Khóa luận tốt nghiệp đại học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

-------------------VŨ THỊ VUI

[

VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG
VÀ CÁC BÀI TOÁN
 BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
 BÀI TOÁN ĐỊNH LƯỢNG
 BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
GV. BÙI VĂN BÌNH

HÀ NỘI - 2012

SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

1


Khóa luận tốt nghiệp đại học


các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên
cứu của bản thân em, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, Ngày 10 tháng 5 năm 2012
Sinh viên

VŨ THỊ VUI

SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp đại học

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán “Tìm tập hợp điểm” hay “Bài toán quỹ tích” là bài toán rất hay
gặp trong các đề thi học sinh giỏi hay thi tuyển vào các trường chuyên, trường
ĐH, CĐ,…một đề tài đã làm say mê bao người, góp phần không nhỏ làm cho
người học yêu thích môn hình học hơn.
Không thể nào phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng của bài toán quỹ tích
trong việc rèn luyện tư duy toán học nói riêng và đối với việc rèn luyện tư duy
linh hoạt nói chung, một phẩm chất cần thiết cho các hoạt động sáng tạo của
con người. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với học sinh trong việc tiếp
nhận các kiến thức và phương pháp, càng khó hơn trong việc vận dụng các
kiến thức và phương pháp ấy trong việc giải bài tập.


SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

5


Khóa luận tốt nghiệp đại học

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ
1.1. VECTƠ
1.1.1. Định nghĩa
Cho đoạn thẳng AB . Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm
điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B . Khi đó ta nói AB là một
đoạn thẳng có hướng.
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng


Vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B được kí hiệu là AB và đọc là

“vectơ AB ”.

B
A
 
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như AA , BB ,… được gọi

là vectơ-không.
1.1.2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng


R
S
D

C
Chú ý :
+ Ta quy ước rằng vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ.
+ Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác vectơ-không thì
cùng hướng.
+ Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi
đã có hai vectơ đó cùng phương.
1.1.3. Độ dài của vectơ
Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm


cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là AB .
 
Như vậy, đối với vectơ AB , PQ ,… ta có:


AB  AB  BA , PQ  PQ  QP ,…
Theo đó, độ dài của vectơ-không bằng 0.
1.1.4 Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

7




Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là: a, b .

 

A


a


b

O
B

 


Nếu a, b  900 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là
 
 
a  b hoặc b  a .

 

Nhận xét :

 



vectơ a và b .
  
Kí hiệu : AC  a  b

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ.

a

B


b

C

A

Chú ý :



+ Nếu tổng của hai vectơ a và b là vec tơ không thì ta nói a là vectơ



đối của b hoặc b là vectơ đối của a .




Khóa luận tốt nghiệp đại học
   
3. Tính chất của vectơ không : a  0  0  a

1.2.1.3. Các quy tắc cần nhớ
Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta suy ra hai quy tắc sau đây :
a. Quy tắc ba điểm
  
Với ba điểm bất kì M , N , P ta có : MN  NP  MP
M

N
b. Quy tắc hình bình hành

P
  
Nếu OABC là hình bình hành thì ta có: OA  OC  OB

O

A

B

C
1.2.2. Hiệu của hai vectơ
1.2.2.1. Định nghĩa



Khóa luận tốt nghiệp đại học
1.2.2.2. Quy tắc về hiệu hai vectơ

Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kỳ, ta luôn có :
  
MN  ON  OM .
1.2.3. Tích của một vectơ với một số
1.2.3.1. Định nghĩa


Tích của vectơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là : k a được xác

định như sau :


1. Nếu k  0 thì vectơ k a cùng hướng với vectơ a .


Nếu k  0 thì vectơ k a ngược hướng với vectơ a .


2. Độ dài k a bằng k . a

Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một
số (hoặc phép nhân số với vectơ).
1.2.3.2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số
 
Với hai vectơ bất kỳ a , b và mọi số thực k , l ta có :




Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác
  
 
định bởi : a.b  a . b .cos a, b

 

Lưu ý :
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

11


Khóa luận tốt nghiệp đại học

 
a.b
+ Công thức tính góc giữa hai vectơ : cos a, b   
a .b

 

+ Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ còn được viết dưới dạng sau :
  1   2 2  2
- Dạng độ dài : a.b  a  b  a  b hay
2
 1  2  2
a.b 

   

3) k a b  a kb  k a.b

 

   

    
4) Tính chất phân phối đối với phép cộng : a b  c  a.b  a.c





    
Tính chất phân phối đối với phép trừ : a b  c  a.b  a.c





1.4. Định lí
  

+ Cho ba vectơ a , b , c trong mặt phẳng ( a không cùng phương với





MB  MI  IB
 
  
Như vậy MA  MB  2MI  IA  IB .
  
Ta biết rằng I là trung điểm của AB khi và chỉ khi IA  IB  0 . Từ đó suy

ra điều phải chứng minh.
Bài toán 2.
1) Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi
   
GA  GB  GC  0 .
2) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta luôn có:
   
GA  GB  GC  3GO .
Chứng minh

SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

13


Khóa luận tốt nghiệp đại học

A

G

C

Lớp : k34 cử nhân Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp đại học
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

2.1. Lớp bài toán tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện K
2.1.1. Phương pháp chung
Với dạng bài toán này ta cần chú ý một số quỹ tích cơ bản sau:
+ Với 3 điểm A , B , C và một số k  R cho trước ta luôn có:


 Nếu MA  MB thì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB



 Nếu MC  k AB thì M thuộc đường tròn tâm C bán kính k AB

(với k  0 )


+ Nếu MA  k BC thì:
 Với k  R thì điểm M thuộc đường thẳng qua A và song song với
BC

 Với k  R  thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song



a . Ta có 1  MA  k MB  MC  0







 MA   kCB


 MA  k BC


Vậy 1  MA  k BC  M thuộc đường thẳng qua A và song song

với BC .


