của chúng liên tục và thỏa mãn các phương trình
∂P
∂Q ∂P
∂Q ∂P
∂Q ∂P
∂Q
=
;
=
;
=
;
=
.
∂x

p
(z)
+ pn (z)ω = f (z),
1
n−1
dz n
dz n−1
dz
17

(1.5)


trong đó p1 (z), p2 (z), ..., pn (z) và f (z) là các hàm giải tích trong miền D
của mặt phẳng phức.
Nếu f (z) ≡ 0 thì phương trình có dạng
dn−1 ω
dω
dn ω
+
p
(z)
+
·
·
·
+
p
(z)
+ pn (z)ω = 0.

a là nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu là ω (z0 ) = ω0 .
Nghiệm này có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối,
đều trong bất kỳ đường tròn có tâm z0 , trong đó các hệ số p1 (z), ..., pn (z)
là các hàm giải tích trong miền D nào đó của mặt phẳng phức.
18


1.5. Vấn đề điểm kỳ dị của phương trình vi phân
tuyến tính phức
Vấn đề tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính phức
liên quan trực tiếp đến các điểm kỳ dị của nó. Vì vậy, ở đây chúng tôi
sẽ trình bày về khái niệm và phân loại điểm kỳ dị.
1.5.1. Khái niệm
Để đơn giản trong việc trình bày, chúng tôi chỉ trình bày khái niệm
điểm kỳ dị đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, phương
trình vi phân tuyến tính cấp cao hơn hoàn toàn tương tự.
Định nghĩa 1.6. Điểm z0 được gọi là điểm thường của phương trình vi
phân tuyến tính
P (z)ω (z) + Q(z)ω (z) + R(z)ω(z) = 0

(1.7)

Q(z)
R(z)
và
là giải tích tại đó. Trong các trường hợp khác
P (z)
P (z)
nó được gọi là điểm kỳ dị.
nếu các hàm

P (z)
P (z)

đều nhận giá trị hữu hạn.
Điểm z0 được gọi là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình (1.7)
nếu nó không phải là một điểm kỳ dị chính quy.

20


Chương 2
Nghiệm chuỗi của phương trình vi
phân tuyến tính
Nghiệm dưới dạng chuỗi luỹ thừa tại điểm z0 nào đó của phương trình
vi phân tuyến tính có thể không tồn tại hoặc tồn tại một cách hình thức
tức là chuỗi không hội tụ. Điều đó nói chung là do nghiệm thực sự không
thể khai triển được thành chuỗi luỹ thừa. Trong các trường hợp phương
trình có z0 là điểm kỳ dị chính quy thì có thể có nghiệm dưới dạng chuỗi
luỹ thừa với số mũ âm (trong giải tích phức ta gọi là khai triển Laurentz)
hoặc số mũ không nguyên; đối với điểm kỳ dị không chính quy, nghiệm
dưới dạng chuỗi vô hạn nói chung là phân kỳ. Do đó, để đơn giản ta xét
đến một lớp phương trình vi phân tuyến tính nhận z0 = 0 là điểm kỳ dị
n
nd w
z
dz n

+z

n−1

trình vi phân.
Ta ký hiệu phương trình vi phân là Lw = 0. Khi đó
LW (z, ρ) =

cν Lz ρ+ν =

cν z ρ+ν f (z, ρ + ν) ,

trong đó
f (z, ρ + ν) = [ρ + ν]n + [ρ + ν]n−1 P1 (z) + · · · + [ρ + ν]1 Pn−1 (z) + Pn (z)
với
[ρ + ν]n = ([ρ + ν])([ρ + ν] − 1)...([ρ + ν] − n + 1).
Giả sử f (z, ρ + ν) là một hàm giải tích của z trong lân cận của điểm
z = 0 được khai triển thành chuỗi luỹ thừa của z
∞

fλ (ρ + ν)λ .

f (z, ρ + ν) =
λ=0

Khi đó
LW (ρ + ν) =

{cν f0 (ρ + ν) + cν−1 f1 (ρ + ν − 1) + · · · + c0 fν (ρ)} z ρ+ν .

Nếu LW (ρ + ν) = 0, thì hệ số của mỗi luỹ thừa của z phải bằng 0. Do
đó ta có hệ thức truy toán
c0 f0 (ρ) = 0,
22

...

...

...

...

0

0

...

f0 (ρ + 1)

f1 (ρ)

2.2. Phương trình chỉ số có các nghiệm phân biệt
Giả sử chuỗi W (z, ρ) hội tụ với mỗi giá trị ρ được chọn. Khi đó, nếu
n nghiệm của phương trình chỉ số là phân biệt và không có hai nghiệm
nào sai khác nhau một số nguyên thì mỗi ρ tương ứng xác định một dãy
các hệ số cν và xác định n nghiệm hoàn toàn phân biệt, tạo thành một
23