 
 
b . Ta có  2   MA  k MA  MB  k MC  0
 
  
 MA  MB  k MA  MC  0





Gọi I là trung điểm của BC , ta có:
 

MB  MC  2 MI
 3 
Khi đó: 1  3MG  2MI
2
 
 MG  MI
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp đại học
 M thuộc trung trực của đoạn GI

Vậy quỹ tích điểm M là trung trực của đoạn GI
b. Gọi K là điểm thỏa mãn hệ thức:
   
KA  3KB  2 KC  0  tồn tại duy nhất điểm K
Ta có:
  

MA  3MB  2 MC  2 MK

 *

Mặt khác:

Giả sử OM  k  ON  a  k , với 0  k  a
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

17

a
2


Khóa luận tốt nghiệp đại học
 2k   2  a  k  
Khi đó: OM  OM 0 , ON 
ON 0
a
a

Vì I là trung điểm của MN ta được:
 1   1  2k  2  a  k   
OI  OM  ON   OM 0 
ON 0 
2
2 a
a







2

Ví dụ 4:
Cho tam giác ABC , hai điểm M , N di động trên các tia AB và sao
cho

AM CN
. Dựng hình bình hành MNCP . Tìm tập hợp những điểm P .

AB CA

Lời giải

SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

18


Khóa luận tốt nghiệp đại học

A

N
M
P

C

B




Từ 1 và  2   AP  k AD , k  0
 P thuộc tia AD

Ngược lại, với mọi P0 thuộc tia AD ta có:


AP0  k0 AD ( với k0  0 )
 
 
 CP0  CA  k0 AB  AC








 CP0  k0 AB   k0  1 AC
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

 3
19


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Do đó 2 AI  AB  AC  AP  AQ  2 AM

SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

20


Khóa luận tốt nghiệp đại học
   
 2AI  AB  AC  AM



Vì M  BC nên: AM  k AB  1  k  AC  0  k  1
  


2 AI  AB  AC  k AB  1  k  AC

 
Do đó  2 AI  1  k  AB  AC



AB
AC
 AI  1  k 
k
2

Quỹ tích điểm M là đường trung bình EF của tam giác ABC .
Bài tập 2:
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC , M là điểm tùy ý trong mặt
phẳng:
a. Chứng minh rằng:
  

v  3MA  5MB  2 MC không đổi
b. Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

21


Khóa luận tốt nghiệp đại học

   
3MA  2MB  2MC  MB  MC .

Hướng dẫn:
a. Ta có:
  

 
 


v  3MA  5MB  2 MC  3 MA  MB  2 MC  MB  3BA  2 BC



Bài tập 3:
Cho tam giác ABC , các điểm M , N , P di động trên các cạnh BC , CA và
AB sao cho

MB PA NC
. Dựng hình bình hành MNPQ . Tìm quỹ tích


MC PB NA

những điểm Q .
Hướng dẫn:
- Dựng hình bình hành ABCD
- Quỹ tích của Q là đoạn BD
Bài tập 4:
Cho tứ diện ABCD có AB  CD . Các điểm M , N lần lượt thuộc các
cạnh AB và CD sao cho

AM DN
. Gọi I là điểm chia MN theo tỉ số k .

AB DC

Tìm tập hợp I khi M , N thay đổi.
Hướng dẫn:
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

22



1
AB 2
4

1
AB 2 . Khi đó:
4

+ Nếu l  0 thì quỹ tích M là tập rỗng
+ Nếu l  0 thì quỹ tích M chính là điểm I
+ Nếu l  0 thì M thuộc đường tròn tâm I , bán kính R  l .
Mở rộng:
 n 
Nếu ta có, MA. i MAi  k , với A, Ai
i 1

n

i  1, n  cố định, 

i

 0 và

i 1

k không đổi.
Khi đó:


23


Khóa luận tốt nghiệp đại học
  k
- Khi đó ta được MA.MK 



 
+ Nếu MA.BC  k , với A, B, C cố định. Khi đó:

Gọi M 0 , A0 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M và A lên BC ,
ta được:
 
k  MA.BC  M 0 A0 .BC
 M 0 A0 

k
BC

Có giá trị không đổi và do A0 cố định nên M 0 cũng cố định. Vậy điểm M
thuộc đường thẳng vuông góc với BC tại M 0
Đặc biệt khi k  0 thì M thuộc đường thẳng qua A và vuông góc với BC
2.2.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tìm tập hợp những điểm M sao cho
      a 2
MA.MB  MB.MC  MC.MA 


SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

 
24

2

 
 MO  OC

 



2

 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học
   
 3MO 2  OA2  OB 2  OC 2  2MO OA  OB  OC





   

4
2

Suy ra M thuộc đường tròn tâm O bán kính R 

a
2

Vậy quỹ tích các điểm M là đường tròn tâm O bán kính R 

a
2

Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:
   
a. AM . AB  AC. AB
 
b. 2MB 2  MB.MC  a 2 , với a  BC
Lời giải
a. Ta biến đổi 1 về dạng:
  
1  AM  AC AB  0





 
 MC . AB  0